2021学年河南省新乡市某校高一(上)10月月考数学试卷 (1)(有答案)

2020-2021学年河南省新乡市某校高一（上）10月月考数学试
卷
一、选择题
1. 若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S中元素个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
2. 函数y=1
x+1
+√2−x的定义域为( )
A.[0,2]
B.(−∞,−1)∪(−1,2]
C.(−∞,−1)∪(−1,2)
D.(−∞,2]
3. 设A∪{−1, 1}={0, −1, 1}，则满足条件的集合A共有( )个．
A.1
B.2
C.3
D.4
4. 若全集U=R，A={x|x<1}，B={x|x>−1}，则( )
A.A⊆B
B.B⊆A
C.B⊆∁U A
D.∁U A⊆B
5. 下列各图中，可表示函数y=f(x)的图像的是( )
A. B.
C. D.
6. 设函数f(x)={x2+1，x≤1，
2
x
，x>1，
则f(f(3))=( )
A.15
B.3
C.23
D.139
7. 已知R 为实数集，M ={x|x 2−2x <0}，N ={x|y =√x −1}，则M ∩(∁R N)=( )
A.{x|0<x <1}
B.{x|0<x <2}
C.{x|x <2}
D.{x|1≤x <2}
8. 已知集合A ={x|x −2<0}，B ={x|x <a}，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围是
( )
A.(−∞, −2]
B.[−2, +∞)
C.(−∞, 2]
D.[2, +∞)
9. 如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图像的一部分，过点A(−3, 0)，对称轴为x =−1．给出下面四个结论：
①b 2>4ac ； ②2a −b =1； ③a −b +c =0； ④5a <b ．
其中正确的是( )
A.②④
B.①④
C.②③
D.①③
10. 下列各组函数是同一函数的是( )
①f (x )=√−2x 3与g (x )=x √−2x ；
②f (x )=x 与g (x )=(√x)2；
③f (x )=x 0与g (x )=1x 0 ；
④f (x )=x 2−2x −1与g (t )=t 2−2t −1；
⑤f (x )=√x+1√x−1与g (x )=√x+1
x−1；
⑥f (x )={x,x ≥0,−x,x <0
与g (t )=|t|. A.①②⑤
B.①③⑥
C.③④⑤
D.③④⑥
11. 函数f (x )=||x|−1|的图像是( )
A. B.
C. D.
12. 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0, 1]时，f(x)= x(x−1)．若对任意x∈(−∞, m]，都有f(x)≥−8
9
，则m的取值范围是( )
A.(−∞, 9
4] B.(−∞, 7
3
] C.(−∞, 5
2
] D.(−∞, 8
3
]
二、填空题
设集合A={−1,1,m}，B={m2,1}，且B⫋A，则实数m=________.
已知函数f(x)的定义域为[2,6]，则函数g(x)=f(x+1)+√x−3的定义域为________. 若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a−1, 2a]，则a+
b=________．
已知定义在(−1,1)上的函数f(x)=x
1−x2
，若满足f(m−1)+f(3m)<0，则m的取值
范围是________.
三、解答题
设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U=A∪B，求(∁U A)∪(∁U B)的所有子集.
已知函数f(x)的定义域为I，f(x)在定义域内I内某个区间D上为增函数，且f(x)是定
义在I上的偶函数.
(1)请用文字语言描述函数的定义；
(2)请描述增函数的定义；
(3)请描述偶函数的定义.
某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？
设集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m−1≤x≤2m+1}.
(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A∩B=⌀，求m的范围；
(3)若A∪B=A，求m的范围．
二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)−2x，x∈[−1,2]，求g(x)的值域．
已知函数f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，且满足条件：①f(xy)=f(x)+f(y)；
②f(2)=1；③当x>1时，f(x)>0．
(1)求证：函数f(x)为偶函数；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)求不等式f(x)+f(x−3)≤2的解集．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市某校高一（上）10月月考数学试
卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
集合中元素的个数
【解析】
根据集合中元素的三个特征：互异性，确定性，无序性，进行判断即可．
【解答】
解：∵ S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，
∴ S ={我，和，的，祖，国}，
故S 中共有5个元素.
