高三四校联考数学试题(理科)
高三第一次联考试卷理科数学
南昌市四校（南昌一中、南昌十中、南昌十九中、南铁一中）高三第一次联考试卷数 学（理）命题人：甘海虹 学校：南昌十九中 审 题 人：张小荣 学校：南昌十九中考试时间：2019.01.24 试卷总分：150分第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合 ，集合 ，且 ，若集合 ，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列有关命题的说法正确的是（ ） A ． 命题“若，则”的否命题为“若，则”B ． 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ． 命题“，使得”的否定是“，都有”D ． 命题“若，则”的逆否命题为真命题3．若 ，则下列不等式关系中，不能．．成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为 甲、 乙，标准差分别为 甲 乙，则（ ）A ． 甲 乙， 甲 乙B ． 甲 乙， 甲 乙C ． 甲 乙， 甲 乙D ． 甲 乙， 甲 乙5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ． 808π+B ． 804π+C ． 808π-D ． 804π- 6．函数（ ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a 的值为4，则输出的m 的值为（ ） A ． 19 B ． 35 C ． 67 D ． 131 8．在1和17之间插入n-2个数，使这n 个数成等差数列，若这n-2个数中第一个为a ，第n-2个为b,当取最小值时，n 的值为（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 99．将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 ，则下列说法正确的是（ ）A ． 函数 的最小正周期为B ． 函数 在区间上单调递增C ． 函数 在区间 上的最小值为D ．是函数 的一条对称轴 10．已知函数 ，若关于 的方程 有4个不同的实数解，则 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ． 2y x =+或2y x =--B ． 2y x =+C ． 22y x =+或 22y x =-+D ． 22y x =-+12.定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足a b a f b f x f --=)()()(1'，ab a f b f x f --=)()()(2'，则称函数 是在区间 上的一个双中值函数，已知函数是区间 上的双中值函数，则实数 的取A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在直角梯形 中， ， ，则向量 在向量 上的投影为_______.14．已知实数x ，y 满足不等式组且z=2x-y 的最大值为a ，则dx xa ⎰π22cos=_______.15．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列， n S 为其前n 项和，且)*n a n N =∈．若不等式8nn a nλ+≤对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为________16．已知正方形 的边长为 ，将 沿对角线 折起，使平面 平面 ，得到如图所示的三棱锥 ，若 为 边的中点， 分别为 上的动点（不包括端点），且 ，设 ，则三棱锥 的体积取得最大值时，三棱锥 的内切球的半径为_______.三、解答题（共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江西省上高二中等四校2023届高三上学期第一次四校优生联考数学(理)试卷 附答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设非空集合 ，若 ，则实数m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
2.已知复数 满足 ，则 （）
频数
40
90
200
400
150
80
40
（1）求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（2）假设此次测试的成绩 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，已知 的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？
