2019高三数学暑假小一轮复习(补充篇)

【必修二--空间几何体】
直线、平面、简单几何体
1.（1）三视图包括：正视图：物体 方向投影所得到投影图；它能反映物体高度和长度；左视图：物体 方向投影所得到投影图；它能反映物体高度和宽度；俯视图：物体 方向投影所得到投影图；它能反映物体的长度和宽度；
（2）三视图画法规则：高平齐： 图与 图高要保持平齐；长对正： 图与 图长应对正； 宽相等： 图与 图宽度应相等；先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。

画的时候把轮廓线要画出来，被遮
住的轮廓线要画成 。

（3）斜二测画法应注意的地方： （１）在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy 。

画直观图时，
把它画成对应轴 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°（或135° ）；
（２）平行于ｘ轴的线段长不变，平行 于ｙ轴的线段长减半．
（３）直观图中的４５度原图中就是９０度，直观图中的９０度原图一定不是９０度． 如图（1），三角形ABO 的面积是6； 2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S 底h ⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=3
1S 底
h ：
⑶台体①表面积：S=S 侧+S 上底S 下底②侧面积：S 侧=l r r )('+π③体积：V=3
1
（S+
''S SS +）h ；
⑷球体：①表面积：S=24R π；②体积：V=3
3
4R π
3.正四面体(设棱长为a )的性质：
①全面积2S
=；②体积312
V =
；
③对棱间的距离d =；④相邻面所成二面角13
arccos α=；
⑤外接球半径
4
R ；⑥内切球半径12
r =；⑦正四面体内任一点到各
面距离之和为定值3
h .
4.（理科）用向量方法求空间角和距离
⑴求异面直线所成的角：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角||||||
arccos a b a b α⋅⋅=；
⑵求线面角：设l 是斜线l 方向向量,n 是平面α法向量, 与直线l 则斜线
l 的锐夹角为ϑ,||||||
cos l n l n θ
⋅⋅=
，则斜线l 与平面α成角为ϑ-0
90
，或
||||||
sin l n l n α⋅⋅=
；
注意：||||||
cos l n l n θ⋅⋅=
得到的角ϑ是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；
⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥,在β内b l ⊥,其方向如图(略),则||||
cos a b a b α⋅⋅=
；
(法二)设1n ,2n 是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角
l αβ--的平面角1212||||
cos n n n n α⋅⋅=
；注：12120
||||
cos n n n n α<⋅⋅=
不能判断二面角是钝
角，还要根据图形辨别； （4)求点面距离：设n
是
α法向量,在α内取一点B ,则A 到α距离
|||||cos |||
AB n d AB n θ⋅==
(即AB 在n 方向上投影的绝对值)
5. 坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz 时，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°。

(1)让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指能指向z 轴的正方向，则称为右手直角坐标系；
(2) OQ=x 、OR=y 、PA=z 分别叫做点A 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A （x,y,z ）；
(3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知，
不共线,，⊥⊥,则为平面α
的法向量。

应知应会知识和方法：
1．(1) 一个正方体的内切圆柱与外接圆柱的表面积之比是______________． 解：3∶（2＋22）
(2)一将一个圆锥截成一个圆台，若圆台的上下底面半径之比是1：4，母线长是10cm ，则圆锥的母线长是______________．
解：40
3
cm ．
(3)与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为_____________．
解：π6
(4)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2． 解：2＋42．
(5)一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a ，则其侧面积为_____________．
解：3
4
a 2．
(6)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1．5，∠ABC ＝120°，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．
解：32
π．
(7)用一个半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_______．
答案：3
2
r
(8)棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,若E 、G 分别为C 1D 1、BB 1的中点，F 是正方形ADD 1A 1的中心,则空间四边形BGEF 在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 。

