大学数学高数微积分第七章线性变换第七节课堂讲义

即
1 + 2 + … + (i - ) + … +s = 0 .
令 j = j ，j i , i = i - ，
则 1 , 2 , … , s 是
满足
1 + 2 + … + s = 0
和
( A iE )ri i 0 i 1,2, s
的向量.பைடு நூலகம்
所以
1 = 2 = … = i = … = s = 0 ,
证明 令
fi()(f( i))ri ( 1)r1 ( i1)ri1( i1)ri1 ( s)rs
及
Vi = f (A )V .
则 Vi 是 f (A ) 的值域.
由本节
的不变子空间.
显然 Vi 满足
例 3 若线性变换 A 与 B 是可交换的，则B 的核与值域都是 A -子空间.
在 B 的 核 V0 中 任 取 一 向 量 ， 则 B ( A ) = (B A ) = (A B ) = A (B ) = A 0 = 0 .
所 以 A 在 B 下 的 像 是 零 ， 即 A V0 . 这 就 证 明 了 V0 是 A - 子 空 间 . 在 B 的 值 域 B V 中 任 取 一 向量 B ，则
A ( B ) = B (A ) B V .
可知 Vi 是A
( A iE )ri Vi f ( A )V 0 .
其中i Vi .
当然 i 满足
(A iE)ri i 0 , i 1,2, s .
所以 i = 0，i =1, 2, … , s .
由此可得到第一点中的
表示法是唯一的.
再设有一向量
示成
(A iE)ri 的核. 把 表
= 1 + 2 + … + s , i Vi i = 1 , 2, … , s .
A1 O
A2 A3
.
(2)
0 0 an,k1 ann
并且左上角的 k 级矩阵 A1 就是 A |W 在 W 的基
1 , 2 , … , k 下的矩阵.
2) 设 V 分解成若干个 A - 子空间的直和：
V = W1 W2 … Ws .
在每一个 A - 子空间 Wi 中取基
i1,i2 ,,ini (i 1,2,, s), (3)
的 0 倍，仍然是 的一个倍数.
这说明 的倍数
构成一个一维 A - 子空间.
显然， A 的属于特征值 0 的特征子空间
V 0
也是 A 的不变子空间.
A - 子空间的和与交还是 A - 子空间.
四、 A 在不变子空间上引起的变换
设 A 是线性空间 V 的线性变换，W 是 A 的不
变子空间.
由于 W 中向量在 A 下的像仍在 W 中，
第七节 不变子空间
主要内容
定义
举例
特征向量与一维不变子空间的关系
A 在不变子空间上引起的变换
子空间为 A - 子空间的条件
不变子空间与矩阵化简之间的关系
空间的分解
一、定义
这一节我们再来介绍一个关于线性变换的重要
概念------不变子空间.
同时利用不变子空间的概念
来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联
的两边，即得
fi(A ) i = 0 .
又
(fi()(,i)ri)1.
所以有多项式 u() , v() 使
u ()fi() v ()( i)r i 1 .
于是
i u ( A ) fi( A )i v ( A )A ( i E ) r i i 0 .
现在设
1 + 2 + … + s = 0，
的不变子空间.
证毕
由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为
不变子空间的直和是相当的.
七、空间的分解
下面我们应用
是 是 f f
哈 哈 密 密 顿 顿 - - 凯 凯 莱 莱 定 定 理 理
设 设
A A
是 是 数 数 域 域
P P 上 上 一 一 个 个
n n n n 矩 矩 阵 阵 ， ，
f f ( ( ) ) = = || E E - - A A ||
在 W 中取一组基 1 , 2 ,
… , k ，并且把它扩充成 V 的一组基
1 , 2 , … , k , k+1 , … , n .
(1)
那么， A 在这组基下的矩阵就具有下列形状
a11
a1k
a1,k 1
a1n
ak1
akk
0 0
ak ,k 1 ak 1,k 1
akn ak 1,n
下面来证明 V = V1 V2 … Vs .