A. B. C. D.
【答案】C
5.“角a与β的终边关于直线 对称”是“ ”的（）
A.充分必要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
6.已知函数 （ ）的部分图像如图，当 时，满足 的 的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
7.已知正方形 的边长为4，点 、 分别在边 、 上，且 ， ，若点 在正方形 的边上，则 的取值范围是（）
所以 面 ，因为 面 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
又 ， ､ 面 ，
所以 面 ，又因为 面 ，
所以面 面 ；
【小问2】
以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，由（1）知面 的法向量为 ，
广东省“四校”2024年高三数学试题考试试题
广东省“四校”2024年高三数学试题考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =3．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．23D ．335．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近线的距离为3，则双曲线C 的实轴的长为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8557．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．328．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 9．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．10．已知函数()cos 2321f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 11．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种12．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ）A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三第四次四校联考数学(理)试题及答案
四校四联理数试题 第 1 页 共 9 页高三第四次四校联考数学试题（理）（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号) 1．已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N MA ．),1[+∞-B ．]2,1[-C ．),2[+∞D ．φ2．下列说法错误．．的是 A ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件 B ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”C ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠D ．若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题3．函数)20)(2sin(πϕϕ<<+=x y 图象的一条对称轴在（π6，π3）内，则满足此条件的一个ϕ值为 A ．12π B ．6π C ．3π D ． 65π4．一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分， 则这个几何体的表面积为A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π5．若实数x ，y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数24z x y =+的最大值为A ．10B ．12C ．13D ．146．运行下图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,则输出M 的值是四校四联理数试题 第 2 页 共 9 页A ．0B ．1C ．2D ．－17．已知数列{n a }满足)(log log 1133++∈=+N n a a n n ，且 2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是A ．15 B ． 15- C ． 5 D ．5- 8．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为34π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A ．36B ．312C ． 318D ． 3249．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 且a=1，B=45°，ABC S ∆=2，则b 等于 A ．5 B ．25 C ．41D ．2510．已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是A ．2≤mB ．2>mC ．21-≤m D ．21->m 11．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是A ．2个B ．3个C ． 4个D ．多于4个12．已知A B P 、、是双曲线22221x y a b -=上的不同三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积23PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率e =ABCD二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13．若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象过点（2，－1），且函数)(x f y =的图像与函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像关于直线xy =对称，则)(x f = ．14．i 为虚数单位，则复数i i43105-+的虚部是 ．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 ．四校四联理数试题 第 3 页 共 9 页16．已知函数M,最小值为m,则mM= ． 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．（本小题满分12分）已知点A （4，0）、B （0，4）、C （ααsin 3,cos 3） （1）若),0(πα∈=，求α的大小；（2）⊥，求αααtan 12sin sin 22++的值．18．（本小题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（ （2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75，该产品为优等品，①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其期望．19．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC的中点. 将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM . （1）求证：BM AD ⊥ ；（2）若点E 是线段DB 的中点，求二面角D AM E --的余弦值.20．（本小题满分12分）已知21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点，M 为椭圆上的动点，且A四校四联理数试题 第 4 页 共 9 页21MF ⋅的最大值为1，最小值为-2.（1）求椭圆C 的方程； （2）过点),(056-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为椭圆的左顶点。
2023-2024学年广东省四校联考高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2024学年广东省增城市高三下学期第一次四校联考数学试题
2024学年广东省增城市高三下学期第一次四校联考数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 2．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ）A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a3．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-4．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）A ．11B ．37C ．210D ．436．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．25B ．4C ．2D ．227．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)x x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1] 8．函数()()()22214f x x x x =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)10．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+ D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 11．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A 31B 21C 51-D 21- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)