解：12
．
说明：考查柱、锥、台、球和简单组合体的表面积和体积。

要求掌握柱、锥、台、球的表面积和体积的计算，会拆分几何体。

2．(1)给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：
①若m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；
④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β． 其中为假命题的是___________． 解：③．
(2)已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；③若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β； ④若m 、n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β． 其中真命题是___________． 解：③④．
(3)给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的是 ． 解：①②④．
说明：考查空间线面位置关系的判断和性质．要求能够根据图形想象空间两条直线、直线与平面的位置关系，能够正确进行文字语言、符号语言、图形语言之间的转化．
3．(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是____．
解：1＋2π2π
．
(2)三棱锥S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝30°，M 和N 分别是棱SB 和SC 上的点，则△AMN 周长的最小值为 _______ ． 解：2． 说明：空间几何体的展开图的处理方法．
4．如图，M ，N ，K 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，
CD ， C 1D 1的中点． （1）求证：AN ∥平面A 1MK ；
（2）求证：平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK ． 证明：（1）证明：连结NK ． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
∵四边形AA 1D 1D ，DD 1C 1C 都为正方形，∴AA 1∥＝DD 1．
∵N ，K 分别为CD ，C 1D 1的中点，∴DN ∥＝D 1K ．
∴DD 1KN 为平行四边形．∴KN ∥=DD 1．∴AA 1 ∥=KN ． ∴AA 1KN 为平行四边形．∴AN ∥A 1K ． ∵A 1K ⊂平面A 1MK ，AN ⊂/平面A 1MK ，∴AN ∥平面A 1MK ． （2）连结BC 1．由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得AB ∥=C 1D 1， 又∵M ，K 分别AB ，C 1D 1中点，∴BM ∥=C 1K ． ∴四边形BC 1KM 为平行四边形．∴MK ∥BC 1．
在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1B 1⊥BC 1．
∵MK ∥BC 1，∴A 1B 1⊥MK ．∵BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C ．∴MK ⊥B 1C ． ∵A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴MK ⊥平面A 1B 1C ． ∵MK ⊂平面A 1MK ，∴平面A 1MK ⊥平面A 1B 1C ．
说明：考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、两平面平行、垂直的判定
与性质．要求能够运用相关的判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的
简单命题． ． 【必修二--直线与圆】
一、直线的基本量
1．两点间距离公式：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则2
12212)()(y y x x AB -+-=
特别地：x //AB 轴，则
=AB ；y //AB 轴，则=AB .
2．直线l ：y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =相交的弦AB 长公式
消去y 得02
=++c bx ax （务必注意0∆>），设A ),(),,(2211y x B y x 则：
AB ==3．直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角[0,)απ∈；当2
π
α
≠
时，直线的斜率tan k α=.
（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图 4．直线在x 轴和y 轴上的截距
（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义. 5．直线的方向向量
（1）若直线的斜率为k ，则直线的方向向量是（1，k ）； （2）若直线的方程为
0=++C By Ax ，则直线的方向向量是（B ，－A ）.
A B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1 M
N K A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M
N K
二、直线的方程
1．五种形式：点斜式
)
( x x k y y -=-、斜截式y=kx+b 、两点式
1
21
121x x x x y y y y --=
--、截距式
1=+b
y
a x 、一般式0=++C By Ax . 2．一般不用“两点式”；注意每一种形式的适用条件；注意两种形式之间的转换. 三、两条直线的位置关系
1．判断方法：系数判断法、斜率判断法、方向向量判断法. 2．有用的结论
两条直线
1110A x B y C ++=、2220A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.
四、到角与夹角（前提是1l 与2l 相交）
1．1l 到2l 的角，指从1l 按逆时针方向旋转到2l 所成的角，范围),0(π，若直线1l 的斜率为
k 1
，直线2l 的斜率为k 2
，则2
11
21tan k k k k +-=α.
2．1l 与2l 的夹角，指1l 、2l 相交所成的锐角或直角，范围是(0,
]2
π
，若1l 与2l 的夹角为
θ，则=
θtan 2
1211k k k k +-，适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1.
3．注意：1l ⊥2l 时，夹角=到角=
2
π
；当1l 与2l 中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角.
五、点到直线的距离
1．点00(,)P x y 到直线
0=++C By Ax 的距离： 2
2
B
A C
By Ax d +++=
2．平行线间距离：若
10Ax By C ++=、20Ax By C ++=，则2
2
21B
A C C d +-=
.
注意点：x ，y 对应项系数应相等. 六、圆
1．确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程：222
)()(r b y a x =-+-， 其中圆心为(,)a b ，半径为r .
（2）一般方程：
022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D 其中圆心为
(,)22
D E
--，半径为2422F E D r -+=
. （3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .
2．直线
0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系
（1）位置关系判断方法：半径比较法（首选）、判别式法. （2）求圆的弦长方法：垂径定理. （3）求圆的切线：“d
r =”.
（2）一个结论：过圆2
22
x y r +=上的点P 00(,)x y 的切线的方程为200xx yy r +=.
3．两圆的位置关系：当两圆相交时，公共弦所在的直线方程为…
【应知应会知识和方法】
1．（1）直线过点(0，－3)，(－3，0)，则此直线的斜率是_______________． 解：－1．
（2）倾斜角为120︒的直线的斜率是____________． 解：－3．
（3）若直线l 的斜率k ＜0，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．
解：(π
2
，π)．
考查直线的倾斜角、斜率、斜率公式，理解倾斜角与斜率之间关系．注意正切函数的图象与性质的适当应用．
2．（1）过两点(－1，1)和(3，9)的直线的方程是________________． 解：2x －y ＋3＝0．
（2）已知直线l 的一般式方程为3x ＋5y －15＝0，则直线l 的截距式方程是____________．
解：x 5＋y
3
＝1．
（3）过点(5，2)，且在x 轴上截距是在y 轴上截距的2倍的直线方程是_____________． 解：x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0