为此要证明两点，第一，要证 V 中每个向量
都可表成
= 1 + 2 + … + s , i Vi , i = 1 , 2, … , s .
其次，向量的这种表示法是唯一的. 显然 ( f1() , f2() , … , fs() ) = 1，因此有多项
的核与值域都是 A - 子空间.
在 B 的核 V0 中任取一向量 ，则
B ( A ) = (BA ) = (A B )
= A ( B ) = A 0 = 0 .
所以 A 在 B 下的像是零，即 A V0 .
这就证
明了 V0 是 A - 子空间.
在 B 的值域 BV 中任取一
向量 B ，则
的.
三、特征向量与一维不变子空间的关系
设 W 是一维 A - 子空间， 是 W 中任何一个
非零向量，它构成 W 的基.
按 A - 子空间的定义
A W，它必定是 的一个倍数：
A = 0 .
这说明 是 A 的特征向量，而 W 是由 生成的
一维 A - 子空间.
反过来，设 是 A 属于特征值 0 的一个特征 向量，则 以及它的任一倍数在 A 下的像是原像
并把它们合并起来成为 V 的一组基 I .
则在这组
基下， A 的矩阵具有准对角形状
A1
A2
(4)
As
其中 Ai ( i = 1 , 2 , … , s ) 就是 A |W 在基 (3) 下的
矩阵.
反之，如果线性变换 A 在基 I 下的矩阵是准
对角形 (4) ，则由 (3) 生成的子空间 Wi 是A - 子空
系. 这样，对上面的结果可以有进一步的了解.
定义 12 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性
变换，W 是 V 的子空间.
如果 W 中的向量在A 下
的像仍在 W 中，换句话说，对于 W 中任一向量
有 A W， 我们就称 W 是 A 的 不变子空间，
简称 A - 子空间.
二、举例
例 1 整个空间 V 和零子空间 { 0 }，对于每个 线性变换 A 来说都是 A -子空间.
||A A ||E E
= =
O O ..
将空间 V
按特征值分解成不变子空间的直和.
定理 15 设线性变换 A 的特征多项式为 f()
它可分解成一次因式的乘积
f ( ) ( 1)r1 ( 2 )r2 ( s )rs .
则 V 可分解成不变子空间的直和
V = V1 V2 … Vs ,
其中 Vi { | ( A iE )ri 0, V }.
例 2 A 的值域与核都是 A -子空间. 按定义， A 的值域 A V 是 V 中的向量在A 下 的像的集合，它当然也包含 A V 中向量的像，所 以 A V 是 A 的不变子空间. A 的核是被 A 变成零的向量的集合，核中向
量的像是零，自然在核中，因此核是不变子空间.
例 3 若线性变换 A 与 B 是可交换的，则B
…………
A k = a1k1 + a2k2 + … + akkk .
从而 A 在基 (1) 下的矩阵具有形状 (2)， A |W 在
W 的基 1 , 2 ,…, k 下的矩阵是 A1 .
反之，如果A 在基 (1) 下的矩阵是 (2) ，那么
A 不难证明，由 1 , 2 ,…, k 生成的子空间 W 是
A ( B ) = B (A ) BV .
因此， BV也是 A - 子空间.
因为 A 的多项式 f (A ) 是和 A 交换的，所以
f (A ) 的值域与核都是 A - 子空间.
这种A - 子空
间是经常碰到的.
例 4 任何一个子空间都是数乘变换的不子空
间.
这是由于，按定义子空间对于数量乘法是封闭
这就证明了第一点.
为证明第二点，设有
1 + 2 + … + s = 0， 其中 i 满足
( A iE )ri i 0 i 1,2, s .
现在证明任一个 i = 0 .
因 (j)rj |fi()(ji), 所以
fi(A ) j = 0 ( j i ) . 用 fi(A ) 作用于
1 + 2 + … + s = 0
乘变换0 .
V 上引起的变换是数 0
五、子空间为 A - 子空间的条件
定理13 设 W 是线性空间 V 的子空间，且
W = L(1 , 2 , … , s ) .
