高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式测评(含解析)新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5

第四讲用数学归纳法证明不等式测评
(时间:90分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.用数学归纳法证明当n∈N+时,1+2+22+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为( )
A.1
B.1+2
C.1+2+3+4
D.1+2+22+23+24
解析:左边=1+2+22+…+25n-1,所以n=1时,应为1+2+…+25×1-1=1+2+22+23+24.
答案:D
2.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的是( )
A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)
B.f(n)=2f(n-1)(n≥2)
C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2)
D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)
解析:分别取n=1,2,3,4验证,
得f(n)=
答案:A
3.用数学归纳法证明3n>n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A.n=1
B.n=2
C.n=3
D.n=4
解析:由n≥3,n∈N知,应验证n=3.
答案:C
4.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )
A.2
B.3
C.5
D.6
解析:取n=1,2,3,4,5,6,7计算知n0=5.
答案:C
5.下列说法中正确的是( )
A.若一个命题当n=1,2时为真,则此命题为真命题
B.若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立,则这个命题为真命题
C.若一个命题当n=1,2时为真,则当n=3时这个命题也为真
D.若一个命题当n=1时为真,n=k时为真能推得n=k+1时亦为真,则此命题为真命题
解析:由完全归纳法可知,只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+1时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C项均不全面.
答案:D
6.若命题A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时成立,则有n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0∈N+)时成立,则有( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确
解析:数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值前的正整数不一定成立.
答案:C
7.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N)时,证明从n=k到
n=k+1的过程中,相当于在假设成立的那个式子的两边同乘以( )
A.2k+2
B.(2k+1)(2k+2)
C. D.
解析:当n=k时,左边最后一项为(k+k),当n=k+1时,左边最后一项应为(k+1+k+1)=(2k+2),所以n=k到n=k+1时,式子左边增加了两项(2k+1),(2k+2),减少了一项(k+1).所以两边应同乘以
.
答案:D
8.利用数学归纳法证明“对任意偶数n,a n-b n能被a+b整除”时,其第二步论证应该是( )
A.假设当n=k时命题成立,再证当n=k+1时命题也成立
B.假设当n=2k时命题成立,再证当n=2k+1时命题也成立
C.假设当n=k时命题成立,再证当n=k+2时命题也成立
D.假设当n=2k时命题成立,再证当n=2(k+1)时命题也成立
解析:第k个偶数应是2k,所以应假设当n=2k时命题成立,再证当n=2(k+1)时也成立.
答案:D
9.用数学归纳法证明“42n-1+3n+1(n∈N+)能被13整除”的第二步中,当n=k+1时为了使用归纳假设,对42k+1+3k+2变形正确的是( )
A.16(42k-1+3k+1)-13×3k+1
B.4×42k+9×3k
C.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1
D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1
解析:42k+1+3k+2=16×42k-1+3k+2=16(42k-1+3k+1)+3k+2-16×3k+1=16(42k-1+3k+1)-13×3k+1.
答案:A
10.用数学归纳法证明不等式1++…+成立时,起始值至少应取( )
A.7
B.8
C.9
D.10
解析:原不等式可化为,即2,即2-,所以2-,即,
即.故26<2n-1,即n-1>6,故n>7,所以起始值最小取8.
答案:B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证n=时等式成立.
解析:∵n=k为偶数,∴下一个偶数为n=k+2.
答案:k+2
12.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,那么a=,b=,c=.
解析:取n=1,2,3,得
解得a=,b=,c=.
答案:
13.用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N),在验证n=1时,等式右边的式子是.
解析:当n=1时,右边==cosα.
答案:cosα
14.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,从“n=k到n=k+1”,左边需增添的代数式是.
解析:当n=k时,左边共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+…+(2k+1),则当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以左边需增添的代数式是
(2k+2)+(2k+3).
答案:(2k+2)+(2k+3)
15.用数学归纳法证明+…+,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是.
解析:注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当n=k+1时,应该是含“n”的式子发生变化,所以n=k+1时,应为+…+.
答案:+…+
三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)求数列:,…,,…的前n项和S n.
解:S1=;
S2=;
S3=;
由以上计算可猜想数列的前n项和S n=+…+.
下面用数学归纳法证明此等式对任何n∈N+都成立.
证明:(1)当n=1时,左边=,右边=,等式成立.
(2)假设n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,
即+…+.
当n=k+1
时,+…+
,这就是说,当n=k+1时,等式成立,即S n=+…+.
根据(1)(2)知,等式对于任何n∈N+都成立.
17.(8分)设{x n}是由x1=2,x n+1=(n∈N+)定义的数列,求证:x n<.
解：证明:由题意可知,x k+1=>2·.
x n>显然成立.
下面用数学归纳法证明x n<.
(1)当n=1时,x1=2<+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,即x k<,那么,当n=k+1
时,x k+1=.
由归纳假设,x k<,则,
.∵x k>,∴.
∴x k+1=.
即x k+1<.
∴当n=k+1时,不等式x n<成立.
综上,得x n<(n∈N+).
18.(9分)设实数c>0,整数p>1,n∈N*.
(1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px;
(2)数列{a n}满足a1>,a n+1=a n+,证明:a n>a n+1>.
解：(1)证明:用数学归纳法证明.
①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.
②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.
当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.
所以p=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.
(2)证法一:先用数学归纳法证明a n>.
①当n=1时,由题设a1>知a n>成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式a k>成立.
由a n+1=a n+易知a n>0,n∈N*.
当n=k+1时,
=1+.
由a k>>0得-1<-<0.
由(1)中的结论得>1+p·.
因此>c,即a k+1>.
所以n=k+1时,不等式a n>也成立.
综合①②可得,对一切正整数n,不等式a n>均成立.
再由=1+可得<1,即a n+1<a n.
综上所述,a n>a n+1>,n∈N*.
证法二:设f(x)=x+x1-p,x≥,则x p≥c,并且f'(x)=(1-p)x-p=>0,x>.
由此可得,f(x)在[,+∞)上单调递增.
因而,当x>时,f(x)>f()=.
①当n=1时,由a1>>0,即>c可知
a2=a1+=a1<a1,并且a2=f(a1)>,从而a1>a2>.
故当n=1时,不等式a n>a n+1>成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式a k>a k+1>成立,则当n=k+1
时,f(a k)>f(a k+1)>f(),即有a k+1>a k+2>.
所以n=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,对一切正整数n,不等式a n>a n+1>均成立.。