考查直线方程的几种形式、适用范围，注意截距的概念、运算的准确．
3．（1）已知两条直线l 1：y ＝ax －2和l 2：y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a 的值等于________． 解：－1．
（2）已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0．若l 1∥l 2，则a ＝___________． 解：2．
（3）若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，4)共线，则a 的值等于_____． 解：4．
（4）求过点A (1，－4)且与直线2x +3y +5=0平行的直线的方程是______________． 解：2x ＋3y ＋10＝0.
（5）原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程是____________． 解：2x －y ＋5＝0．
考查两条直线平行与垂直的条件，注意选择合理的转化方法．
4．（1）两条直线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是____________． 解：(－2，2)．
（2）已知三条直线l 1：(m ＋2)x －y ＋m ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：y ＝0相交于同一点，则实数m 的值是_______．
解：m ＝－4
3
．
（3）平行四边形两条邻边方程是x ＋y ＋1=0和2x -y ＋3=0，且对角线交点是(2，2)，则平行四边形另外两条边所在直线方程是_____________________．
解：一个顶点为(－43，13)，另两边的交点(163，11
3
)，另两边方程为x ＋y -9=0，2x -y -7=0．
考查两条直线的交点的计算，注意运算准确、注意图的运用．
5．（1）已知△ABC 的顶点坐标为A (－1，5)，B (－2，－1)，C (4，7)，则BC 边上的中线AM 的长是_____________． 解：22．
（2）已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则实数a 等于__________． 解：2－1．
（3）两条平行线2x －7y ＋8=0和2x －7y －6=0之间的距离是____________．
解：145353
．
（4）若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则2a －b 的值是_________． 解：8．
（5）已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为__________． 解：5．
考查两点之间的距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、平行线之间的距离公式，注意综合应用平行、垂直、交点、距离等工具转化对称问题．
6．（1）设y x ,满足约束条件：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 ．
解：2．
（2）已知平面区域D 由以A (1，3)，B (5，2)，C (3，1)为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区
域D 上有无穷多个点(x ，y )可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则实数m ＝__________ 解：1．
考查线性规划问题，注意平面区域与不等式组的对应，体会数形结合的重要思想．
7．（1）以点(1，2)为圆心，与直线4x ＋3y －35=0相切的圆的方程是___________． 解：(x －1)2＋(y －2)2＝25．
（2）过三点A (4，3)，B (5，2)，C (1，0)的圆的方程是_____________． 解：x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0．
（3）圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心C 到直线x －y ＝1的距离为_____________． 解：2．
（4）圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为_____________． 解：(x －1)2＋(y －1)2＝1．
（5）过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是________________． 解：(x －1)2＋(y －1)2＝4．
考查圆的方程，注意直接找圆心、半径与待定系数法之间的选择．
8．（1）圆x 2＋y 2＝1与直线kx ＋y －k ＝0（k ∈R 为常数）的位置关系是____________ 解：相交．
（2）已知圆O 1：x 2+y 2－4x －2y －4＝0,圆O 2：x 2+y 2－6x +2y +6＝0．则圆O 1与圆O 2的位置关系是
___________． 解：相交．
（3）若直线(1＋a )x ＋y ＋1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则实数a 的值为_____________． 解：－1．
（4）过点P (－3，－2)且与圆：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相切的直线方程是_____________． 解：x ＝－3或3x －4y ＋1＝0．
（5）直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于 ． 解：45．
（6）圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为_________. 解：2．
考查直线与圆、圆与圆的位置关系，注意平面几何的一些方法在求弦长、切线、交点、最值等问题的合理应用，简化运算的过程．
9．已知三角形的两个顶点是A (-10，2)、B (6，4)，垂心是H (5，2)，求第三个顶点C 的坐标． 解：C (6，－6)． （注意草图的应用）
10．求过点A (2，－1)，且和直线x －y ＝1相切，圆心在直线y ＝－2x 上的圆的方程． 解：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338．
11．若圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m =0与直线 l ：x+2y －4＝0相交于M 、N 两点．
（1）若|MN |＝4
5
，求m 的值；
（2）若OM ⊥ON （O 为坐标原点），求m 的值．
解：（1）4；（2）8
5
．
12．已知以点C (t ，2
t
)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆经过原点O ，圆C 分别交x 轴，y 轴于点A ，B ．点
A ，
B 与点O 不重合．
（1）求证△OAB 的面积为定值；
（2）设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：（1）∵S △OAB ＝4，∴△OAB 的面积为定值． （2）圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5．
13．将圆02222
=-++y x y x
按向量(1,1)a =-平移得到圆O ，直线l 与圆O 相交于A 、
B 两点，若在圆O 上存在点
C ，使0,.OC OA OB OC a l ++==且求直线l 的方程.
解：由已知圆的方程为22
(1)(1)2x y ++-=，按(1,1)a =-平移得到
22:2O x y +=.
∵(),OC OA OB =-+ ∴22
()()0OC AB
OA OB OB
OA OA OB ?-+?=-=，即OC AB ^
.
又OC a l =，且(1,1)a =-，∴1OC k =-.∴1AB k =.
设:0AB
l x y m -+=， AB 的中点为D.
由()2OC OA OB OD =-+=-，则2OC OD
=，
又
22,OC OD =\=
.
∴O 到AB . 2=，∴1m =
?.
∴直线l 的方程为：10x y --=或10x y -+=.
【必修四--平面向量】
一、向量的基本概念
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量. 二、加法与减法运算
1．代数运算
(1)
n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．
(2)若a =（11,y x ）, b =（22,y x ）则a ±b =（2121,y y x x ±±）． 2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量
=
、
=
为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量
=+,=－,=－.且有︱︱－︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱．
3．运算律
向量加法有如下规律：＋=＋(交换律)；
+(+ c )=(+ )+ c （结合律）；
+0= ＋(－)=0. 三、实数与向量的积
实数λ与向量a 的积是一个向量。

