状态方程——精选推荐

第四讲
状态方程的建立 (适用于动态电路时域分析)
动态电路⎧⎧⎪⎪
⎧⎪
⎨⎨⎨⎪
⎩⎩⎪
⎪⎩
输入输出法 时域法状态方程内部变量法输出方程运算法（线性电路）
上世纪60年代后，由内部变量法为数学模型建立的控制理论为现代控制理论。

状态方程的好处：
1.利用线性代数等数学工具，表达简明，美观；
2.状态方程数值解有丰富的算法，解析解可借助于一阶电路求解思路；
3.便于推广到非线性电路、时变电路；
4.便于定性分析（例如状态空间法，吸引子等）；
一、建立方程首先考虑的问题——状态变量选取
1、状态方程与输出方程的标准形式
x
x u y x u u u ⎧⎨
⎩12
=A +B =C +D +(D +D +) ① 左边系数为1
② 状态方程右边无激励微分项 ③ 无非状态变量
2、状态变量（一组动态独立变量）
① 定义： 对所有0t t ≥，状态变量是一组可以确定网络的动态行为的线性无关的最少变量。

只要确定了它们，其余变量与状态变量就是代数关系。

输出方程正说明了这一点。

② 状态变量选择：,C L u i 利用VCR ：C C du i C
dt =，L L di
u L dt
= 可直接得到一阶微分，否则会出现积分 (0),(0)C L u i 为独立初始条件
③ 电路的状态变量的最大个数LC L C b += 3、网络的复杂阶数LC n b ≤
n 是状态变量的个数、独立一阶微分方程的个数、电路的阶数、特征根的个数 ① 无受控源 LC C L n b n n =-- n C ：仅容回路的个数
仅容回路：回路中仅有电容和理想电压源
+-
+
+
1c U U 3
U s
U
KVL ：1320C C S C u u u u +--=
任一变量可由其他变量表示，有一个不独立。

确定n C 方法——开路法：令N 中所有R ，L ，i S 开路，剩余的子网络为N C ，任选N C 中的一个树T C ，对应的单连支回路即为仅容回路，连支个数即为n C ，若T C 不连通，则找林。

n L ：仅感割集的个数
仅感割集：割集中仅有电感和理想电流源
KCL ：021=--S L L i i i
任一变量可由其他变量表示，有一个不独立 确定L n 方法——短路法：将N 中所有R ，C ，u
N L ，在N L 中选一树T L ，则单树
支割集为仅感割集，树支数即为n L 。

例1：
10
一个单连支回路
8
C
一个单树支割集
33114n =+--=
② 含受控源 )(L C LC n n b n +-≤ 例2 1=C n ，3=LC b , 213=-≤n
预选2C u ，3C u 作状态变量
22232
1312C C C C C C du du u u
C i i i i i C dt dt R
-=-=-=+=+ 即2212311
()C C C du C C u u dt R R
-=-
2
33
23
11
C C C du C u u dt R R =- 初始型221
233301110
11C C C C du C C u dt C u du R dt ⎡⎤
⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥
⎣⎦⎢⎥⎣⎦
当012≠-C C 时,n=2，两个方程
012=-C C 时，n=1,即只剩下一个方程
即：去掉全零行方程，由此方程解得 23C C u u =
∴剩下一个方程：330C du C dt =，30C du
dt
⇒= 标准型
结论：
Ⅰ.本题由受控源造成12C C -（隐患） Ⅱ.1C 是否等于2C 由参数决定
所以，复杂阶数在列方程之前不好确定，即状态方程的标准形式建立需要一个曲折过程。

二、标准型状态——输出方程的建立过程
1、建立方程方法
拓扑矩阵法、直接建立初始型状态方程法
2、建立过程
初始型→准标准型（仅左边满足标准）→标准型（右边也满足标准）→求解。

（1）初始型
(0)(0)(0)00M x
(t)=A x (t)+B u(t) (0)(0)(0)00N x
(t)+y(t)=C x (t)+D u(t) 其中x 0(t )为预选状态变量u C (t )和i L (t )，维数是b CL 。

当x 0(t )中不存在非独立变量时，M (0)非奇异，可得状态方程标准型式，否则继续。

（2）准标准型
对初始型进行若干次初等行代换，可使M (0)的一行或几行全为零，从而可求得预选状态变量之间和电源之间的依赖关系，回代方程并整理，可消掉多余的变量。

这一过程要重复进行多次，每一次得一新的M (i )，当M (i )不再奇异时，得： 12x(t)
=Ax(t)+Bu(t)+B u(t)+B u(t)+ 12y(t)=Cx(t)+Du(t)+D u(t)
+D u(t)+ x(t)是x 0(t)的子集。

（3）标准型
对准标准型进行若干次变量代换，可得标准型
x x u y x u u u ⎧⎨
⎩12=A +B =C +D +D +D +
注意：这时的状态变量已不再代表电容电压和电感电流，并且没有明显的物理意义，称为辅助变量。