2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
2021年四省名校高考数学第三次大联考试卷(理科)(解析版)
2021年四省名校高考数学第三次大联考试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x∈N|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，3，4}，则集合A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，2}C．{2}D．{1，2}2．已知复数，则它的共轭复数等于（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．设随机变量X，Y满足Y＝2X+b（b为非零常数），若E（Y）＝4+b，D（Y）＝32，则E （X）和D（X）分别等于（）A．4，8B．2，8C．2，16D．2+b，164．已知向量＝（﹣1，2），＝（3，2），则cos＜，＞为（）A．B．﹣C．D．5．已知等比数列{a n}中，a2+a4＝30，a1a3＝9，则公比q＝（）A．9或﹣11B．3或﹣11C．3或D．3或﹣36．设O为坐标原点，直线l过定点（1，0），且与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B 两点，若OA⊥OB，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝﹣1D．x＝﹣27．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）为奇函数，且存在x0∈（0，），使得f（x0）＝2，则φ的一个可能值为（）A．B．C．D．8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A．1B．2C．D．9．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L （单位：dB）与声强I的函数关系式为L＝10•lg（aI）．已知I＝1013W/m2时，L＝10dB．若整改后的施工噪音的声强为原声强的10﹣2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（）A．50dB B．40dB C．30dB D．20dB10．已知（）m＝log3m，（）n＝log n，p＝cosα+，α∈[0，），则m，n，p 的大小关系为（）A．n＜p＜m B．n＜m＜p C．m＜n＜p D．m＜p＜n11．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为﹣的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若（+）•＝0，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x12．设函数f（x）＝e x﹣2x，直线y＝ax+b是曲线y＝f（x）的切线，则2a+b的最大值是（）A．e﹣1B．﹣1C．2e﹣4D．e2﹣4二、填空题：本题共4小题，毎小题5分。
高三数学理科四校联考期末试卷试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第一学期高三数学理科四校联考期末试卷本套试卷分选择题和非选择题两局部，一共5页，总分值是为150分，考试时间是是120分钟。
一、选择题：〔本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
〕 1．假设dx x a⎰=22，dx x b ⎰=23，dx x c ⎰=2sin ，那么a 、b 、c 大小关系是A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<2．给出下面的程序框图，那么输出的数是 A ．2450 B ．2550C ．4900D ．5050i ≥100是 输出sum开始否3．数列{}n a 的前n 项和2)0(2≥<+=，n，a bn an S n 那么时，以下不等式成立的是A ．)2()(b a an n S b a n n +-<<+B ．)()2(b a n S b a an n n +<<+-C ．n S b a an n b a n <+-<+)2()(D ．)()2(b a n b a an n S n+<+-<4．函数21log )(=x f )1(x x +，那么以下正确的选项是①)(x f 的定义域为),0(∞+②)(x f 的值域为[)∞+-,1③)(x f 是奇函数④)(x f 在〔0，1〕上单调递增A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 5．函数x x x f lg sin )(-=的零点个数是A ．3B ．2C ．1D ．0 6．点Q b a p 与点),(〔1，0〕在直线0132=+-y x 的两侧，那么以下说法正确的选项是①0132>+-b a ②0≠a 时，ab有最小值，无最大值 ③M b a R M >+∈∃+22,使恒成立④且0>a 1≠a ,时0>b ,那么1-a b 的取值范围为〔-),32()31,∞+⋃-∞ A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 7．曲线032)12ln(=+--=y x x y 上的点到直线的最短间隔等于A ．5B ．2 C ．2D ．18．程度地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角︒45的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，假设测得PA=5cm ，那么球的半径等于 A ．5cmB ．cm 25C ．cm )12(5+D ．6cm二、填空题：〔每一小题5分，一共30分。
山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题-解析版
山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x＜1}，集合B=，则A∪B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满足i•z=3+2i（i是虚数单位），则=（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3=9，且a2-1，a3-1，a5-1构成等比数列，则S5=（）A. 15B.C. 30D. 254.已知正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，则（）A. B. C. D.5.已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.6.某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A.B.C.D.7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 64种8.如图Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设，，则向量=（）A.B.C.D.9.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面为S，且，则=（）A. 1B.C.D.10.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A. B. C. D.11.已知椭圆C：，＞＞的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，＞，，当a＜0时，方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.观察下列式子，＞，＞，＞，……，根据上述规律，第n个不等式应该为______．14.若（x+1）5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=______．15.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB=1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD=1寸，则圆柱底面的直径长是______寸”．（注：l尺=10寸）16.如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足=+1（n≥2，n∈N），且a1=1．（1）求数列的通项公式{a n}；（2）记b n=，T n为{b n}的前n项和，求使T n≥成立的n的最小值．