2021年安徽省宣城市高考数学第二次调研试卷(文科)解析版

2021年安徽省宣城市高考数学第二次调研试卷（文科）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.若复数为虚数单位，为纯虚数，则a的值为
A. B. 3 C. 4 D. 5
3.已知，，，则
A. B. C. D.
4.函数部分图象大致为
A. B.
C. D.
5.数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，
则数列的公比为
A. B. 4 C. 2 D.
6.刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当
n很大时，用圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，并计算出精
确度很高的圆周率在《九章算术注》中总结出“割之弥
细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想.
运用此思想，当取时，可得的近似值为
A. B. C. D.
7.已知平面向量，满足，，，则向量，的
夹角为
A. B. C. D.
8.大熊猫被誉为“活化石”和“中国国宝”，是世界上最可
爱的动物之一.有人这样来设计大熊猫的卡通头像：在以
AB为直径的圆中，有一等腰直角三角形ABC，分别以线
段AC、BC为直径作圆形成了卡通头像的耳朵，在整个图
形中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为
A. B. C. D.
9.已知函数，则下列说法中正确的是
A. 的一条对称轴为
B. 在上是单调递减函数
C. 的对称中心为
D. 的最大值为1
10.已知抛物线的焦点F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点
在第一象限，于点N，直线NF交y轴于点D，则
A. 4
B.
C. 2
D.
11.在底面边长为2的正四棱锥中，异面直线PC与AD所成角的正切值为
2，则四棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
12.若函数存在两个极值点，，则
的取值范围是
A. B. C. D.
13.命题“，”的否定是______ .
14.若数列满足，且对于任意的，都有，则数列
的前n项和______ .
15.曲线在点处的切线与曲线相切，则______ .
16.在平面直角坐标系xOy中，椭圆：，双曲线：，P、
Q分别为，上的动点、Q都不在坐标轴上，且，则
的值为______ .
17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
，
求角C的大小；
求的面积.
18.“皖惠保”是一款普惠型补充医疗险产品，它由人保财险承保，主要报销生病住院
的医疗费.只要参加了基本医疗保险的，不限年龄、职业、健康状况皆可投保.为了解人们对于“皖惠保”的关注情况，某市医保局对年龄在区间的参保人群随机抽取n人进行调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
人数单
组数分组
位：人
第一组2
第二组a
第三组b
第四组c
第五组d
第六组e
求的值；
补全频率分布直方图；
现从年龄在区间的“参保者”中随机抽取2人进行访谈，求这2人均来自区间的概率.
19.已知正方体中，E是的中
点，是的中点.
求证：平面ACE；
设正方体的棱长为a，求三棱锥的体积.
20.已知椭圆C：的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以
椭圆C的短轴为直径的圆与直线相切.
求椭圆C的标准方程；
设过椭圆C右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
21.已知函数的极小值为
求a的值，并求出的单调区间；
若函数在上的极大值不小于，求实数m 的取值范围.
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐
标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l的直角坐标方程为
求曲线C的极坐标方程和直线l的极坐标方程；
射线，和曲线C分别交于A、B两点，与直线l分别交于D，C两点，求四边形ABCD的面积.
23.已知关于x的不等式有解.
求实数t的取值范围；
若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且求证：
答案和解析
【答案】
1. C
2. C
3. B
4. D
5. C
6. D
7. C
8. D9. B10. B11. D12. A
13. “，”
14.
15.
16.
