福建省泉州市晋江市平山中学高二数学上学期期末考试试

平山中学2015-2016学年高二上学期期末考
数学(理科)试卷
(满分:150分;完卷时间:120分钟)
一、选择题(每题5分,共60分.每题只有一个选项符合题目要求) . 1.如果命题q p ∨是真命题，命题p ⌝是假命题，那么( ) A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或假命题 2.已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则( )
A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x p
B.1sin ,:≥∈∀⌝x R x p
C.1sin ,:>∈∃⌝x R x p
D.1sin ,:>∈∀⌝x R x p
3. “双曲线的渐近线方程为4
3
y x =±”是“双曲线的方程为221916x y -=”的( )
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充分必要条件
D..不充分不必要条件
4.命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是( )
A.若a b <，则88a b -<-
B.若88a b ->-，则a b >
C.若a ≤b ，则88a b -≤-
D.若88a b -≤-，则a ≤b
5.若向量a ＝(1,0，z )与向量b ＝(2,1,2)的夹角的余弦值为2
3
，则z 等于( )
A.0
B.1
C.－1
D.2 6.已知()1,3,2-=a ，()x b ,2,4=，且b a ⊥，则实数x 的值是( ) A. 2 B.－2 C.32-
D.32
7.如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点， 则BD BC AB 2
1
21++
等于( ) A.AD B ．GA C ．AG
D ．MG
8.抛物线2
8y x =的焦点到双曲线
22
1124x y -=的渐近线的距离为( ) A.1 B.3 C.33 D.3
6
9.设双曲线的焦点在y 轴上，两条渐近线为x y 2
1
±=，则该双曲线的
离心率=e ( )
A.5
B.5
C.25
D.4
5
10. “方程x 25－m ＋y 2
m ＋3
＝1表示椭圆”是“－3<m <5”的( )条件
A.必要不充分
B.充要
C.充分不必要
D.不充分不必要
11.椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直
线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为( )
A.
221124x y += B.22
13x y += C.221128x y += D.22132
x y += 12.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右
支上的任意一点,则OP FP ⋅u u u r u u u r
的取值范围为( )
A.[3-23,)+∞
B.7[-,)4+∞
C.[323,)++∞
D.7
[,)4
+∞
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.向量),,,3(),2,2,1(y x b a -=-=且→
→b a //,则x-y =
14.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （32-，0），且长轴长是短轴长
的2倍，则该椭圆的标准方程是__ _ _____
15.抛物线x y 82
=上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为_ ___ 16.设双曲线x 24－y 2
9
＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．
若∠F 1MF 2＝90°，则△F 1MF 2的面积是
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.（本题10分）根据下列条件求方程.
(1) 若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 2
5
＝1的右焦点重合，求抛物线的准线方程（5分）
(2) 已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆
22
1259
x y +=有相同的焦点，求此双曲线标准方程. （5分）
18.（本题10分）
一动圆与圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0外切，同时与圆x 2＋y 2
－6x －91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
19.（本题10分）
过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45o
的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，求抛物线的方程。

20.（本题12分）
如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点. (1)证明AC⊥BC 1； (2)证明AC1∥平面CDB1.
21.（本题14分）
如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.
(1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（7分）
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F­AB­P的余弦值.（7分）
22.（本题14分）
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点。

（1）求椭圆C的方程；（4分）
（2）是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

（10分）
平山中学2015-2016学年高二上学期期末考
数学(理科)试卷
(满分:150分;完卷时间:120分钟)
一、选择题(每题5分,共60分.每题只有一个选项符合题目要求) . 1.如果命题q p ∨是真命题，命题p ⌝是假命题，那么( D ) A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或假命题 2.已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（C ）
A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x p
B.1sin ,:≥∈∀⌝x R x p
C.1sin ,:>∈∃⌝x R x p
D.1sin ,:>∈∀⌝x R x p
3. “双曲线的渐近线方程为4
3
y x =±”是“双曲线的方程为221916x y -=”的（A ）
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充分必要条件
D..不充分不必要条件
4.命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是（ D ） A.若a b <，则88a b -<- B.若88a b ->-，则a b > C.若a ≤b ，则88a b -≤- D.若88a b -≤-，则a ≤b
5.若向量a ＝(1,0，z )与向量b ＝(2,1,2)的夹角的余弦值为2
3
，则z 等于( A )
A.0
B.1
C.－1
D.2 6.已知()1,3,2-=a ，()x b ,2,4=，且b a ⊥，则实数x 的值是( B ) A. 2 B.－2 C.32-
D.32
7.如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点， 则BD BC AB 2
1
21++
等于（ C ） A.AD B ．GA C ．AG
D ．MG
8.抛物线2
8y x =的焦点到双曲线
22
1124x y -=的渐近线的距离为（ A ） A.1 B.3 C.33 D.3
6
9.设双曲线的焦点在y 轴上，两条渐近线为x y 2
1
±=，则该双曲线的
离心率=e （ B ）
A.5
B.5
C.25
D.4
5
10. “方程x 25－m ＋y 2
m ＋3
＝1表示椭圆”是“－3<m <5”的( C ) 条件
A.必要不充分
B.充要
C.充分不必要
D.不充分不必要
11.椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直
线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为( D)
A.
221124x y += B.22
13x y += C.221128x y += D.22132
x y += 12.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右
支上的任意一点,则OP FP ⋅u u u r u u u r
的取值范围为 ( C )
A.[3-23,)+∞
B.7[-,)4+∞
C.[323,)++∞
D.7
[,)4
+∞
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.向量),,,3(),2,2,1(y x b a -=-=且→
→
b a //,则x-y = －12
14.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （32-，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该
椭圆的标准方程是___14
1622=+y x _____ 15.抛物线x y 82
=上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为_8___
16.设双曲线x 24－y 2
9
＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2＝90°，则△F 1MF 2
的面积是 9
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.（本题10分）根据下列条件求方程.
(1) 若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 2
5＝1的右焦点重合，求抛物线的准线方程（5分）
解：易知椭圆x29＋y2
5＝1的右焦点为(2，0)，-------------1分
∵抛物线y2＝2px 的焦点与椭圆x29＋y2
5＝1的右焦点重合，
∴p＝4，-----2分
抛物线的准线方程为x ＝－2. -----2分
(2) 已知双曲线的离心率等于
2，且与椭圆
22
1259
x y +=有相同的焦点，求此双曲线标准方程. （5分） 解：
-----1分
-----2分
-----2分
18.（本题10分）
一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
解：两圆的方程可以分别化为
C1：(x＋3)2＋y2＝
4
，C2：(x－3)2＋y2＝100，-----2分
∴两圆的圆心分别为C1(－3，0)，C2(3，0)，半径分别为r1＝2，r2＝10.
设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，两切点为T1，T2.
由平面几何的知识知：||
MC1＝r
1＋
r，||
MC2＝r
2－
r，-----2分
∴||
MC1＋||
MC2＝r
1＋
r2. -----2分
∴动圆圆心M到C1与C2的距离之和为定值.
由椭圆的定义知，动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点，
以
1
2
(r1＋r2)＝
1
2
(2＋10)＝6为长半轴长的椭圆，-----2分
其方程为
x2
36
＋
y2
27
＝1. -----2分
19.（本题10分）.过抛物线22(0)
y px p
=>的焦点F作倾斜角为45o的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，求抛物线的方程。