1．︱λ
a ︱=︱λ︱·︱a ︱；
(1) 当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0
时，λ
a 与a 的方向相反；当λ=0
时，
λa =0．
(2)若a =（11,
y x ），则λ·a =（11,y x λλ）．
2．两个向量共线的充要条件：
(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得=λ．
(2) 若=（11,
y x ）, =（22,y x ）则∥01221=-⇔y x y x ．
四、平面向量基本定理
1．若1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ，2λ，使得a =1
λ1e + 2λ2e ．
2．有用的结论：若1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数1λ，2λ，使得
1λ1e + 2λ2e =0，则1λ=2λ=0.
五、向量的数量积
1．向量的夹角：
已知两个非零向量与b ，作=, = b ,则∠AOB=θ （00
1800≤≤θ）叫做
向量与b 的夹角（两个向量必须有相同的起点．．．．．
）。

2．两个向量的数量积：
已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ．
其中︱b ︱cos θ称为向量b 在方向上的投影． 3．向量的数量积的性质：若=（11,
y x ）, b =（22,y x ）
（1）e ·=·e =︱︱cos θ (e 为单位向量)； （2）⊥b
⇔·b =0⇔02121=+y y x x （，b 为非零向量）；
（3）︱︱= 2
1a a x ⋅=+
（4）cos θ=
a b a b
⋅⋅=
2
2
2
2212
12121y x y x y y x x +⋅++．（可用于判定角是锐角还是钝角．．．．．．．．．．．．．
） 4．向量的数量积的运算律：
·b = b
·；(λ)·b =λ(·b )=·(λb )；(＋b )·c =·c +
b ·
c ．
六、点P 分有向线段21P P 所成的比
1．定义：设P 1、P 2是直线l 上两个点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数
λ使P P 1=λ2P P ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。

