课时作业22：3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.3 空间向量的数量积运算
一、选择题
1．正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，〈A ′B ――→，B ′D ′―――→〉＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
2．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( )
A ．60°
B ．120°
C ．30°
D ．90°
3.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么( )
A ．AE ―→·BC ―→＜AE ―→·CD ―→
B ．AE ―→·B
C ―→＝AE ―→·C
D ―→
C ．AE ―→·BC ―→＞AE ―→·C
D ―→
D ．A
E ―→·BC ―→与AE ―→·CD ―→不能比较大小
4．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A ．PC ―→与BD ―→
B ．DA ―→与PB ―→
C ．P
D ―→与AB ―→ D ．P A ―→与CD ―→
5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：
①(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝3AB ―→2；
②A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0；
③AD 1―→与A 1B ―→的夹角为60°；
④正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|.
其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.
7．已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，如图，则PC 等于________．
8．已知a ，b 是异面直线，点A ，B ∈a ，点C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．
三、解答题
9．已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．
10.如图，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面边长为 2.
(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；
(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3
，求侧棱的长．
参考答案
一、选择题
【解析】因为B ′D ′∥BD ，
所以A ′B ，B ′D ′的夹角即为A ′B ，BD 的夹角．
因为△A ′BD 为正三角形，所以∠A ′BD ＝60°.
由向量夹角的定义可知〈A ′B ――→，BD ―→〉＝120°，
即〈A ′B ――→，B ′D ′―――→〉＝120°.
2．【答案】B
【解析】a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22
＝1－1×1×12－2＝－32
， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3，
|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22 ＝1－2＋4＝ 3.
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12
. ∴〈a ，b 〉＝120°.
3. 【答案】C
【解析】易知AE ⊥BC ，∴AE ―→·BC ―→＝0，
AE ―→ ·CD ―→＝(AB ―→＋BE ―→ )·CD ―→＝AB ―→ ·(BD ―→－BC ―→ )＋12
BC ―→ ·CD ―→＝|AB ―→ |·|BD ―→ |·cos 120°－|AB ―→|·|BC ―→| cos 120°＋12
|BC ―→|·|CD ―→|cos 120°＜0. 4．【答案】A
【解析】用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，
所以P A ⊥CD ，故P A ―→·CD ―→＝0，排除D ；
因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，
所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，
故DA ―→·PB ―→＝0，排除B ；
同理PD ―→·AB ―→＝0，排除C.
【解析】如图所示，
(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝(AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1C 1―→)2＝AC 1―→2＝3AB ―→2；
A 1C ―→·(A 1
B 1―→－A 1A ―→)＝A 1
C ―→·AB 1―→＝0；
AD 1―→与A 1B ―→的夹角是D 1C ―→与D 1A ―→夹角的补角，而D 1C ―→与D 1A ―→的夹角为60°，故AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°；
正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|.
综上可知，①②正确．
二、填空题
6．【答案】22
【解析】|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.
7．【答案】12
【解析】∵PC ―→＝P A ―→＋AB ―→＋BC ―→，
∴|PC ―→|2＝(P A ―→＋AB ―→＋BC ―→)2
＝P A ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2P A ―→·AB ―→＋2P A ―→·BC ―→＋2AB ―→·BC ―→
＝36＋36＋36＋0＋0＋2|AB ―→||BC ―→|cos 60°
＝108＋2×6×6×12
＝144. ∴PC ＝12.
8．【答案】60°
【解析】AB ―→＝AC ―→＋CD ―→＋DB ―→，
∴CD ―→·AB ―→＝CD ―→·(AC ―→＋CD ―→＋DB ―→)＝|CD ―→|2＝1，
∴cos 〈CD ―→，AB ―→〉＝CD ―→·AB ―→|CD ―→||AB ―→|
＝12， ∴异面直线a ，b 所成角是60°.
三、解答题
9．解：如图所示，
设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，|a |＝|b |＝|c |＝1，
易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3
， 则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12
. ∵OE ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)＝12
(a ＋b )， BF ―→＝OF ―→－OB ―→＝12OC ―→－OB ―→＝12
c －b ， 又∵|OE ―→|＝|BF ―→|＝32
， ∴OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12b 2＝－12
， ∴cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→||BF ―→|＝－23. ∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值是23
. 10. (1)证明：AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→，
BC 1―→＝BB 1―→＋BC ―→.
∵BB 1⊥平面ABC ，
∴BB 1―→·AB ―→＝0，BB 1―→·BC ―→＝0.
又∵△ABC 为正三角形，
∴〈AB ―→，BC ―→〉＝π－〈BA ―→，BC ―→〉＝π－π3＝2π3
. ∵AB 1―→·BC 1―→＝(AB ―→＋BB 1―→)·(BB 1―→＋BC ―→)
＝AB ―→·BB 1―→＋AB ―→·BC ―→＋BB 1―→2＋BB 1―→·BC ―→
＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2
＝－1＋1＝0，
∴AB 1⊥BC 1.
(2)解：由(1)知AB 1―→·BC 1―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝BB 1―→2－1. 又∵|AB 1―→|＝AB 1―→2＋BB 1―→2＝2＋BB 1―→2＝|BC 1―→|，
∴cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝BB 1―→2－12＋BB 1
―→2＝12， :∴|BB 1―→|＝2，即侧棱长为2.。