（4）求出辅助变量的初始值。

（5）计算求得方程的解。

三、拓扑矩阵法求初始型状态——输出方程
例3（无受控源）
S u 5
S
1、选树（预选状态变量）
对单树支割集列KCL ，连支电流是基底（独立变量）（除n L ）i L ,i S 对单连支回路列KVL ，树支电压是基底（独立变量）（除n C ）u C ,u S
树支： u CT u S u Lt ( n L ) u d u Rt 连支： i Ll i S i Cl (n C ) i d i Rl
2、列两类约束方程
C =⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-----010101
000
110010100111100010001000001
① KCL t l l i =-C i
⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡98765432010101100111110001001C R R L S R C C U i i i i i i i i i S ② KVL T
l t t l t u =-B u =C u ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432198760110111000
11101001
005R C C S C R R L i u u u u u u u u u S ③ VCR dt du C i C C 222= dt du C i C C 333= dt di L u L L 6
6
6= dt
du
C i C C 999
= Rj Rj Ri u =(j =4,7,8)
3、提取所需方程
① 提取状态变量一阶微分方程 632,,L C C u i i
987622
2
C R R L C C i i i i K C L i V C R dt du C --+- VCR,KCL 98533
3
C R S C C i i i K C L i V C R dt
du C ++- VCR,KCL
4266
6
R C L L u u K V L u V C R dt
di L -+ VCR,KVL ② 提取方程中的非状态变量 4987,,,R C R R u i i i )(864444R L R R i i R K C L i R V C R u +
)(1
1217777C S R R u u R K V L u R V C R i -　
)(1
14328
888R C C R R u u u R K V L u R V C R i --
dt
u u d C KVL dt du C VCR i C C C C )
(329999- 4、整理成初始型状态方程
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+dt di dt du dt du L C C C
C C C L C C 63269
3999
20
00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+-+++-+-
+-++++-=63
28464844848
84684848
46
8
48
47)
1(1111
1
1L C C i u u R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+517
00
1001
S S i u R 即：(0)(0)(0)00M x
=A x +B u 5、输出方程 若9C u 为输出
329C C C u u u -=
与状态方程合并为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9632)
0(100C L C C u dt di dt du dt du M =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-00011)0(632)0( B i u u A L C C ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡51S S i u 含受控源电路的一般方法（归纳）
1、选特征树
2、列基本方程
（1）割集矩阵=C [1
F]
规定：树中的电感支路仅与连支中的独立电流源、受控电流源和电感构成割集，连支中的电容仅与树支中的独立电压源、受控电压源和电容构成回路，因此F Gs =0、F Γs ＝0、F ΓR ＝0 （2）基本割集方程KCL ，l l t I C I -=
（3）基本回路方程KVL ，t T l
t t l U C U B U =-=
3、确定基底（独立）变量)(t W ，把树支电压和连支电流变量按下列次序排列：
4、列VCR ——其他变量用独立变量W(t)表示(代数关系和微分关系)
G G G R R R I (t)G 0U (t)=U (t)0R I (t)⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
C C C
S S S I (t)C 0U (t)=I (t)0C U (t)⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
L L L LL L U (t)L L I (t)=U (t)L L I (t)ΓΓΓΓΓΓ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
5、提取所需方程，形成矩阵
6、合并同类项，消去非状态变量微分项，整理成矩阵方程
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
234(0)(0)(0)00(0)
(0)(0)S S 0Z(t)S S 0M 0x (t)=A x (t)+B u(t)0N 1y(t)C D
其中 ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
A B G R U (t)I (t)Z(t)=U (t)I (t)， ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭s Γ0
C L U (t)I (t)x (t)=U (t)I (t)， ⎛⎫ ⎪⎝⎭
v I U (t)u(t)=I (t) 7、只取式中后两行，即为所求。

四、直接法建立初始型
1：拓扑法弊端：基底变量太多，若再考虑连支电流源，树支电压源，就有12类，太复杂，让人无法忍受。

2：不用割集阵，回路阵，直接用关联阵A ，按元件分类，表上有7类
R
C L V I A B A =[A A A A A A A ]
3、基本变量
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
N C L V I A U (t)I (t)I (t)W(t)=I (t)I (t)I (t) N U （全部支路电压，电阻电流，受控源控制量都可表达）
I 支路电流（无法用N U 表达的电流）
支路电流中R R N 1
I =
U =f(U )R 受控电流源⎧⎨⎩R
B N R
βI I ==f(U )gU 其他元件（电容、电感）电流与N U 没有代数约束关系
4、KCL AI =0 KVL T
N U =A U
VCR 动态元件 C C C L L L I (t )=C U (t )U (t )=L I (t )
受控源
输出方程
5、提取所需方程，联立，合并同类项，整理后可得初始型方程。

五、标准型（数学方法）
已得初始型 (0)
(0)(0)00M
x
(t)=A x (t)+B u(t) (0)
(0)(0)00N
x (t)+y(t)=C x (t)+D u(t)
㈠准标准型
1、⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
x y 的系数阵⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(0)(0)
M 0N 1非奇异，两边左乘其逆即可。

说明预选状态变量正确无误，受控源没捣乱。

2、奇异，说明受控源捣乱，进行初等变量降阶，叠代，去掉多余的非状态变量，直到非奇异，再求逆
㈡标准型
变量代换消去状态方程中输入的各阶导数项
注意，变量代换后的各变量在电路中已无对应物理意义
参考文献
［1］邱关源《电路》第4版，高等教育出版社 ［2］杨山《线性网络分析》
思考题与习题
图示网络中，令受控电流源电流为输出。

导出网络初始型状态——输出方程。