17. 解：因为，由，
可得，
所以，
解得或，
又因为，
所以
由可得，由余弦定理可得：
，
所以，
所以
18. 解：由频率分布直方图可知，年龄在的频率分别为：
，，，，，所以年龄在的频率为，
又因为年龄在之间的人数为2，
则有，所以，
故，，，，，
所以；
由可知，年龄在的频率为，
所以年龄在区间的矩形的高为；
年龄在区间的“参保者”有2人，年龄在区间的“参保者”有4人，所以从年龄在区间的“参保者”中随机抽取2人的抽法有种，
这2人均来自区间的抽法有种，
所以所求概率为
19. 证明：连接BD交AC于点O，连接OE，则
，
又E是的中点，，
而平面ACE，平面ACE，
平面ACE；
解：连接，，
，点到平面ACE的距离为点到平面ACE的距离．
20. 解：由题意知，，
解得，
所以椭圆C的标准方程为
①当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，得，
，
所以，，
假设x轴上存在定点，使得为定值，
则，
，
要使得为定值，则的值与k无关，
所以，解得，
此时为定值，定点，
②当直线的斜率不存在时，，，，
，，
，
综上所述，在x轴上存在定点，使得为定值
21. 解：，当时，恒成立，
在R上单调递增，无极值，
当时，，解得：，
x，，的变化如下：
x
+0-0+
递增极大值递减极小值递增极小值，即，解得：；
的递减区间是，，递减区间是；
由知，故，，
当时，恒成立，在R上递增，无极值，
当时，，解得：，
x，，的变化如下：
x
+0-0+
递增极大值递减极小值递增
，即
，解得：，
又，解得：，，
即实数m的取值范围是
22. 解：曲线C的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为
，
根据，转换为极坐标方程为
曲线l的直角坐标方程为，根据，整理得
，
射线，和曲线C分别交于A、B两点，
所以，，
直线l与直线l分别交于D，C两点，
所以，，
所以，
，
设四边形ABCD的面积为S，
则
23. 解：，
当时，的最大值为3，
关于x的不等式有解等价于，
当时，上述不等式转化为，解得，
当时，上述不等式转化为，解得，
综上所述t的取值范围为，
故实数t的取值范围
证明：根据可得a，b，c均为正实数，且满足，
，
当且仅当时，取等号，
所以
【解析】
1. 解：，，
故选：
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2. 解：，
，
则
故选：
先把复数进行化简，整理成，再令求出a的值．本题的考点是纯虚数的定义，利用复数的代数形式运算对所给的复数进行化简，由实部为零求解．
3. 解：，，
，
，
，
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查了三个数的大小的求法，属于基础题．
4. 解：函数是奇函数，排除选项B，A，
或，，
当时，，对应点在第一象限，排除C，
故选：
利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置判断即可．
本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及特殊点的位置是常用判断图象的方法．
5. 解：设数列的公差为，由得
，
故，
故选
先由，，为等比数列的连续三项，找到，再利用等比数列公比的求法求出即可．
本题是对等差数列和等比数列的综合考查．在求等比数列的公比时，只要知道数列中的任意两项就可求出公比．
6. 解：将一个单位圆分成9个扇形，
则每个扇形的圆心角度数均为
由垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长
，
这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，
，
故选：
将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，由这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，能求出的近似值．
本题考查角正弦值的近似值的求法，扇形、单位圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7. 解：，
，
，且，
，且，
故选：
根据即可得出，然后可求出的值，进而可求出的值，从而可得出的夹角．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
8. 解：设，则，
分别以以线段AC、BC为直径作圆，
故阴影部分的面积为：
，
整个图形的面积为：，
则在整个图形内任意取一点，该点落在阴影部分的概率：
故选：
设，则，利用几何概型能求出在整个图形内任意取一点，该点落在阴影部分的概率．
本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9. 解：对于A，
，
所以不是的对称轴，故A错误；
对于B，，
当时，，，所以，
所以，单调递减，故B正确；
对于C，
，
所以不是的对称中心，故C错误；
对于D，，
令，则，
当时，函数取得最大值为，
所以的最大值为，故D错误．
故选：
由是否等于，即可判断选项A；对求导，利用导数与单调性的关系，即可判断选项B；由是否等于0，即可判断选项C；利用换元法及二次函数的性质，求得的最大值，即可判断选项
本题主要考查三角函数的性质，导数的应用，利用换元法求最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
10. 解：由题意，可知：
直线：
联立，
整理，得
解得，或
当时，；当时，
点M坐标为
准线l：点N坐标为
直线FN斜率
：，
点D坐标为
故选：