故选B .
2.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
要使函数有意义，则分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求解即可.
【解答】
解：要使函数y =1x+1+√2−x 有意义，
则{x +1≠0，2−x ≥0，
解得x ≤2且x ≠−1，
∴ 函数的定义域为 (−∞,−1)∪(−1,2].
故选B .
3.
【答案】
D
【考点】
子集与真子集的个数问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
由题意可得 A 可以是 {0}，{0, 1}，{0, −1}，{0, 1, −1}，从而得出结论．
【解答】
解：∵ A ∪{−1, 1}={0, −1, 1}，
∴A可以是{0}，{0, 1}，{0, −1}，{0, 1, −1}，
故满足条件的集合A共有4个.
故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
补集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
求出集合A的补集，再利用集合之间的包含关系进行求解即可.
【解答】
解：∵A={x|x<1}，
∴∁U A={x|x≥1}.
又∵B={x|x>−1}，
∴∁U A⊆B.
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
函数的概念
【解析】
直接利用函数的定义对图像进行判断
【解答】
解：由函数的定义可知，对于定义域内任意的x有且只有唯一的y与之对应，可判断只有D选项正确.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(3)=2
3
，
f(f(3))=f(2 3 )
=(2
3
)2+1
=13
9
.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
函数的定义域及其求法
交、并、补集的混合运算
【解析】
求出M中不等式的解集确定出M，求出N中函数的定义域确定出N，根据全集R求出N的补集，找出M与N补集的并集即可．
【解答】
解：由M中不等式变形得：{x|x(x−2)<0}，
解得：0<x<2，即M={x|0<x<2}，
由N中y=√x−1，得到x−1≥0，即x≥1，
∴N={x|x≥1}.
∵全集为R，
∴∁R N={x|x<1}，
则M∩(∁R N)={x|0<x<1}．
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
化简A，再根据A∩B=A，求得实数a的取值范围．
【解答】
解：∵集合A={x|x−2<0}={x|x<2}，
B={x|x<a}，A∩B=A，
∴a≥2.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①由图像可得抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac，故①正确；
②∵ 对称轴为x =−b 2a =−1，
∴ 2a =b ，即2a −b =0，故②错误；
③∵ x =−1时，y =a −b +c ，由图象可知y ≠0，故③错误；
④由图象可知，图象与x 轴的另一交点为x =1，
图象与y 轴的交点在x 轴上方，则c >0，
把x =1，x =−3代入解析式可得a +b +c =0，9a −3b +c =0，
两式相加得：10a −2b +2c =0，
整理可得5a −b =−c <0，即5a <b ，故④正确.
故选B .
10.
【答案】
D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
定义域相同，对应关系也相同的两个函数是同一个函数，据此求解.
【解答】
解：①∵ f (x )=√−2x 3，
∴ 函数f (x )定义域为{x|x ≤0}，
∴ f (x )=√−2x 3=−x √−2x ，
∴ f (x )与g (x )=x √−2x 对应关系不一样，不是同一个函数；
②f (x )=x 与g (x )=(√x)2，前者的定义域为R ，后者的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同，不是同一个函数；
③f (x )=x 0与g (x )=1x 0的定义域相同，都为{x|x ≠0}，对应关系相同，是同一个函数；
④f (x )=x 2−2x −1与g (t )=t 2−2t −1，定义域相同，对应关系相同，是同一个函数；
⑤f (x )=√x+1√x−1与g (x )=√x+1x−1 ，前者的定义域为{x|x ≥1}，后者的定义域为{x|x >1或x ≤−1}，定义域不同，不是同一个函数；
⑥f (x )={x,x ≥0,−x,x <0
与g (t )=|t|，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数. ∴ 是同一个函数的为③④⑥.
故选D .
11.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】
根据函数的解析式，利用排除法求解即可.
【解答】
解：∵ f (x )=||x |−1|，
∴ f (0)=|0−1|=1，排除选项C ；
f (1)=|1−1|=0，排除选项A ；
f (−1)=||−1|−1|=0，排除选项B .