2．位置讨论：
（1）当点P 在线段21P P 上时，λ＞0；特别地：点P 是线段P 1P 2的中点是1λ=.
（2）当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上时，λ＜0； 3．分点坐标公式：若P P 1=λ
2P P ；21,,P P P 的坐标分别为（11,y x ）,（y
x ,）,
（2
2,y x ）；则⎩⎨⎧++
=++=λ
λλ
λ112
12
1
x x x y y y ，（λ≠－1）， 中点坐标公式：
⎩
⎨⎧+=+=222
12
1x x x y y y ．
提醒：一、向量夹角的范围：已知两个非零向量a 与b ，作=a , =b ,则∠AOB=θ，其中00
1800
≤≤θ。

二、向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角，这一点是大家极容易忽视的。

在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a
,则CA BC ⋅的值为 20-
三、向量的夹角计算方法要灵活：两个向量夹角是,a b <>，它的计算方法从代数的角度有
三
个
手
段
，
即
向
量
的数
量
积
定
义
式
和
坐
标
式
：
c
o s ,
a b a b
a b
∙<>=∙=
2
2
2
22
12
12
121y x y x y y x x +⋅++；同时要注意数形结合思想的运用。

已知向量(2,0),(2,2),(2cos sin )
OB OC CA a a ===，则向量,
OA OB 的夹角范围是[12π，512
π]
四、向量夹角是钝角的充要条件：b a
,的夹角为钝角，得到,0<⋅b a 反之，0<⋅b a ，不能说明b a ,夹角为钝角，因为b a ,的夹角为
180时也有,0<⋅b a 因此，b a ,的夹角为钝角充
要条件是0<⋅b a
且a b 。

设平面向量)()1,()1,2(R ∈-=-=λλ，，若a 与b 的夹角
为钝角，则λ的取值范围是),2()2,2
1
(+∞⋃-
七、主要思想与方法
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点
的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。

由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

【应知应会知识和方法】
1．（1）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，
，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的
中点，则OE
= （用，，a b c 表示）．
答案：111244
a b c ++．
（2）在ABC ∆中，BD 2DC =，AD mAB nAC =+，则
m
n
= ． 答案：
12
． 说明：考查向量的几何运算，掌握向量的加法、减法、实数与向量积、向量数量积的定义及其运算律，理解用一组基底向量表示其他向量的方法．
2．（1）设−→
AB ＝(2，3)，且点A 的坐标为(2，3)，则点B 的坐标为 ． 答案：(4，6) ．
（2）已知向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，6)，且a ∥b ，则x = ． 答案：4．
（3）已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值是 ． 答案：2．
（4）设向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，－1)，则(a ⋅b )(a ＋b )等于 ． 答案：(－4，－4) ．
（5）已知a ＝(5，4)与b ＝(3，2)，则与2a －
3b 平行的单位向量为 ． 答案：)55±． 说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式，提高坐标运算的能力．
3．（1）若|a |＝3，| b |＝2，且a 与b 的夹角为
60°，则|a －b |＝ ．
（2）已知向量a 与b 的夹角为120，且
4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．
答案：0．
（3）若|a |＝1，| b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3 a ＋5 b )⊥(m a －b )，则实数m 的值为 ．
答案：
238
（4）已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB |=5，|BC |=6，|CA |=7，则−→AB ⋅−→BC ＋−→BC ⋅−→CA ＋−→CA ⋅−→
AB 的值等于 ． 答案：－55．
（5）在△ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则−→OA ⋅(−→OB ＋−→
OC )的最小值是__________．
答案：－2．
说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示方法，要记准公式，确保运算结果正确．平面向量的模的问题常常用=2
2|a |a 来转化；两个平面向量的夹角常常通过cos ||||
a b
a b θ=
来求
解． 4．（1）已知
2OA =，2OB =，0=⋅OB OA ，点C 在线段AB 上，且60AOC ∠=，则
⋅ 的值是________________．
答案：
（2）如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点， M ，N 是线段AB 的三等分点．若OA =6，则NC MD ⋅的 值是 ．
A
B
C
D
M N
O
答案：26．
（3）已知△ABC 中，AB =3，AC =2，D 是BC 边上的中点，则AD BC ⋅= ．
答案：52
-
． （4）已知△ABC 中，AB =3，AC =2，O 是△ABC 外接圆的圆心，则AO BC ⋅= ．
答案：52
-
． 说明：着重考查向量数量积．两向量的数量积常常通过以下三种途径加以计算：（1）利用定义，即求出两个向量的模及其夹角；（2）建立适当的坐标系利用坐标；（3）利用平面向量基本定理转化为基底之间的运算．三角形中的有关性质要能进行熟练转换．
【必修五--解三角形】
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin sin 2a
b
c
A B C
R =
=
=
2、.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a 2=
b 2+
c 2－2bc cos A ； b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； c 2=a 2+b 2－2ab cos C
在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2
.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.
由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =ca b a c 2222-+；cos C =ab
c b a 22
22-+.
3.ABC ∆中,易得：A B C π++=,
①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+.
②
2
2sin
cos
A B C +=,
2
2cos
sin
A B C +=,
2
2
tan
cot
A B C +=. ③
sin sin a b A B A B >⇔>⇔>
④锐
角
ABC
∆中,
2
A B π
+>
,sin cos ,cos cos A B A B ><,2
2
2
a b c +>,类比得钝角ABC ∆结论.
⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；
【应知应会知识和方法】
1．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD
交AC 于E ，AB=2。