本题根据题意可知：，则直线：联立直线与抛物线方程可得点M坐标，再根据准线方程可得到点N坐标，进一步写出直线的方程，即可得到点D坐标，根据两点的距离公式即可得到结果．
本题主要考查直线与抛物线综合的问题，以及抛物线的基础知识，考查了直线方程的求解，两点间的距离公式．本题属中档题．
11. 解：根据题意，该几何体如图所示：
异面直线PC与AD所成角的正切值为2，
即直线PC与BC所成角的正切值为2，
所以，即，
因为，所以，
在中，利用勾股定理得
解得，因为O为底面的中心，所以，
设外接球的半径为R，
则，解得，
所以四棱锥外接球的表面积
故选：
异面直线PC与AD所成角的正切值为2，即直线PC与BC所成角的正切值为2直接，利用勾股定理求出PH，再求出球的半径R，进一步得到球的表面积．
本题考查的知识要点：勾股定理，异面直线的夹角，球的表面积，考查运算能力，属于基础题．
12. 解：函数，
，
由函数存在两个极值点，，
有两个不等实数根，
，，解得
且，
则
，
令，
，
在上单调递减．
的取值范围是
故选：
函数，，由函数存在
两个极值点，，可得有两个不等实数根，因此，，解得a
范围．根据根与系数的关系代入可得与a有关的函数关系，利用导数研究函数的单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13. 解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，
命题“，”的否定是“，”．
故答案为：“，”．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出即可．
本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题应用问题，是基础题．
14. 解：由，且对于任意的，都有，
可得……，则，
所以…
故答案为：
由数列的恒等式：…，由等差数列的求和公式，可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查数列的裂项相消求和，以及等差数列的求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15. 解：对求导，得，
，
则曲线在点处的切线方程为，即
设与相切于点，
对求导，得，
由，得，即切点为
又切点在切线上，，即
故答案为：
利用导数求得曲线在点处的切线方程，再设所求曲线与曲线相切于点，由斜率相等求得切点坐标，把切点坐标代入切线方程即可得到a值．
本题考查利用导数研究过某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，考查运算求解能力，是中档题．
16. 解：由题意，直线OP、OQ均不与坐标轴重合，
双曲线的渐近线方程为，
设直线OQ的方程为，由，
可得直线OP的方程为，
联立，得，
，
联立，得，
，
故答案为：
由题意可设直线OQ的方程为，由，可得直线OP的方程为，分别联立直线方程与圆锥曲线方程，求解与，取倒数作和得答案．
本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
17. 由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，解方程可得，结合范围，可得C的值．
由利用余弦定理可得ab的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于基础题．
18. 利用频率分布直方图分别求出在各个区间的频率，利用频率、频数、样本容量之间的关系分析求即可；
由可知，年龄在的频率，即可得到频率分布直方图中对应矩形的高，作出图形即可；
分别求出年龄在区间和的“参保者”人数，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，求解即可．
本题考查了频率分布直方图的理解和应用，考查了频率、频数、样本容量之间关系的运用，概率问题的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
19. 连接BD交AC于点O，连接OE，可得，再由直线与平面平行的判定证明平面ACE；
连接，，则点到平面ACE的距离为点到平面ACE的距离，然后利用等体积法求三棱锥的体积．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
20. 由椭圆C的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C的短轴为直径的圆与直线相切，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．分两种情况：①当直线的斜率存在时，②当直线的斜率不存在时，讨论的值，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21. 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
求出的解析式，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极大值，得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．
22. 直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
23. 去绝对值，化为分段函数，可得函数的最大值，再分类讨论即可求出t的取值范围，可得t的值；
，，根据重要不等式证明即可．
本题考查不等式的证明，解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．。