高中数学论文：利用空间向量证明线面平行问题

利用空间向量证明线面平行问题
向量是高中数学的新增内容，是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。

线面平行是立体几何的一个重要内容，是面面平行等内容的基础，也是学生学习的一个难点和重点，若我们能充分应用好向量这个工具的特点，发挥它的双重属性，能起到事半功倍的效果。

一、应用空间共线向量定理：由平面外的一条直线和平面内一条直线共线，得到线面平行。

例1 、（2004年天津）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。

证明：PA//平面EDB。

证明：如图所示建立空间直角坐标系D为坐标原点，设DC=a，连结AC，AC交BD于G，
连结EG 。

依题意得A （a ，0，0），P （0，0，a ），E （0，
2a ，2
a ）。

底面ABCD 是正方形，G 是此正方形的中心，则点G 的坐标为（2a ，2a ，0），∴PA =（a ，0，-a ），EG =（2
a ，0，-2a ）∴=2EG ， P ∉EG ，∴PA//EG ，而EG ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，∴PA//平面EDB 。

二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理，我们可得到如下的性质：如图，已知直线L 不在平面α内，取直线L 上的任一非零向量，平面α中存在两个不共线向量，，若存在唯一的实数对λ1，λ2，使得=λ1+λ2，则L//α。

证明：由n =λ1a +λ2b 知n ，a 与b 共面，因此n //α，由直线L 不在平面α内得到L//α。

例2 、已知平行四边形ABCD ，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为PC ，PB 的中点；求证：MN//面PAB 。

D
证明：构造向量MN ，AP ，AB ，PC 和CB 。

=21（+）=21（—+）=2
1（—） ∴ MN//面PAB
例3、 已知四边形ABCD 是正方形，S 是平面ABCD 外一点，且SA=SB=SC=SD ，SP:PD=1:2，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1。

求证：SB//平面PMN 。

证明：如图，连结AC 与BD 交于O ，连结SO ，易证SO ⊥平面ABCD ，由四边形ABCD 为正方形知BD ⊥AC ，如图建立空间直角坐标系O-XYZ 。

构造向量，与，令BC=2 ，SO=1，
由题目已知可得坐标：O （0，0，0），S （0，0，1），A （0，-1，0），B （1，0，0），
C （0，1，0），D(-1，0，0)，所以P （-
31，0，32），M （0，32，31），N （0，-32，3
1），则=（1，0，-1），=（31，-32，-31），=（31，32，-31），所以=23+23，所以SB//平面PMN 。

三、应用法向量：如果能证明平面外直线的方向向量垂直平面的法向量，得到线面平行。

例4 、已知四边形ABCD 是正方形，S 是平面ABCD 外一点，且SA=SB=SC=SD ，
SP:PD=1:2，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1，求证：SB//平面PMN 。

证明：从例3可知SB =（1，0，-1），PN =（31，-32，-31），PM =（31，32，-31），由，可得到平面PMN 的法向量=（-1，0，1），则·=0，所以 ，得到SB//平面PMN 。

从上述问题中可以看到，在解决线面平行问题时一定要善于运用向量的代数属性，能融数形于一体的属性。

通过代数的方法解决立体几何的空间问题，降低了立体几何的空间难度，给学生一个比较低的门槛，值得我们深入思考。