电磁学第三章(用)

涨落形成的电流通常可以忽略。
n
有电场时电子的运动：在热运动基础上附加一各逆电场方向 的定向漂移运动。电子的平均速度等于定向漂移速度 u 。
导体中的电流密度
设导体中某点处的电子数密度为 漂移速度为u ，在垂直电流方 向任取面元S ，作母线等于ut
的直柱体，则t 时间内通过 S 的电荷为：q Sutne
en en2
en en1
所以
en ( j2 j1)S 0
en ( j2 j1) 0
j2n j1n
E的边值关系 在界面上任取线元
电流密度的法向分量连续
2 E2n 1E1n
E2n 1 E1n 2
l ，以l 为基础作一矩形，应用
E
L
dl
0
E L
E 、j
dl E2tl E1tl (E2t E1t )l 0
8.85 10 12 5.99 107
1.510 19 s
上式说明：
1、若某时刻导体中的电荷密度不为零，大约经 1019 s
电荷密度变为零。即建立稳恒电流场的时间是很 短的，达到静电平衡的时间是很短的。
2、不同导体中建立稳恒电流场的时间不同，达到静电平
衡的时间不同，这时间与导体的电导率有关。
八、电阻定律
与j的夹角为，则dI
jdS cos，
dI j dS，j是矢量点函数，j及＝j（x, y, z）
I S j dS
电流强度是通过某一曲面的电流密度的通量。
通过一个闭合曲面的电流强度为 I j dS S
表示净流出闭合曲面的电流强度，即单位时间内从
闭合曲面向外流出的正电荷的电量
二、电流连 续性方程
移向正极，在电源外部静电力把正电荷从电源正极拉向
负极。
含源电路欧姆定律的微分形式为
非静电场强
E非
F非
q
j (E非 E)
E
EK
二、电动势：描述电源做功本领的物理量
非静电力所作的功
A q0E非 dl
E非
F非 q
定义电源的电动势为：
E
()
() E非 dl
EK
在电路的任意节点处，流入节点的电流与流出节点的电流相等。
S j dS＝0
I4 I5 （I1 I2 I3） 0
I1
I2
I4 I5 I1 I2 I3
I5
I3
亦可写成
Ii 0
I4
S
二、基尔霍夫第二定律
由 E dl 0 L
恒A定BE电 d路l 中AB沿j 任dl意回AB路的jSS电dl势 降I AB的RA代B 数U和A 为U零B 。
2. 电流强度
I q t
i
q
lim
t 0
t
dq dt
单位：SI中
电流强度不随时间变化的电流称为恒定电流。
安培（A）
3、电流密度
电流密度矢量在导体中各点的方向为该点正电荷流动的方向，
其大小等于通过该点处单位垂直电流截面的电流强度。
j dI (dS 为垂直电流方向） dS
ds dI
en
en
若dS的 法向n
j dS
dq dt
V
t
dV
电流场的高斯定理
""表示电量的减少，此式为电荷守恒定律的数学表示式。
电流线发源或终止于电荷发生变化的地方。
电流线是闭合曲线，恒定电流的电路是闭合电路。
如图所示的电路，由 S j dS＝0
I1
I2
I4 I5 （I1 I2 I3） 0
I5
I3
I4
S
电流连续性方程的微分形式： j
恒定电流条件的微分形式： j 0
三、欧姆定律的微分形式 欧姆定律的积分形式 I U（对导体）
R
U+dU
U
dS
dl
dI
A
B
dI U A U B dU
R
R
R dl ,则dI 1 dU dS
dS
dl
dI 1 dU
dS dl
j dI , E dU , 1
dS
dl
ຫໍສະໝຸດ Baidu
j E, 考虑到j与E的方向相同
一段含源电路的欧姆定律：
U A U B＝ i Ii Ri Ii ri
例题 ε1＝12V, ε2 ＝10V, ε3 ＝ 8V,R1＝2Ω， R2＝3Ω， r1=r2 =r3 =1Ω求①a、b两点的电势差; ②c、d两点的电势差。
R1 1
r1
a R1 c d 2 r2
3 r3
电路中的电流：I
j E
欧姆定律的微分形式
四、焦耳定律的微分形式
Q I 2Rt, 焦耳热功率为P Q I 2R U 2
t
