上海市崇明区2019届高三三模考试数学试题 含答案

崇明区高三三模数学试卷
一.填空题
1.设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A
B =______
2.若
2log 104
2
x -=-，则x =______
3.已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______
4.
函数()cos f x x x =+的单调递增区间为______ 5.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______
6.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______
7.一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示）
8.已知不等式组2
2020x y x y y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪+≥⎩
表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点M ∈Ω，则x y -的最
大值为______
9.已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______．
10.若n a 是二项式(1)n
x +展开式中2x 项的系数，则23
11
1lim n n a a a →∞
⎛⎫
+++
=
⎪⎝⎭
______ 11.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______
12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，BA BC BC λ-≥恒成立，则
c b
b c
+的取值范围是______ 二.选择题
13.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ）条件 A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
14.将函数sin 6y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，
再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ） A. 5sin 212x y π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
B. sin 212x y π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ C. 5sin 212y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
D. 5sin 224x y π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
15.已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A. 至少有一个解 B. 至多有一个解 C. 至多有两个解
D. 可能有无数个解
16.如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
三.解答题
17.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.
（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.
18.已知向量11,sin 22a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
和向量()()1,b f x =，且//a b .
（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；
（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有3f A π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭BC =sin 7
B =
，求AC 的长度.
19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，
其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线2
50y ax =-+(0)a >的一
部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.
（1）若30CD =米，AD =米，求t 与a 的值；
（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围.
20.已知点1F 、2F 为双曲线2
2
2:1y C x b
-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方
交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12
PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，
求证：||2||AB OM =
21.如果存在常数a ，使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.
（1）若数列：1,2,4,m (4)m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；
（2）已知有穷等差数列{}n b 的项数是0n ()03n ≥，所有项之和是B ，求证：数列{}n b 是“兑换数列”，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c ，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.
崇明区高三三模数学试卷
一.填空题
1.设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A B =______
【答案】{2,3} 【解析】 【分析】
根据交集的定义直接得到结果.
【详解】由交集定义可得：{}2,3A B ⋂= 本题正确结果：{}2,3
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2.若
2log 104
2
x -=-，则x =______
【答案】4 【解析】
由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --⨯-=∴==.
3.已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______
【解析】 分析】
根据复数模长运算性质可直接求得结果. 【详解】
52z i
=-
52z i ∴===-
【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.
4.
函数()cos f x x x =+的单调递增区间为______ 【答案】22,233k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
，k ∈Z 【解析】 【分析】
利用辅助角公式可整理出()2sin 6f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭，令22262
k x k πππ
ππ-+≤+≤+，k Z ∈，解出x 范
围即为所求区间.
【详解】(
)cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
令222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，解得：22233
k x k ππ
ππ-
+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：22,233k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 本题正确结果：22,233k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈
【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解.
5.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______ 【答案】
【解析】 设铁球的半径为
,则
，解得
；则该铁球的表面积为
.
考点：球的表面积与体积公式.
6.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______ 【答案】17 【解析】
试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 考点：分层抽样
的
7.一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示） 【答案】0.568 【解析】 【分析】
记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A ，首先求解出()
P A ，利用对立事件概率公式可求得结果. 【详解】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A
则()
0.90.80.60.432P A =⨯⨯= ()()
10.568P A P A ∴=-= 本题正确结果：0.568
【点睛】本题考查对立事件概率的求解，属于基础题.
8.已知不等式组22020x y x y y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪+≥⎩
表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点M ∈Ω，则x y -的最
大值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】
由约束条件画出平面区域Ω，可知z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小，通过平移直线可知当过C 时，z 取最大值，求出C 点坐标，代入求得结果.
【详解】由约束条件可得平面区域Ω如下图阴影部分所示：
令z x y =-，则z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小 平移y x =可知，当y x z =-过C 时，在y 轴截距最小 由2
20
x y y +=⎧⎨
+=⎩得：()4,2C - max 426z ∴=+=
本题正确结果：6
【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为在y 轴截距的最值的求解问题，通过平移直线求得结果.
9.已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】
由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得
40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而
可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果. 【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-
()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥
则可知可行域如下图所示：
则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方 可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值
(
)
2
22
min
8a b ∴+== 本题正确结果；8
【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.
10.若n a 是二项式(1)n x +展开式中2x 项的系数，则23
11
1lim n n a a a →∞⎛⎫
++
+
= ⎪⎝⎭
______ 【答案】2 【解析】 【分析】
根据二项展开式的通项公式可得n a ，进而得到11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭
，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果.
【详解】()1n
x +的展开式通项公式为：r r n C x ()2
12
n n n n a C -∴==
()121
1211n a n n n n ⎛⎫∴
==⨯- ⎪--⎝⎭
23
111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 本题正确结果：2
【点睛】本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和.
11.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3 【解析】
设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m .
联立2
{
x ty m
y x
=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=
∴12122x x y y +=，即2
1212()20y y y y ⋅+⋅-=.
∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧
∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1
(
,0)4
F
∴12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=
⨯⨯-+⨯=+≥=，当且仅当143y =时取等号.
∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.
点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和2OA OB ⋅=推出122y y ⋅=-的表达式和运用基本不等式是解答的关键．
12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，BA BC BC λ-≥恒成立，则
c b
b c
+
的取值范围是______ 【答案】⎡⎣
【解析】 【分析】
设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=，可知EA BC ≥恒成立，可知min EA 为边BC 的高h ，利用
三角形面积公式可得：2sin a bc A ≤
；结合余弦定理整理可得
()sin 2cos c b
A A A b c
ϕ+≤+=+，从而可得最大值，利用基本不等式可求得最小值，从而得到取值范围. 【详解】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=
则BA BC BA BE EA λ-=-= EA BC ∴≥恒成立 又min
EA
为边BC 的高h h a ∴≥恒成立
2111
sin 222
ABC S ah bc A a ∆∴=
=≥ 2sin a bc A ∴≤ 由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+- 222cos sin b c bc A bc A ∴+-≤
()222cos sin
sin 2cos c b b c bc A bc A
A A A b c bc bc ϕ++∴+=≤=+=+，其中tan 2ϕ=
c b b c
∴+≤，又2c b
b c +≥（当且仅当b c =时取等号）
c b b c
⎡∴+∈⎣
本题正确结果：⎡⎣
【点睛】本题考查解三角形中的取值范围的求解问题，关键是能够通过恒成立的不等关系得到边长与三角形高的长度关系，利用三角形面积公式和余弦定理可构造出不等式，从而可求得最值.
二.选择题
13.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
【答案】B 【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的判定方式进行判定即可.
【详解】当1a =，0b =时，0ab =，此时220a b +≠，可知充分条件不成立； 当220a b +=时，由20a ≥，20b ≥可知0a b ==，则0ab =，可知必要条件成立 则“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件 本题正确选项：B
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.
14.将函数sin 6y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，
再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ） A. 5sin 212x y π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
B. sin 212x y π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ C. 5sin 212y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
D. 5sin 224x y π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
根据三角函数的左右平移和伸缩变换原则变化函数解析式即可得到结果. 【详解】向右平移
4π个单位长度得：5sin sin 4612y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
横坐标扩大到原来的2倍得：5sin 212x y π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
本题正确选项：A
【点睛】本题考查三角函数图象变换中的左右平移变换和伸缩变换，关键是明确两种变换均是针对于x 的变化.
15.已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A. 至少有一个解 B. 至多有一个解 C. 至多有两个解 D. 可能有无数个解
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为(
)()2
0x
a x
b λμ+++=，由,a b
不共线可得200
x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果.
【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈ 则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：(
)()2
0x
a x
b λμ+++=
,a b 不共线 20
0x x λμ⎧+=∴⎨
+=⎩
可知方程组可能无解，也可能有一个解
∴方程20ax bx c ++=至多有一个解
本题正确选项：B
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.
16.如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】
取线段1B A 中点为N ，计算得：111N N ND 2N B A l A C l l =++=
<+==.
同理，当N 为线段AC 或C 1B 的中点时，计算得111 N N ND 2N B l A C l =++=<+=.符合C 项的图象特征. 故选：C
三.解答题
17.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.
（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.
【答案】(1)
. 【解析】 【分析】
（1）1A CB ∠或其补角就是异直线11B C 与1A C 所成角，我们可证1A AB ∆为直角三角形且1A B =得异面直线所成角的大小.
（2）先计算11A B BC V -，再利用等积法求1B 到平面1A BC 的距离，它就是直线11B C 到平面1A BC 的距离. 【详解】(1)因为11B C BC ∥，所以1A CB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1A C 所成角. 因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ⋂=， 所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.
1Rt A BC 中，11
tan A B ACB BC ∠===1ACB ∠=，
所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为arctan (2)因为11B C ∥平面1A BC ，所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离， 设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，
11133A BC S d ∆∴⨯=111B BC S A B ∆⨯，可得5
d =，
直线11B C 与平面1A BC . 【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.
18.已知向量11,sin 22a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
和向量()()1,b f x =，且//a b . （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；
（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有3f A π⎛
⎫
-= ⎪
⎝
⎭BC =sin 7
B =，求A
C 的长度.
【答案】（1）最小正周期为2π，最大值为2；（2）2. 【解析】 【分析】
由//a b 整理可得：()sin 2sin 3f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭；
（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的
求解方法直接求得结果；（2）利用3f A π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
求得sin A ，利用正弦定理求得结果.
【详解】由//a b 得：
()11sin 22f x x x =
则：(
)sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
（1）()f x 最小正周期为：221
T π
π== 当sin 13x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
时，()max 2f x = （2
）由3f A π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
得：2sin A =
sin A =
由正弦定理可知：
sin sin BC AC
A B
=
，即sin 2sin 2
BC B AC A ⋅=
==
【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.
19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，
其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线2
50y ax =-+(0)a >的一
部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.