故选D .
12.
【答案】
B
【考点】
函数与方程的综合运用
分段函数的应用
分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】
因为f(x +1)＝2f(x)，∴ f(x)＝2f(x −1)，分段求解析式，结合图象可得．
【解答】
解：∵ f(x +1)=2f(x)，
∴ f(x)=2f(x −1).
∵ x ∈(0, 1]时，f(x)=x(x −1)∈[−14, 0]，
∴ x ∈(1, 2]时，x −1∈(0, 1],
f(x)=2f(x −1)=2(x −1)(x −2)∈[−12, 0]，
∴ x ∈(2, 3]时，x −1∈(1, 2]，
f(x)=2f(x −1)=4(x −2)(x −3)∈[−1, 0].
作出函数f(x)的图象：
当x ∈(2, 3]时，由4(x −2)(x −3)=−8
9，
解得x =73或x =83， 若对任意x ∈(−∞, m]，都有f(x)≥−8
9，
则m ≤73．
故选B .
二、填空题
【答案】
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
本题考查实数值的求法．
【解答】
解：∵集合A={−1,1,m}，B={m2,1}，且B⫋A，∴m2=m，解得m=0或m=1（舍），
故实数m=0．
故答案为：0．
【答案】
[3,5]
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
利用复合函数定义域的计算求解.
【解答】
解：由题意可得{2≤x+1≤6，x−3≥0，
解得3≤x≤5，
所以g(x)的定义域为[3,5].
故答案为：[3,5].
【答案】
1
3
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
先利用多项式函数是偶函数的特点：不含奇次项得到b=0，偶函数的定义域关于原点对称，列出方程得到a的值，求出a，b即得．
【解答】
解：∵函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义域为[a−1, 2a]的偶函数，
∴其定义域关于原点对称，故a−1=−2a，
又其奇次项系数必为0，故b=0，
解得a=1
3
，b=0，
∴a+b=1
3
.
故答案为：1
3
．
【答案】
(0,1 4 )
【考点】
函数恒成立问题
奇偶性与单调性的综合
【解析】
判断函数为奇函数，原式可化为f(m−1)<−f(3m)=f(−3m)，利用单调性求解即可.
【解答】
解：∵f(x)=x
1−x2
的定义域为(−1,1)，它关于原点对称，
且f (−x )=−x
1−(−x )2=−x 1−x 2=−f (x )，
∴ f (x )为奇函数，
∴ f (m −1)+f (3m )<0可化为f (m −1)<−f (3m )=f (−3m )①.
当x ≠0时，f (x )=x 1−x 2=11x −x
，
∵ 函数y =1x −x 在(−1,0)，(0,1)上均单调递减， 且x ∈(0,1)，f (x )>0；
x ∈(−1,0)，f (x )<0；
∴ f (x )为(−1,1)上的单调递增函数，
∴ 不等式①同解于 {−1<m −1<1，
−1<3m <1，m −1<−3m ，
解得：0<m <14.
∴ m 的取值范围是(0,14).
故答案为：(0,14
). 三、解答题
【答案】
解：(1)根据题意得：2∈A ，2∈B ，
将x =2代入A 中的方程得：8+2a +2=0，即a =−5，
则A ={x|2x 2−5x +2=0}={2, 12}， B ={x|x 2+3x −10=0}={2, −5}.
(2)∵ 全集U =A ∪B ={2, 12, −5}，A ∩B ={2}，
∴ (∁U A)∪(∁U B)=∁U (A ∩B)={12, −5}， ∴ (∁U A)∪(∁U B)的所有子集为⌀，{12}，{−5}，{12, −5}． 【考点】
集合关系中的参数取值问题
交、并、补集的混合运算
子集与真子集
【解析】
（1）由A 与B 的交集中元素为2，将x =2代入A 中的方程求出a 的值，即可确定出A 与B ；
（2）根据A 与B 求出两集合的并集与交集，找出交集的补集，即为所求；
【解答】
解：(1)根据题意得：2∈A ，2∈B ，
将x =2代入A 中的方程得：8+2a +2=0，即a =−5，
则A ={x|2x 2−5x +2=0}={2, 12}，
B ={x|x 2+3x −10=0}={2, −5}.
