2019届全国高三原创试卷(一)数学试卷(文科)

2019届全国高三原创试卷（一）
数学试卷（文科）
本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，其中是虚数单位，则( )
A. B. C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】，则
选B
2. 已知集合，，则为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
选D
3. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据几何概型的概率公式可得，A图中奖的概率P=，B图中奖的概率P=，C 图中奖的概率P=，D图中奖的概率P=，则概率最大的为A，故选A.
考点：几何概型.
4. 已知函数，下列说法错误的是( )
A. 函数最小正周期是
B. 函数是偶函数
C. 函数在上是增函数
D. 函数图像关于对称
【答案】C
【解析】，故A正确；
即函数是偶函数，B正确；
，当时，，故D正确；
故选C.
5. 若实数满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：其中
的几何意义，即动点P（x，y）与点连线斜率的取值范围．
由图象可知过点与点直线的斜率 2．所以，
故的取值范围是．............
故选D．
【点睛】本题考查线性规划的基本应用及数形结合的数学思想，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．
6. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是( )
A. B. .
C. D.
【答案】C
【解析】由题,该容器为漏斗形几何体,所以水面高度随时间的变化为先慢后快,再快最后慢的情况变化，如选项C的情况。

故选C。

7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】C
【解析】试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，
执行第2次，S="S-m" =0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，
执行第3次，S="S-m" =0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，
执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，
执行第5次，S="S-m" =0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.
考点：程序框图
视频
8. 函数的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：函数为奇函数，去掉A,C;当时，因此选B.
考点：函数图像与性质
9. 在中，角的对边分别是，已知，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以，故选B。

10. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则
的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】交点坐标，所以直线的方程为，
，得，
所以，，
所以，故选A。

11. 已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，
，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如图三点共线，
∵是的重心，
解得，结合图象可知
令
故
故
当且仅当等号成立
故选D
12. 已知函数有两个零点，则( )
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】，
不妨设，
有，
所以。

因为，得，
所以有，
即，
所以，故选A。

点睛：本题考查函数的零点问题。

函数零点所在区间的方法是转化为两个函数的交点问题，本题中还考察指数函数和对数函数的性质应用，结合函数的单调性，得到零点的相关特性，得到答案。

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】当时，显然成立；
当时，，得；
综上，的取值范围是。

14. 《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 .
【答案】
【解析】试题分析：由题意可知，解得，所以.
考点：等差数列通项公式．
15. 已知函数，则使得成立的的取值范围是____________. 【答案】
【解析】∵函数满足故函数为偶函数，
当时，为增函数，为减函数，
故函数在时为增函数，在时为减函数，
则解得：
故答案为．
【点睛】本题考查函数知识的综合应用，解题时灵活应用是函数单调性，函数的奇偶性，绝对值不等式的解法等是解题的关键．
16. 过动点作圆：的切线，其中为切点，若(为坐标原点)，则的最小值是 .
【答案】
【解析】设，得，即，
所以点的运动轨迹是直线，
所以，则。

点睛：本题考查直线和圆的位置关系、轨迹问题。

首先由条件，得到点的运动轨迹是直线
，根据切线长的计算方法，取最小，即圆心到直线的垂线交点为的时候取到。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列为等差数列，且，，数列的前项和为.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等差数列的定义即可求出通项公式，再根据数列的递推公式即可求出{b n}的通项公式；（Ⅱ）由错位相减求和法求出数列的前项和
试题解析：（Ⅰ）数列为等差数列，所以又因为，当时，所以当时，
即数列是首项为，公比为的等比数列，所以
（Ⅱ）
两式相减得
所以
点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于
，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
18. 如图所示，正四棱椎中，底面的边长为2，侧棱长为，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为上的一点，且，求三棱椎的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1），得平面；（2）由等体积法，得。

试题解析：
(1)设交于，连接，则在中，分别为的中点，
∴，又平面，平面，
∴平面.
（2）易知，且平面，
∴
19. 某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟) 将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.
请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
从上述200名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取4人得到一个样本，再从这个样本中抽取2人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）不能判断（2）
【解析】试题分析：（1）完成表格，得到在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关；（2）由题意，通过穷举法，得到.
试题解析：
(1)由题意可得如下列联表：
.
所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.
(2)由题意，样本中“课外体育不达标”的学生有3人，记为：；“课外体育达标”的学生有1人，记为：.
从这4人中抽取2人共有，，，，，6种情况，
其中“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”有，，3种情况，
设“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”为事件，则.
20. 椭圆的左顶点为，右焦点为，上顶点为，下顶点为，若直线
与直线的交点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明：
为定值.
【答案】（1）（2）是定值.
【解析】试题分析：（1）由题意，得到且，又因为，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设的方程为，得，
，所以是定值.
试题解析：
(1)由椭圆的左顶点的坐标为，上下定点的坐标为，，右焦点的坐标为
，则直线的方程为，直线的方程为，又因为直线和直线的交点为，所以有，解得且，又因为，解得，
所以椭圆的标准方程为.
(2)设的方程为，即，代入并整理得：
，
设，，则，，
又因为，同理，
则，
所以是定值.
点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系。

由题意，联立方程得到韦达定理：，
，表示，，则，代入韦达定理，求得定值。

21. 已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)在函数的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上.若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在两点为，
【解析】试题分析：（1）切线方程为即.（2）由题意，，又在上单调递增，所以，解得：，，所以存在两点为
，。

试题解析：
(1)∵，又，∴，
故所求切线方程为即.
(2)设所求两点为，，，不妨设，
∵，
由题意：，
∵在上单调递增，
∴，，
又，∴，∴，
解得：，(舍)，，(舍)
所以，存在两点为，即为所求.
22. 已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)把的参数方程化为极坐标方程；
(2)求与交点的极坐标.
【答案】（1）（2），.
【解析】试题分析：（1）先得到的普通方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标．
试题解析：（1）将消去参数，化为普通方程5，
即．
将代入得
，
所以的极坐标方程为．
（2）的普通方程为．
由，解得或，
所以与交点的极坐标分别为，．
考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化．
23. 设函数.
(1)画出函数的图象；
(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先讨论的范围，将函数写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；
（II）根据函数与函数的图象可知先寻找满足的零界情况，从而求出的范围．
试题解析：
(1)由于，则的图象如图所示：
(2)由函数与函数的图象可知，当且仅当或时，函数与函数的图象有交点，
故不等式的解集非空时，的取值范围是.。