R
因为I jS, 所以R 1 l ,于是得P j2S 2l j2 Sl
S
S
单位体积内的焦耳热功率为：
p j2 E 2 , 焦耳定律的微分形式。
五、 恒定电流条件
由 j E 电流场是由电场产生的
有电流时，导体表面有自由电荷 0 所以 D2n D1n 0
0 r 2 E2n 0 E r1 1n 0
理想绝缘体中的电场既有法线分量，又有切向分量。
§3.2 电 动 势
一、非静电力
静电力不能维持电流的恒定,要维持电流的恒定必须存
在非静电力。
能够提供非静电力的装置称为电源。
在电源内部非静电力克服静电力把正电荷从电源负极
0，j 任 意t 时刻电荷
欧姆定律的微分形式：
j E 导体的电导率
所以
E
0
t
由 D E 导体的电容率
把 E
代入上式可得：
0 t
即 d dt
上式两边积分
d
t
dt
0
0
t
0e
令
为特征时间。当 t 时， 0e1 0.37 0
对于铜 5.99 107 S m1 0 8.85 10 12 C2 N1 m2
电子的定向漂移速度
u
j ne
12.7 106 8.4 10 28 1.6 10 19
9.45 10 4
m s1
电子的热运动平均速度
v
8kT
m
81.381023 300 3.14 9.111031
1.08105
m s1
二、欧姆定律的微分形式
一定温度下电子运动的平均自由时间 一定。 在电场中电子的运动方程 ma eE
所以
E2t E1t
j2t j1t
2 1
的折射定律
tg2 2 tg1 1
tg2
j2t j2n
tg1
恒定电场的折射定律
j2t
j1t j1t
j1n
2 1
由
tg2 2 tg1 1
则
tg 2
2 1
tg1
若介质 1 为良导体，介质 2 为不良导体
1 2
tg2 很小，与界面几乎垂直。
例如钢电极埋入地下时
电源内
非静电力把单位正电荷由电源负极通
过电源内部移到正 极所做的功。
L E非 dl
物理意义：单位正电荷围绕闭 合回路一周，非静电力所作的功
稳恒电场
E E非 E静
E dl L
L E非 dl
稳恒电必须是闭合电路
规定：①若在电阻中电流方向与绕行方向相同，电势降落为 正，否则为负；②若在电动势的方向与绕行方向相同，电势 降落为负，否则为正。
电子与晶格碰撞后，其定向漂移速度为零，即 u0 0 。原因：
v u 碰撞时的冲力远大于电场力，电场力可忽略
电子定向运动的平均速度 u u0 ut 1 e E
2 2m
由 j neu 可得
与 j E 相比较
j
n
e2
E
2m
n e2
2m
上式给出：材料的电导率与微观量、微观量的统计平均值的关系。
一 般：j＝j（x, y, z, t）, 恒定电流 : j＝j（x, y，z）
j是一个矢量场称为电流 场，可用电流线来
描述。电流线的方向为j的方向，通过垂直于j的方向
单位面积的电流线条数等于该点j的大小。
由电荷守恒，在某一时间间隔内，由曲面S流出的电量
等于这段时间内S所包围的电量的减少。即
电流连续性方程 : S
dR
R
dr 2r 2
2R
§3.2 恒定电流场的边值关系 不同导体界面处的电流分布分析在工程实际（电法测井、 地层电 加热）中有重要应用。
j dS 0 称为恒定电流条件 恒定电流的高斯定理 S
产生恒定电流的恒定电场、恒定电流场与静电 场有 相同的性质。
静电场的环路定理对恒定电场也成立。 E dl 0 L
V
dV
t
S j dS 0
j
t
j 0
E dl
L
L (E静 E非） dS
欧姆定律 边值关系
折射定律 恒定 电场
j
(E静
E非
)
en ( j2 j1) 0
E2t E1t
tg2 2 tg1 1
j2n j1n
j2t j1t
2 1
作业：3-1，3，4，5
S
D
dS
V
dV
D
欧姆定律仍然成立
经典电子论的成功 经典电子论的局限性
j
n
e2
E
2m
n e2
2m
v
所以
1 2d 2n
1
T
v 8kT v T
m
实验结果是
1
T
§3.5 基尔霍夫定律
