陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二数学文联考试题含解析

陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二数学文联考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数()在(0,1]上的最大值为3，则a=( )
A. 2
B. e
C. 3
D. e2
参考答案：
B
【分析】
对函数进行求导，得，，
令，，对进行分类讨论，求出每种情况下的最大值，根据已知条件可以求出的值.
【详解】解:，，令，，
①当时，，，，在上单调递增，
，即（舍去），
②当时，，，；时，，，
故在上单调递增，在上单调递减，
，即，
令()，，
在上单调递减，且，，故选B.
【点睛】本题考查了已知函数在区间上的最大值求参数问题，求导、进行分类讨论函数的单调性是解题的关键.
2. 把4名新生分到1,2,3,4四个班，每个班分配1名且新生甲必须分配到1班，则不同的分配方法有（）
A. 24种
B. 12种
C. 6种
D. 3种
参考答案：
C
【分析】
把4名新生分到四个班，每个班分配1名且新生甲必须分配到1班，只需将剩余的三人分配到三个班级，利用排列，即可求解.
【详解】由题意，把4名新生分到四个班，每个班分配1名且新生甲必须分配到1班，
只需将剩余的三人分配到三个班级，共有种，
所以把4名新生分到四个班，每个班分配1名且新生甲必须分配到1班，则不同的分配方法有6种，故选C.
【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3. 在等差数列中，已知则等于（）
A．40 B．42 C．43
D．45
参考答案：
B
略
4. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
5. 已知，其中为实数，O为原点，当两个向量的夹角在
变化时，的取值范围是（）
A. (0,1)
B.
C.
D.
参考答案：
C
6. 已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）
A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣
参考答案：
C
【考点】几何概型．
【专题】概率与统计．
【分析】分别求出该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的对应事件的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，
∴三角形的高AD=4，
则三角形ABC的面积S=×6×4=12，
则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，
三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，
则阴影部分的面积为S1=12﹣×π×22=12﹣2π，
则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为=1﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力．
7. 点A在z轴上,它到(3,2,1)的距离是,则点A的坐标是( )
A.(0,0,-1)
B.(0,1,1)
C.(0,0,1)
D.(0,0,13)
参考答案：
C
8. 程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于()
图21－1
A．7 B．15
C．31 D．63
参考答案：
D
9. 已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足?=2，||?||=0，则该双曲线的方程是( )
A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由?=0，可得MF1⊥MF2进一步求出
=36，由此得到a=3，则该双曲线的方程可求．
【解答】解：∵?=0，
∴即MF1⊥MF2，
∴．
则=40﹣2×2=36．
∴|MF1|﹣|MF2|=6=2a．即a=3．
∵c=，∴b2=c2﹣a2=1．
则该双曲线的方程是：．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了双曲线的性质和应用，解题时要注意向量的合理运用，是中档题．
10. 已知为第三象限的角，,则
（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点O在内部，．的面积之比为
参考答案：
解析：由图，与的底边相
同，
高是5：1．故面积比是5：1．
12. 若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为．
参考答案：
16
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出．
【解答】解：∵x，y＞0，且，
∴x+3y==10+≥10+6=16，当且仅当x+3y=1，即
=y取等号．
因此x+3y的最小值为16．
故答案为16．
13. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为____；
参考答案：
【分析】
由对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，基本事件的总数，再分类求得满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。

【详解】由题意，对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，基本事件的总数为
种，
满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：
当第一节是“数”，共有种不同的排法；
当第二节是“数”，共有种不同的排法,
所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为。

【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理分类求解满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

14. 设P是直线y=2x﹣4上的一个动点，过点P作圆x2+y2=1的一条切线，切点为Q，则当|PQ|取最小值时P点的坐标为．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】设直线y=2x﹣4为直线l，过圆心O作OP⊥直线l，此时|PQ|取最小值，由直线
OP：y=﹣x，与直线y=2x﹣4联立，可得P的坐标．
【解答】解：设直线y=2x﹣4为直线l，过圆心O作OP⊥直线l，此时|PQ|取最小值，
由直线OP：y=﹣x，与直线y=2x﹣4联立，可得P．
故答案为：．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的切线性质，勾股定理，点到直线的距离公式，解题的关键是过圆心作已知直线的垂线，过垂足作圆的切线，得到此时的切线长最短．
15. 下列各数85（9）、1000（4）、111111（2）中最小的数是．
参考答案：
111111（2）
【考点】进位制．
【分析】将四个答案中的数都转化为十进制的数，进而可以比较其大小．
【解答】解：85（9）=8×9+5=77，
1000（4）=1×43=64，
111111（2）=1×26﹣1=63，
故最小的数是111111（2）
故答案为：111111（2）
16. 将直线l1：nx＋y－n＝0、l2：x＋ny－n＝0(n∈N*，n≥2)与x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为S n，则S n的最小值为________．
参考答案：
17. 给出下列结论：
（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；
（2）某工产加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量；
（3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（4）若关于的不等式在上恒成立，则的最大值是1；
（5）甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件：“甲，乙都没有击中目标”是相互独立事件。

其中结论正确的是 * 。

（把所有正确结论的序号填上）
参考答案：
（1）（3）（4）
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示
y关于x的线性回归方程；
（2）据此估计2012年该城市人口总数．
参考公式：．
参考答案：
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）先求出年份2007+x和人口数y的平均值，即得到样本中心点，利用最小二
乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到a的值，得到线性回归方程；
（2）当x=5代入回归直线方程，即可求得．
【解答】解：（1）∵，…2分
，…4分
∴…6分
故y关于x的线性回归方程为；…8分
（2）当x=5时，，即…10分
据此估计2012年该城市人口总数约为196万…12分
19. 已知条件，条件关于x的不等式组的整数解的集合为，试判断p是q的充分不必要条件是否成立，说明理由。

参考答案：
解：充分不必要条件
计算得条件，条件q:
故p是q得充分不必要条件
略
20. 设各项为正数的等比数列的首项，前n项和为，
且。

（1）求的通项；
（2）求的前n项和。

参考答案：
（1）由得
即
可得
前两式相减，得
即
略
21. （本小题满分12分）
已知函数．
(Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值；
(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于．参考答案：
由韦达定理，，
令其中设，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值
-------12分
（Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于.
由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，
（用表示的关系式与此相同），这样
即，再证明该式小于是容易的（注意，下略）. 22. 已知，函数
.
（1）讨论函数在(0,+∞)上的单调性；
（2）若在内有解，求a的取值范围.
参考答案：
（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）计算函数的导函数，得到对应方程的根为，讨论三种情况得到答案.
（2）计算的导数，根据单调性计算函数的最小值，根据解得范围. 【详解】（1），令，解得.
当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；
当时，即时，函数在定义域上单调递增；
当时，即时，在上，函数单调递增，在
上，函数单调递减.
（2）若在内有解，
则
由（1）可知，当，即时，∵，∴，函数在
上单调递增，
，解得；
当，即时，∵，∴在时，，函数
在上单调递减，在时，，函数在上单调递增，
∴
令，函数在上单调递增.
∴恒成立，∴.
当，即时，∵，∴，函数在上单调递减，
不成立.
综上所述：.
【点睛】本题考查了函数的单调性的讨论，存在性问题，将存在性问题转化为函数的最小值是解题的关键，也可以用参数分离的方法求解.。