（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE 。

解：(1) 因为0009060150,BCD
CB AC CD ∠=+===
所以015CBE
∠=，(
)00cos cos 4530CBE ∴∠=-=
(2)在ABE ∆中，2AB =，故由正弦定理得
()()
00002
sin 4515sin 9015AE =
-+,
故0
01
22sin 30cos15AE ⨯
===【必修五--不等式】
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意： ①若0ab >,b a >,则
11
a
b
>.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改
变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
③取倒数:0a b <<⇔011
a
b
>
>；0a b >>⇔
011a
b
<
<
；如1
12x
-<
<，等价于
110x -<
<或1
02x
<< 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,>b a ,
22
11a b a b
++≥≥
(当且仅
当b a
=时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ”， 常用的方法为：拆、凑、平方等；
(2),,a b c R ∈，222
a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号)；
(3)公式注意变形如：
22
22
2
(
)a b a b ++≥,22
(
)a b ab +≤；若0,0a b m >>>,则
b b m
a
a m
++<
(真分数的性质)；
4.证明不等式常用方法：
⑴比较法：作差比较：0A B A B -≤⇔≤.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；
⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.（不要求掌握）
放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,
||a >
n >.②将分子或分母放
大(或缩小)③利用基本不等式,如
：
(1)
2
n n ++<
.④利用常用结论：
01
11<
；
2
2
111
11111
(1)(1)1
k
k k k
k
k k
k k
++---=
<
<
=
-
(程度大)；
03
2
2
1
1
11
1
1211
(
)k k k k --+<
=-
(程度小)； ⑹换元法：减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.
如：知
22
2
x y a +=
,可设c o s ,
s i
x a y a θθ==；222
2
1x y a
b
+
=,可设
c o s ,s i
x a y b θθ==； 6.（1）一元二次不等式ax
bx c a 2
00++>≠()或ax bx c a 200++<≠⇒
()分
a >0及a <0情况分别解之，如设0a >,12
,x x 是方程
20ax bx c ++=的两实根，且
12x x <，则其解集如下表：
如解关于x 的不等式：01)1(<++-x a ax 。

(2)指数不等式
a a f x g x ()()>⇒
()()()
11当时，a f x g x >>；
()()()201当时，<<<a f x g x ；
对数不等式 log ()log ()a a f x g x >⇒（1）当a >1时，⎩
⎨⎧>>)()(0
)(x g x f x g ；（2）当01<<a 时，
f x f x
g x ()()()
><⎧⎨
⎪⎩⎪0。

7．线性规划
二元一次不等式0Ax By C ++>表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

不等式0Ax By C ++≥所表示的平面区
域边界线画成实线。

说明：（1）取一个特殊点00(,)x y ，从
00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表
示直线哪一侧的平面区域。

（2）当两个点位于直线
00Ax By C
++=0两侧，
11()Ax By C ++22()0Ax By C ++<（或0≤）
（3）求
z ax by C
=++的最大值，将直线0:0l ax by C ++=平移正方向服从
(,)n a b =；
（4）
0A >0Ax By C ++>表示直线的右侧；0B >0Ax By C ++>表示直线
上方；
（5）二元一次不等式表示的平面区域：
①法一：先把二元一次不等式改写成
y kx b >+或y kx b <+的形式，前者表示直线的上
方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断； ②无等号时用虚线表示不包含直线
l ，有等号时用实线表示包含直线l ；
③设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，若11Ax By C ++与22Ax By C ++同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧。