(2)∵ 全集U =A ∪B ={2, 12, −5}，A ∩B ={2}， ∴ (∁U A)∪(∁U B)=∁U (A ∩B)={12, −5}，
∴ (∁U A)∪(∁U B)的所有子集为⌀，{12}，{−5}，{12, −5}．
【答案】
解：(1)设A ，B 是非空数集．如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.
(2)函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2，当x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，我们就说f (x )是在区间D 上的增函数.
(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内I 任意的一个x ，都有f(x)=f(−x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
【考点】
函数的概念
偶函数
函数的单调性及单调区间
【解析】
(1)直接利用函数定义回答即可；
(2)直接用增函数的定义书写即可.
(3)直接利用偶函数定义求解.
【解答】
解：(1)设A ，B 是非空数集．如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.
(2)函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2，当x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，我们就说f (x )是在区间D 上的增函数.
(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内I 任意的一个x ，都有f(x)=f(−x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
【答案】
解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元，
由题意得y ={5,0<x ≤2，
5+1.6(x −2),2<x <8，14.6+2.4(x −8),x >8.
因为甲、乙两地相距10公里，即x =10>8，所以车费
y =2.4×(10−8)+14.6=19.4（元）．
所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元，
由题意得y ={5,0<x ≤2，
5+1.6(x −2),2<x <8，14.6+2.4(x −8),x >8.
因为甲、乙两地相距10公里，即x =10>8，所以车费
y =2.4×(10−8)+14.6=19.4（元）．
所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．
【答案】
解：(1)∵ A ={x|−2≤x ≤5}
={−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}，共8个元素，
∴ A 的非空真子集的个数为28−2=254个.
(2)已知A ={x|−2≤x ≤5}，B ={x|m −1≤A ≤2m +1}，A ∩B =⌀，
当B =⌀时，有m −1>2m +1，即m <−2，满足题意．
当B ≠⌀时，有m −1≤2m +1，即m ≥−2，
可得m −1>5或2m +1<−2，解得m >6或−2≤m <−32． 综上可知，m 的取值范围为m <−32或m >6. (3)∵ A ∪B =A ，∴ B ⊆A .
当B =⌀时，有m −1>2m +1，即m <−2，满足题意．
当B ≠⌀，有m −1≤2m +1，即m ≥−2，
可得{m −1≥−2,2m +1≤5,
解得−1≤m ≤2.
综上可知，m 的取值范围为m <−2或−1≤m ≤2.
【考点】
子集与真子集的个数问题
集合关系中的参数取值问题
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ A ={x|−2≤x ≤5}
={−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}，共8个元素，
∴ A 的非空真子集的个数为28−2=254个.
(2)已知A ={x|−2≤x ≤5}，B ={x|m −1≤A ≤2m +1}，A ∩B =⌀，
当B =⌀时，有m −1>2m +1，即m <−2，满足题意．
当B ≠⌀时，有m −1≤2m +1，即m ≥−2，
可得m −1>5或2m +1<−2，解得m >6或−2≤m <−32．
综上可知，m 的取值范围为m <−32或m >6.
(3)∵ A ∪B =A ，∴ B ⊆A .
当B =⌀时，有m −1>2m +1，即m <−2，满足题意．
当B ≠⌀，有m −1≤2m +1，即m ≥−2，
可得{m −1≥−2,2m +1≤5,
解得−1≤m ≤2.
综上可知，m 的取值范围为m <−2或−1≤m ≤2.
【答案】
解：(1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，
则f(x +1)−f(x)
=[a(x +1)2+b(x +1)+c]−(ax 2+bx +c)
=2ax +a +b ，
与已知条件比较得：{2a =2，a +b =0，
解得：{a =1，b =−1.
又f(0)=c =1，
∴ f (x )=x 2−x +1 .