则 W 是 A - 子空间的充分必要条件是
全属于 W .
证明 先证必要性 设 W 是 A -子空间，即
对任意的 W，有 A W . 由于
这就使得有可能不必在整个空间 V 中来考虑 A ，
而只在不变子空间 W 中考虑 A ，即把 A 看成是
W 的一个线性变换，称为 A 在不变子空间 W 上引
起的变换. 为了区别起见，用符号 A | W 来表示;
A 但在不致引起混淆的情况下，仍然可用 来表示.
必须在概念上弄清楚 A 和 A | W 的异同：
于是 = i Vi ，这就证明了 Vi 是
(AiE)ri
的核，即 Vi { | ( A iE )ri 0, V }.
若本请若请本本若请想若节本单想请若单节若节想本本请请单本本若结内想击节若若请结单想内请击本想本若节节若单内结请本单请击节本节想束若容若若返结请请想本内单本想若束击请本容本单结返请节若请结内内单若节想想请击容束节击本单若本返内内结想已若本请请单想想单回结束节容击本若节想结返节本本已单单内节击回束想束容容击单本想单返内结请返结节内已本击想结结节回容容想束堂若击击单单若本按结结请返节内已本内结想内回结击节堂束击请容本返内按本结已已本结单击内若节回击回容束容束结束堂束本返结内想请返返按结本已已课本钮击击单想回节内束束容结容若堂容束按结返请返已内课单本回节堂钮结结容束束堂击容想按返返按内已本已本本束课结单节回回堂回束容束钮,.结击!按结容堂返返结内想已已已本本束钮课单回回结束击容,!按堂课束束按.内返已本本已结课钮堂回钮结回容束击结堂按按堂课,内返钮本按已本已.束束课结结回回结束堂容结!击堂堂.按束按,返已钮本,!课回结钮堂容堂束.结课,束按.本!!返钮钮束按已,束课课回.结容堂钮堂束结束,束课返按按钮束本已钮课课回.结!!!堂按束课,.本课,已束堂回..钮钮结按束,,!本课已.课!束回,.!钮钮.堂结!按,,!钮束课!,堂,!结课按.钮.束堂,!结按!,..钮课束.!,课,钮!束.课钮束!.,,.!,.! !
u1() , u2() , … , us() 使
u1() f1() + u2() f2() + … + us() fs() = 1 .
于是
u1(A ) f1(A ) + u2(A ) f2(A ) + … + us(A ) fs(A ) =E.
这样对 V 中每个向量 都有
=u1(A )f1(A )+u2(A )f2(A )+…+us(A )fs(A ) 其中 ui(A )fi(A ) fi(A )V = Vi , i =1, 2, … , s .
A 是 V 的线性变换，V 中每个向量在 A 下都
有确定的像；
A | W 是不变子空间 W 上的线性变
换，对于 W 中任一向量 ，有
(A | W ) = A .
但是对于 V 中不属于 W 的向量 来说，(A |W )
是没有意义的.
例如，任一 线性变换在它的核上引起的变换就
是零变换，而在特征子空间
间.
证明 只证 1) ，因为2) 的证明与 1) 类似.
因为 W 是 A - 子空间，所以像
仍然在 W 中.
线性表示
A 1 , A 2 , … , A k
故它们可以通过 W 的基1 , 2 ,…, k
A 1 = a111 + a212 + … + ak1k ,
A 2 = a121 + a222 + … + ak2k ,
所以 于是
W = L(1 , 2 , … , s ) ， 1 , 2 , … , s W，
A 1 , A 2 , … , A s W .
A 1 , A 2 , … , A s
六、不变子空间与矩阵化简之间的关系
定理14 1) 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变
换, W 是 V 的 A - 子空间.
A A 的 的 特 特 征 征 多 多 项 项 式 式 ， ， 则 则
( ( A A ) ) = = A A n n - - ( ( a a 1 1 1 1 + + a a 2 2 2 2 + + … … + + a a n n n n ) ) A A n n - - 1 1 + + … … + + ( ( - - 1 1 ) ) n n