如已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是__________
（6）线性规划问题中的有关概念：
①满足关于,x y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。

②关于变量,x y 的解析式叫目标函数，关于变量,x y 一次式的目标函数叫线性目标函数； ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；
④满足线性约束条件的解（,x y ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； （7）求解线性规划问题的步骤是什么？
①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数； ③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。

8、一个有用的结论
关于函数x
p x y +
=
1．
0p >时，当0x >
时p x x +
≥；当0x <
时p
x x
+≤-.
在0(
、
[
上是减函数；在-∞（
、[)+∞上是增函数.
2．
0p <时，在()0-∞，、
0+∞（，）上为增函数. 【应知应会知识和方法】
（Ⅰ）解不等式
1．不等式x 2
－2x －3＜0的解集为 ．
2．不等式x ＋1
2x －1
≤0的解集为 ．
3．已知不等式ax 2
＋bx －1＜0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}，则a ＝ ，b ＝ ．
4．若不等式x 2
＋ax ＋1＜0的解集为∅，则实数a 的取值范围是 ．
5．已知不等式x 2－2x ＋k 2
－2＞0对一切x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．
6．已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0．，则不等式f (x )＜x 2
的解集为 ．
说明：解不等式重点是“一元二次不等式”，要深刻领会三个“二次”之间的关系，做到灵活运用知识，关注“数形结合”的数学思想． （Ⅱ）基本不等式
7．若x ∈（－1，＋∞），则函数f (x )＝x ＋
4
x ＋1
的最小值为 ． 8．当x ∈R ＋
时，y ＝3－2x －8x
的最大值为 ．
9．函数f (x )＝2x ＋4
x
（x ≠0）的值域为 ．
10．函数y ＝
x
x ＋1
的值域为 ．
11．若log 2a ＋log 2b ＝4，则a ＋b ＋ab 的最小值为 ．
12．当x ＞2时，若存在实数t ，使得不等式x ＋1
x －2≤t 成立，则t 的取值范围是 ．
13．若x 、y ∈R ＋
，且x ＋y ≤k x ＋y 恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 14．要使周长为20cm 的扇形面积最大，其圆心角θ的大小为 弧度．
15．若正数x ，y 满足2x ＋3y ＝1，则12x ＋13y 的最小值为 ；1x ＋1
y
的最小值
为 ．
16．要利用一块面积为1024m 2
的矩形废地兴建鱼池，要求东西各留1 m 的人行道，南北两侧各留4
m 的行车道，这个鱼池的最大面积为 m 2
．
说明：运用“基本不等式”主要解决求函数的最值（值域）问题，要注意运用“基本不等式”求
函数的最值的三个条件：“一正、二定、三相等”．要积累一些常见模型及解决的方法． （Ⅲ）不等式综合
17．过点P （2，1）的直线l 分别交x 轴的正半轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，． （1）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最小值；
（2）当PA →·BP →
取得最小值时l 的方程．
18． 若x 、y ∈R ＋
，则不等式1x ＋1y ＋k x ＋y ≥0恒成立的实数k 的取值范围是 ．
19．已知函数f (x )＝－a x －2
＋2（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，且A 在直线mx ＋ny －1＝0上
（m ，n 同号），则1m ＋2
n 的取值范围是 ．
20．设x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥4，
x －y ≥1，x －2y ≤2．，则z ＝x ＋y 的最小值为 ．
21．如果3a ＋9b
＝18，那么a ＋2b 的最大值为 ．
22．任给0＜x ＜1，关于x 的不等式x 2
＋ax ＋1＞0恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 23．若关于x 的不等式ax ＞b x ＋1的解集为{x |1＜x ＜4}
24．如图，在一个直径为a 的半圆形铁皮上截取一个
以直径BC 为斜边的直角三角形ABC ，然后在所得
直角三角形铁皮上截取一个正方形铁皮，其一边
在BC 上，则正方形铁皮的面积最大值为 ． 答案：
1．解：{x |－1＜x ＜3}． 2．解：{x |－1≤x ＜1
2
}．
3．解：a ＝－112，b ＝7
12． 4．解：[－2，2]．
5．解：k ＞3或k ＜－3． 6．解：（－∞，－1）∪（1，＋∞）．
7．解：3． 8．解：－5．
9．解：（－∞，－42]∪[42，＋∞）． 10．解：[0，1
2
]．
11．解：24． 12．解：[4，＋∞）． 13．解：[2，＋∞）． 14．解：θ＝2(rad)． 15．解：4，5＋26．． 16．解：748．
17．解：（1）4，（2）x ＋y －3＝0． 18．解：[－4，＋∞）．
19．解：[8，＋∞）． 20．解：2．
21．解：4． 22．解：[－2，＋∞）．
23．解：－12，－32． 24．解：a 2
9．
【必修2-2--圆锥曲线】
一、椭圆
1．定义
（1）第一定义：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且
2
1212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的
轨迹是椭圆。