(2)由(1)得：
g (x )=f (x )−2x
=x 2−3x +1
=(x −32)2−54, x ∈[−1,2]，
当x =32时，g (x )有最小值−54， 当x =−1时，g (x )最大值5，
∴ g(x)的值域为[−54,5] . 【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数的值域及其求法
【解析】
【解答】
解：(1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，
则f(x +1)−f(x)
=[a(x +1)2+b(x +1)+c]−(ax 2+bx +c)
=2ax +a +b ，
与已知条件比较得：{2a =2，a +b =0，
解得：{a =1，b =−1.
又f(0)=c =1，
∴ f (x )=x 2−x +1 .
(2)由(1)得：
g (x )=f (x )−2x
=x 2−3x +1
=(x −32)2−54
, x ∈[−1,2]， 当x =32时，g (x )有最小值−54， 当x =−1时，g (x )最大值5，
∴ g(x)的值域为[−54,5] . 【答案】
(1)证明：令x =y =1，有f(1)=f(1)+f(1)，
∴ f(1)=0．
令x =y =−1，有f(1)=f(−1)+f(−1)，
∴ f(−1)=0．
令y =−1，有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，
∴ f(x)是偶函数.
(2)解：任取x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1<x 2，则x
2x 1>1， ∴ f(x 2)=f(x 2x 1⋅x 1)=f(x
2x 1)+f(x 1). ∵ x 2
x 1>1，当x >1时，f(x)>0，
∴ f(x 2)−f(x 1)=f(x 2x 1
)>0， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增，又f(x)是偶函数，
∴ f(x)在(−∞, 0)上单调递减．
(3)解：∵ f(2×2)=f(2)+f(2)=2，
∴ f(x)+f(x −3)≤2=f(4)，
∴ f[x(x −3)]≤f(4).
∵ f(x)是偶函数，
∴ f(|x(x −3)|)≤f(4)，
∴ {x ≠0，
x −3≠0，|x(x −3)|≤4，
解得−1≤x ≤4且x ≠0，3．
∴ 不等式的解集为[−1, 0)∪(0, 3)∪(3, 4].
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
奇偶性与单调性的综合
函数恒成立问题
【解析】
（1）法一：令x =y =1，可得f(1)=0．令x =y =−1，可得f(−1)=0．令y =−1，有f(−x)=f(x)+f(−1)，即可证明．
法二：由已知可得：f(x 2)=f(x)+f(x)=f(−x)+f(−x)，即可证明．
（2）任取x1，x2∈(0, +∞)且x1<x2，则x2
x1>1，可得f(x2)=f(x2
x1
⋅x1)=f(x2
x1
)+
f(x1)，利用x2
x1
>1，当x>1时，f(x)>0．即可证明．
（3）由已知可得：f(2×2)=f(2)+f(2)=2，不等式f(x)+f(x−3)≤2=f(4)，化为f(x(x−3)≤f(4)，由于f(x)是偶函数，可得f(|x(x−3)|)≤f(4)，再利用单调性即可得出．
【解答】
(1)证明：令x=y=1，有f(1)=f(1)+f(1)，
∴f(1)=0．
令x=y=−1，有f(1)=f(−1)+f(−1)，
∴f(−1)=0．
令y=−1，有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，
∴f(x)是偶函数.
(2)解：任取x1，x2∈(0, +∞)且x1<x2，则x2
x1
>1，
∴f(x2)=f(x2
x1⋅x1)=f(x2
x1
)+f(x1).
∵x2
x1
>1，当x>1时，f(x)>0，
∴f(x2)−f(x1)=f(x2
x1
)>0，
∴f(x)在(0, +∞)上单调递增，又f(x)是偶函数，∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减．
(3)解：∵f(2×2)=f(2)+f(2)=2，
∴f(x)+f(x−3)≤2=f(4)，
∴f[x(x−3)]≤f(4).
∵f(x)是偶函数，
∴f(|x(x−3)|)≤f(4)，
∴{
x≠0，x−3≠0，
|x(x−3)|≤4，
解得−1≤x≤4且x≠0，3．
∴不等式的解集为[−1, 0)∪(0, 3)∪(3, 4].。