解析：由题意可知过焦点的直线方程为
2
p
y x
=-，-----2分
联立有
2
2
2
2
30
4
2
y px
p
x px
p
y x
⎧=
⎪
⇒-+=
⎨
=-
⎪⎩
，-----2分
p
x
x3
2
1
=
+
∴ -----2分
8
4
2
1
=
=
+
+
=p
p
x
x
AB
Θ2
=
∴p-----2分
∴抛物线的方程x
y4
2=.-----2分
20.（本题12分）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D 是AB的中点.(1)证明AC⊥BC1；（6分）
(2)证明AC1∥平面CDB1.（6分）
解：∵直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴△ABC 为直角三角形，AC ⊥B C. ∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直. -----2分
如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，C 1(0，0，4)，A 1(3，0，4)，B 1(0，4，4)，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2，0.-----2分
(1)证明：∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→
＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→
＝0，AC ⊥BC 1. -----2分
(2)证法一：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0，2，2)，DE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，0，2，AC 1→
＝
(－3，0，4)，∴DE →＝12
AC 1→
，DE ∥AC 1. -----2分
∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，-----2分 ∴AC 1∥平面CDB 1. -----2分
证法二：易知AC 1→＝(－3，0，4)，CD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2，0，CB 1→
＝(0，4，4).设平面CDB 1的一个法
向量为n ＝(x ，y ，z )，-----1分
则⎩
⎨⎧n ·CD →＝3
2
x ＋2y ＝0，
n ·CB 1→
＝4y ＋4z ＝0.
-----1分
取y ＝3得x ＝－4，z ＝－3， ∴n ＝(－4，3，－3). ∵AC 1→·n ＝－3×(－4)＋0×3＋4×(－3)＝0.∴AC 1→
⊥n . -----2分 又AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1. -----2分
21.（本题14分）如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点. (1)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（7分）
(2)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F ­AB ­P 的余弦值. （7分）
解：以A 为原点建立空间直角坐标系，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).
(1)向量BD →＝(－1，2，0)，PB →
＝(1，0，－2). ----2分
设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，
n ·PB →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.----2分
不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量.于是有cos 〈n ，BE →
〉＝
n ·BE →|n ||BE →|＝
2
6×2＝3
3.----2分 ∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
3
3
.----1分 (2)向量BC →＝(1，2，0)，CP →＝(－2，－2，2)，AC →＝(2，2，0)，AB →
＝(1，0，0)，
由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →
，0≤λ≤1. ----1分 故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →
＝(1－2λ，2－2λ，2λ).
由BF ⊥AC ，得BF →·AC →
＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0.
解得λ＝34，即BF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，12，32.----1分
设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，－12x ＋12y ＋32
z ＝0.
不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量. ----2分 取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则
cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－310×1＝－310
10.----2分
易知二面角F ­AB ­P 是锐角，∴其余弦值为310
10
.----1分
22. （本题14分）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2，0)为其右焦点。

（1）求椭圆C 的方程；（4分）
（2）是否存在平行于OA 的直线l ,使得直线l 与椭圆C 有公共点,且直线OA 与l 的距离等于4？若存在,求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

（10分）
解：解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为(a＞b＞0），且可知左焦点为F′(-2，0)，
从而有，----1分
解得，----1分
又a2=b2+c2，所以b2=12，----1分
故椭圆C的方程为。

----1分
（2)假设存在符合题意的直线l的方程为，----1分
由得3x2+3tx+t2-12=0，----2分
因为直线l与椭圆C有公共点，所以△=(3t)2-4×3(t2-12)≥0，
解得。

----2分
另一方面，由直线OA与l的距离d=4可得，----2分
从而，----2分
由于，
所以符合题意的直线l不存在。

----2分。