2021-2022年高中数学 2-2-2-2对数函数同步练习 新人教A版必修1

2021-2022年高中数学 2-2-2-2对数函数同步练习 新人教A 版必修1
1．函数f (x )＝log a x (0<a <1)在[a 2，a ]上的最大值是( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．a
解析 ∵0<a <1，∴f (x )＝log a x 在[a 2，a ]上是减函数，
∴f (x )max ＝f (a 2)＝log a a 2＝2，故选C.
答案 C
2．下列不等式成立的是( )．
A ．log 32<log 23<log 25
B ．log 32<log 25<log 23
C ．log 23<log 32<log 25
D ．log 23<log 25<log 32
解析 由于log 31<log 32<log 33，log 22<log 23<log 25，即0<log 32<1，1<log 23<log 25，所以log 32<log 23<log 25，故选A.
答案 A
3．已知函数f (x )＝x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )．
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22，2 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，22∪[)2，＋∞
答案 A
4．不等式 (5＋x ) < (1－x )的解集为________．
解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋x >0，1－x >0，
5＋x >1－x .
解得－2<x <1. ∴原不等式的解集为{x |－2<x <1}．
答案 {x |－2<x <1}
5．已知log m 7<log n 7<0，则m ，n,0,1间的大小关系是________．
解析 ∵log m 7<log n 7<0，
∴0>log 7m >log 7n .
又y ＝log 7x 在(0,1)内递增且函数值小于0，
∴0<n <m <1.
答案 0<n <m <1
6．判断函数f (x )＝lg(x 2
＋1－x )的奇偶性．
解 由x 2＋1－x >0解得x ∈R ，
故f (x )的定义域为R ，关于原点对称．
∵f (－x )＝lg(x 2＋1＋x )，f (x )＝lg(x 2＋1－x )
∴f (－x )＋f (x )＝lg (x 2＋1＋x )＋lg(x 2＋1－x )
＝lg(x 2＋1＋x )(x 2＋1－x )
＝lg[(x 2＋1)－x 2]＝lg 1＝0.
∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．
7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43
，则a 、b 、c 的大小关系是( )． A ．a <c <b B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．c <b <a
解析 a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f (log 312)＝f (log 32)， c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43
.∵0<log 32<1,1<43<3，∴3>43
>log 32. ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴a >c >b ，故选择C.
答案 C
8．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )．
A.14
B.12
C ．2
D ．4 解析 当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12
， 与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12
. 答案 B
9．已知log 0.45(x ＋2)>log 0.45(1－x )，则实数x 的取值范围是________．
解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x ＋2<1－x ，解得－2<x <－12
. 答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－12 10．若log a 37
<1，则a 的取值范围是________． 解析 a >1时，此时log a 37<log a a ＝1，a >37
， 即a >1符合要求；
当0<a <1时，log a 37<log a a ，∴0<a <37
， 即0<a <37
符合要求； ∴a >1或0<a <37
. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，37∪(1，＋∞) 11．若x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫110，1，a ＝lg x ，b ＝2lg x ，c ＝lg 3x ，试比较a ，b ，c 的大小． 解 ∵x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫110，1，∴－1<a ＝lg x <0， ∴2lg x <lg x <lg 3
x ，即b <a <c .
12．(创新拓展)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取得最大值时的x 的值．
解 由f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，得f (x 2)＝2＋log 3x 2，x 2∈[1,9]，即x ∈[1,3]， 得函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]， y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2，
即y ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2
－3，
令log 3x ＝t,0≤t ≤1，y ＝(t ＋3)2－3，当t ＝log 3x ＝1，
即x＝3时，y max＝1
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