（1）若30CD =
米，AD =米，求t 与a 的值；
（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围. 【答案】（1）20t =，149a =；（2）1,100⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
. 【解析】 分析】
（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E 的方程求得
A
点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；（2）求解出C 点坐标后，
可知5075DF t =-≤，可整理为
162550a t t ≥
++，利用基本不等式可求得162550
t t
++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=- 又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=
∴圆E 的方程为：()2
222030x y +-=
()
A ∴
OD AD AO ∴=-==
()
C
代入抛物线方程得：(2
3050a =-+，解得：1
49
a =
（2）由题意知，圆E 的半径为：50t -，即50CD t =- 则C 点纵坐标为50t -
，代入抛物线方程可得：x =
OD =
5075DF t ∴=-+，整理可得：()2
1
6252550t a t t t
≥=+++ (]0,25t ∈
625
50t t
∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）
11
62510050t t
∴≤
++ 1100
a ∴≥
即a 的取值范围为：1,100⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.
20.已知点1F 、2F 为双曲线2
2
2:1y C x b
-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方
交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12
PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，
求证：||2||AB OM = 【答案】（1）2
2
12
y x -=；（2）12
29PP PP ⋅=；（3）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）222b MF b a
==，根据1230MF F ∠=可得2
1||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双
曲线的方程.
（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12
,PP PP 夹角的余弦为1
3
，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯为定值2
3
，故可得12·PP PP 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=.
【详解】(1)设2,F M 的坐标分别为,0)y
因为点M 在双曲线C 上,所以22
021+1y b b
-=,即20y b =±,所以2
2||MF b =，
在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=,22||MF b =,所以2
1||2MF b =， 由双曲线的定义可知: 2
12||||2MF MF b -==，
故双曲线C 的方程为: 2
2
12
y x -=.
(2)由条件可知:两条渐近线分别为10l y -=；20l y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,
设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=0,
2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭ ，所以cos θ=
， 故2
1
cos 22cos 13
θθ=-=-
，
所以12,PP PP 的夹角为2πθ-，且()1
cos 23
πθ-=. 点Q 到两条渐近线
距离分别为1||PP =
，2||PP =
.
因为00(,)Q x y 在双曲线22
:12
y C x -=上,所以22
0022x y -= ，
所以12|2PP PP ⋅=
()2200212cos 2339
x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y , 切线l 的方程为: 002x x y y +=.
00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:
(222000(2)4y x x x x -+2
0(24)0y -+=，
所以01222004(2)x x x y x +=--，2
01222
00(24)
(2)
y x x y x +=--. 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+2
2
001222
0082]2x x x x y x -+=-， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--22
0022
00
42()
02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=.
综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =.
【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()22
2210.0x y a b a b
-=>> 交于,A B ，则22b AB a =（通
径）.
（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或
1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.
的
21.如果存在常数a ，使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.
（1）若数列：1,2,4,m (4)m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；
（2）已知有穷等差数列{}n b 的项数是0n ()03n ≥，所有项之和是B ，求证：数列{}n b 是“兑换数列”，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c ，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由. 【答案】（1）a=6,m=5；（2）见解析；（3）0
2B
a n = 【解析】
本试题主要考查了数列的运用。

解：（1）因为数列：1,2,4(m>4)是“兑换系数”为a 的“兑换数列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分 故a-m=1,a-4=2-------------------3分 即a=6,m=5 -------------------4分
（2）设数列{}n b 的公差为d ，因为数列{}n b 是项数为0n 项的有穷等差数列 若00123123n n b b b b a b a b a b a b ≤≤≤
≤∴-≥-≥-≤≥-
即对数列{}n b 中的任意一项(1)i b i n ≤≤
{}0110()(1)i i n n a b b n i d i n b b +--=+-≤≤=∈-------------------6分
同理可得：若00123123n n b b b b a b a b a b a b ≥≥≥
≥∴-≤-≤-≤≤-，
{}0110()(1)i i n n a b b n i d i n b b +--=+-≤≤=∈也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列{}n b 是 “兑换数列”；-------------------8分 又因为数列{}n b 所有项之和是B ，所以010
()?·22
n b b n a n B +==
，即02B a n =------10分 （3）假设存在这样
等比数列{}n c ，设它的公比为q,(q>1)，
因为数列{}n c 为递增数列，所以
123123n n c c c c a c a c a c a c <<<⋯<<
->->-⋯-
>则
又因为数列{}n c 为“兑换数列”，则{}i n a c c -∈，所以i a c -是正整数 故数列{}n c 必为有穷数列，不妨设项数为n 项，------------------12分 则1(1)i n i c c a i n +-+=≤≤----------14分
① n=3则有132,2
a c c a c +==，又2132c c c =，由此得q=1，与q>1矛盾；-------------------15分 ②若4n ≥。

由121n n c c c c -+=+，
即(2(1)(1)0n q q ---=)，故q=1，与q>1矛盾；-------------------17分 综合①②得，不存在满足条件的数列{}n c 。

-------------------18分。