简单电路：只有一个回路的电路，或应电阻的串并联可 以简化为一个回路的电路。
复杂电路：不能简化为一个回路的电路。
一、基尔霍夫第一定律
六、恒定电流场中的电荷分布
由恒定电流条件
Sj dS 0
欧姆定律
j E
所以，对于均匀导体 j dS E dS 0
S
S
j 0
E 0 D 0
SE dS 0
恒定电流场中电荷只能分布在导体表面上或界面上。
七、静电平衡的弛豫时间
设 t 0时导体内部电荷体密度为
密度为 ，由电流连续性方程
R l 并联电阻 R Ri
S
例 有一半径R的半球状电极与大地接 触，大地的电阻率为ρ。假定电流通过
I 地球
R
r I dr
这种接地电极均匀地向无限远处流散， 试求这种情况下的接地电阻。
解： 由于大地中与电流密度矢量相垂直的
dR dr 2r 2
横截面是一系列同心的半球面，取大地中
一层半径为r→r+dr的薄球壳，其电阻为 R
LE dl 0
E 0 无非静电力
§3.4 金属导电的经典电子论 一、金属导电的经典电子论的基本概念
1、自由电子气
金属中在晶格间作热运动的自由电子和气体分子的热运
动很相似。服从麦克斯韦速度分布律和良按自由度均分定理。
2、金属中电流形成的微观过程
导体中电流的速度？
自由电子的热运动不形成电流。 电子定向移动的速度？
第三章 恒定电流
§ 3.1 电 流 场
一、电流 电流强度 电流密度 1. 电流 任何带电粒子的定向运动都可以形成电流。 形成电流的条件：①存在可以自由移动的电荷即导体；②导 体两端有电势差即导体内部存在电场。两者缺一不可。 规定正电荷的方向为电流的方向。即从高电势处流向低电势 处。 形成电流的粒子称为载流子。金属内是自由电子；电解液中 是正、负离子；气体中是正、负离子和电子
通过 S 的电流：
面元处的电流密度 写成矢量形式：
I q uSne t
j I une S j neu
例题：设在直径为1mm的铜导线中通有10A的电流，已知 铜的电子数密度为 n 8.41028 m3 ，求电子的定向漂移速度。
电流密度
j
I S
10
0.25 1106
12.7 106 A m2
Ri ri
1 3
4R1 r1＋r2
0.4A
绕行方向为顺时针。
R1
b R2 R1
①U ab — I 2R1 Ir1＋1 10V ②U cd U ab U bd U ab 2 0V
四、恒定电流场和恒定电场的基本规律
恒定电流场： 电流连续性方程
恒定电流条件
Sj
dS
dq dt
结论：j
和
与载流子电荷的平方成正比，与电荷的符号无关。
除霍耳效应外，正电荷向某方向运动与负电荷向相反方向运动等效
由 e 1.61019 C
n e2
2m m 9.1110 31 kg
根据材料可以计算出 n
若侧出 ，则可计算出
1014 s
若电场 E 的周期 T 1014 s ，或频率 1014 Hz （微波段）
电流密度不随时间变化的电流称为恒定电流。 j j (x, y, z)
产生恒定电流的电场是恒定的。
E E(x, y, z)
电场是由电荷产生的，在恒定电流场中电荷分布不随时间变化
在恒定电流场中任意体积内
dq 0 dt
S
j
dS
dq dt
0
S
j
dS
0
j 0
称为恒定电流条件
恒定电流的高斯定理
产生恒定电流的恒定电场、恒定电流场与静电场有相同的性质。
1 钢 5106 S m1 2 地 2 10 2 S m1
当 1 89.90
tg2
2 10 2 5 10 6
tg89.90
2.29 106
2 00
二、导电介质与理想绝缘体界面处的边值关系
1 数值很大， 2 0
介质 2 中无电流，边值关系为
j2n j1n 0
E2t E1t
恒定电流场的边值关系是上述两方程在边界上的表现形式。
一、不同导电介质界面处的边值关系
在界面上任取一个面元 S ，以
它为基础作一直柱面，其高 h为
二级无穷小。界面法线由介质 1
指向介质 2，则
S j dS j2 en2S j en1S 0
S j dS j2 en2S j en1S 0