（2）第二定义：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆。

（3）焦半径：
2
1()a PF e x ex a
c
=+=+，
2
2()a PF e x ex a c
=-=-
2．标准方程： （1）焦点在
x
轴上：
12
2
22=+b y a x )0(>>b a ；焦点在y 轴上：
22
22
1y x a b += )0(>>b a ；
（2）焦点的位置⇔标准方程形式 3．几何性质（以焦点在x 轴上为例） （1）范围： a x a -≤
≤ 、b y b -≤≤
（2）对称性：长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距=2c
（3）离心率c e a
=，准线方程c a x 2
±= （4）有用的结论：2
12PF a PF -=，
c
a PF c a +≤≤-1，
=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12，顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关.
（5）21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．
将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起来，建立
1
PF +
2
PF 、
1
PF ·
2
PF 等关系
（6）椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨⎧θ
=θ
=sin cos b y a x （椭圆的参数方程）
二、双曲线
1．定义：（1）第一定义：若F 1，F 2是两定点，
2
1212F F a PF PF <=-（a 为常
数），则动点P 的轨迹是双曲线。

（2）第二定义：若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。

（3）焦半径（点P 在右
支）：
)(21c a x e PF +=，2
2()a PF e x c
=-
2．标准方程
（1）焦点在x 轴上：122
22=-b
y a x )0,0(>>b a ；焦点在
y 轴上：122
22=-b
x a y )0,0(>>b a .
（2）焦点的位置⇔标准方程形式 3．几何性质（以焦点在x 轴上为例）
（1）范围：x a ≥或x a ≤-、(,)y ∈-∞+∞ （2）对称性：实轴长=a 2，虚轴长=2b ，焦距=2c.
（3）离心率c e a
=，准线方程c a x 2
±= （4）渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a
b
y ±=.与此有关的结论：若渐近线方程为
x
a
b
y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x ；若双曲线
与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上；0<λ，焦点在y 轴上）.
（5）当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别
为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-2
2y x ；
（5）注意21F PF ∆中结合定义
a PF PF 221=-与余弦定理
21cos PF F ∠，将有关线段1
PF 、
2PF 、
2
1F F 和角结合起来。

三、抛物线
1．定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。

2．标准方程（以焦点在x 轴的正半轴为例）： 22(0)y px p =>（其中p 为焦点到准线
的距离——焦参数）；
3．几何性质
（1）焦点：
)0,2
(p
，通径p AB 2=，准线：2p x -=； 焦半径：
02p CF x =+，过焦点弦长p x x p
x p x CD ++=+++=21212
2.
（2）几何特征：焦点到顶点的距离=2
p
；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2（通径是最
短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（3）抛物线px y 22
=上的动点可设为P ),2(2
y p
y 或2(2,2)P pt pt 或P (,)x y ，其中
22y px =.
四、直线与圆锥曲线的关系判断
1．直线与双曲线：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线仅有一个交点. 2．直线与抛物线：当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线仅有一个交点.
【应知应会知识和方法】
（Ⅰ）求圆锥曲线的标准方程
1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点坐标分别是（－3，0），（3，0），椭圆经过点（5，0）；
（2）两个焦点坐标分别是（0，－4），（0，4），椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于10；
（3）两个焦点坐标分别是（－2，0），（2，0）且过点（52，－3
2
）．
解：（1）x 225＋y 216＝1；（2）y 225＋x 29＝1；（3）x 210＋y
26
＝1．
2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e ＝2
3
，长轴长为6，那么椭圆的方程是 ．。