高考数学第一轮复习强化训练 21.2《极坐标系》新人教版选修44

【考纲要求】
1、理解坐标系的作用.
2、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
3、能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
4、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
5、了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
【基础知识】
1、平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换ϕ：//,(0)
,(0)
x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩的作用下
对应到点///
(,)P x y ，则称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2、在平面内取一个定点O 为极点。

引一条射线OX 为叫做极轴。

再选定一个长度单
位
和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。

这样就建立了一个极坐标系。

对于平面内的点M ，设||OM =ρ， θXOM =∠，称ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。

[ 强调 ] ：一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与
极坐标(,)ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。

极点的极坐标是
(0,)θ，其中极角θ是任意角。

3、负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，当0ρ<时，点(,)M ρθ位于 极角的终边的反向延长线上，且||||OM ρ=，(,)M ρθ可以表示为
(,2)k ρθπ+，或(,(21))k ρθπ-++ ()k Z ∈
4、直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定
义可以得到：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，222
tan x y y x ρθ⎧=+⎪
⎨=
⎪⎩。

5、球坐标系：设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，连接OP ，记||OP r =，
OP 与z 轴正向所夹的角为θ，
P 在xOy 平面的射影为Q ，x 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，
点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中0r ≥，0θπ≤≤，
02ϕπ≤<。

空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的
变换关系为：2222sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θϕ
θϕθ
⎧++=⎪
=⎪⎨=⎪⎪=⎩；
6、柱坐标系：设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用
(,)ρθ(0,02)ρθπ≥≤< 表示点在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组
(,,)z ρθ，表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱
坐标，其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈，空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之
间的变换关系为：cos sin x y z z ρθ
ρθ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
；
【典型例题】
例1 已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6.
(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求直线AB 的极坐标方程．
解： (1)∠AOB ＝π2－π6＝π
3
，△OAB 为正三角形，
故AB ＝4.
(2)设O 在直线AB 上的射影为H ，
则H 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫23，π3. 直线AB 的极坐标方程
3
3
ρcos θ＋ρsin θ－4＝0. 例2 在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极坐标
方程．
解： 将圆心C ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －
1)2
＋(y －3)5
＝5.再将C 化成极坐标方程，得
(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2
＝5.
化简，得ρ2
－4ρcos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
θ－
π3－1＝0， 此即为所求的圆C 的极坐标方程．
21.2极坐标系强化训练 【基础精练】
1.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D ．一条直线和一条射线
2．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3
D.⎝
⎛⎭⎪⎫2，－4π3 3．在直角坐标系xOy 中，已知点C (－3，－3)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．
4．设直线过极坐标系中的点M (2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为________．
5．在极坐标系中，直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 6．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，
y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y
＝sin x 的方程变为________．
7．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O
为极点)的面积为________．
8．在极坐标系中，直线θ＝π6截圆ρ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6(ρ∈R)所得的弦长是________． 9．直线2x ＋3y －1＝0经过变换可以化为6x ＋6y －1＝0，则坐标变换公式是________． 10．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
11．求极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θ所表示的曲线．
12．同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12
x y ′＝1
3y 后，曲线C ：x 2＋y 2
＝36变为
何种曲线，并求曲线的焦点坐标．
【拓展提高】
1.在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π，N (2,0)，P ⎝
⎛⎭⎪⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标． (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．
2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．
3．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π
3
(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x 轴
的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos α，
y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线
l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．
4.在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．
【基础精练参考答案】
5. 4 3
【解析】： 直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2
＝16，
由圆中的弦长公式得2r 2
－d 2
＝242
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2222＝4 3.
6. y ′＝3sin 2x ′【解析】： ∵⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，
y ′＝3y ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2x ′，y ＝1
3
y ′.
代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′.
7.3【解析】： 结合图形，△AOB 的面积
S ＝12OA ·OB ·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－π6＝3. 8.2【解析】： 把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y ＝
33x 和⎝
⎛
⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122
＝1. 显然圆心⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，12在直线y ＝33x 上．
故所求的弦长等于圆的直径的大小，即为2. 9. ⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝1
3
x y ′＝1
2y
【解析】： 设直线2x ＋3y －1＝0上任一点的坐标为(x ，y )，经
变换后对应点的坐标为(x ′，y ′)，设坐标变换公式为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝kx
y ′＝hy .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1k x ′y ＝1
h y ′
，将其代入直线方程2x ＋3y －1＝0，得2k x ′＋3
h
y ′－1＝0，将其与6x
＋6y －1＝0比较得k ＝13，h ＝1
2
.
∴坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝13
x y ′＝1
2y .
10. ⎝
⎛⎭⎪⎫2，3π4解析： 由ρ＝2sin θ，得ρ2
＝2ρsin θ， 其普通方程为x 2＋y 2
＝2y ，
ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＝2y x ＝－1
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1
y ＝1
，
点(－1,1)的极坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
2，
3π4.
11.【解析】： 所给方程可化为ρ＝2
2
()cos θ＋sin θ， 所以ρ2
＝
2
2
(ρcos θ＋ρsin θ)． 转化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2
2
(x ＋y )， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －242＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －242＝14， 即以⎝
⎛⎭⎪⎫2
4
，24为圆心，12为半径的圆．
12.【解析】： 圆x 2＋y 2
＝36上任一点为P (x ，y )， 伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，
则：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2x ′y ＝3y ′
∴4x ′2＋9y ′2
＝36， 即x ′29＋y ′24
＝1.
∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x ′29＋y ′2
4
＝1，
其焦点坐标为(±5，0)．
【拓展提高参考答案】
3.【解析】： 因为直线l 的极坐标方程为θ＝π
3
(ρ∈R)，
所以直线l 的普通方程为y ＝3x ，①
又因为曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α，
y ＝1＋cos 2α(α为参数)，
所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12
x 2
(x ∈[－2,2])，②
联立①②解方程组得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0
或⎩⎨
⎧
x ＝23，
y ＝6.
根据x 的范围应舍去⎩⎨
⎧
x ＝23，y ＝6，
故P 点的直角坐标为(0,0)．
4.【解析】： 设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点，连结OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.
由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ，
故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ，它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．
因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2
＝4x ，即x 2＋y 2
－4x ＝0为圆的直角坐标方程．。