18.如图在直角△ABC中，B为直角，AB=2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E-MF-C的余弦值．19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50 100女性70 100合计（）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（II）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820.抛物线C：y=x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．21.已知函数，（Ⅰ）当x＞0时，证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）已知点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），设函数，当，时，试判断h（x）的零点个数．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+2|x-3|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）-m2-m＞0恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}；∴A∪B=[0，+∞）．故选：D．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.【答案】A【解析】解：由i•z=3+2i，得z=，∴．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题意，，解得．∴．故选：D．设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，∴设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，∴c=ab．故选：C．设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，由此能推导出c=ab．本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，当M位于A（1，-）时，此时DA的斜率最小，此时z min==-．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：，所以：外接球的半径为：R==故：外接球的表面积为：S=4π．故选：B．首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有C42=6种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有A22=2种情况，此时有2×2=4种情况，则有6×4=24种不同的安排方法；故选：C．根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，所以∠BAC=，∠ACB=，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=，则根据圆的性质BD=CD=AB，又因为在Rt△ABC中，AB==r=OD，所以四边形ABDO为菱形，所以==．故选：C．根据Rt△ABC中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO为菱形，所以==．本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由，得4×absinC=a2+b2-c2+2ab，∵a2+b2-c2=2abcosC，∴2absinC=2abcosC+2ab，即sinC-cosC=1即2sin（C-）=1，则sin（C-）=，∵0＜C＜π，∴-＜C-＜，∴C-=，即C=，则=sin（+）=sin cos+cos sin==，故选：D．根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：令圆的半径为1，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为P===-1．故选：C．设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11.【答案】B【解析】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有=，=，可得===2，即有==2，即有e=，故选：B．连接IF1和IF2，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：令t=f（x），则方程f2（x）-2f（x）+a=0可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，故选：A．由方程的解与函数图象交点的相互转化得：原方程可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由二次方程区间根问题得：由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，得解．本题考查了方程的解与函数图象交点的相互转化及二次方程区间根问题，属中档题．13.【答案】ln（n+1）＞++……+【解析】解：根据题意，对于第一个不等式，ln2＞，则有ln（1+1）＞，对于第二个不等式，ln3＞+，则有ln（2+1）＞+，对于第三个不等式，ln4＞++，则有ln（2+1）＞++，依此类推：第n个不等式为：ln（n+1）＞++……+，故答案为：ln（n+1）＞++……+．根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．14.【答案】80【解析】解：∵（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=•23=80，故答案为：80．根据（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，利用二项式展开式的通项公式求得a2的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】26【解析】解：∵AB⊥CD，AD=BD，∵AB=10寸，∴AD=5寸，在Rt△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，∴OA2=（OA-1）2+52，∴OA=13寸，∴圆柱底面的直径长是2AO=26寸．故答案为：26．由勾股定理OA2=OD2+AD2，代入数据即可求得．考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.【答案】2-3【解析】解：设AM=x，∠AMN=α，则BM=1-x，∠AMB=180°-2α，∴∠BAM=2α-60°，在△ABM中，由正弦定理可得=，即，∴x=，∴当2α-60°=90°即α=75°时，x取得最小值=2-3．故答案为：2-3．设AM=x，∠AMN=α，在△ABM中利用正弦定理得出x关于α的函数，从而可得x的最小值．本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足=+1，所以：，所以：数列{}为等差数列，且，则：，即，当n≥2时，=2n-1．又a1=1也满足上式，所以：a n=2n-1；（2）由（1）知，，∴，由有n2≥4n+2，有（n-2）2≥6，所以n≥5，∴n的最小值为5．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，∵MN，EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵EF⊥BE，EF⊥DE，BE∩EF=E，∴EF⊥平面BDE，∴EF⊥EN，∴MF⊥MN，在△DFC中，DF=FC，又∵M为CD的中点，∴MF⊥CD，又∵MF∩MN=M，∴MF⊥平面BCD．解：（Ⅱ）∵DE⊥BE，DE⊥EF，BE∩EF=E，∴DE⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC=2，则E（0，0，0），F（0，1，0），C（-2，2，0），M（-1，1，1），∴=（0，1，0），=（-1，0，1），=（2，-1，0），设面EMF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理，得平面CMF的法向量=（1，2，1），设二面角E-MF-C的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角E-MF-C的余弦值为．【解析】（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，四边形EFMN是平行四边形，由EF⊥BE，EF⊥DE，得EF⊥平面BDE，从而EF⊥EN，MF⊥MN，求出MF⊥CD，由此能证明MF⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-MF-C的余弦值．本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．19.【答案】解：（1）完成列联表（单位：人）：由列联表，得：k2==＞，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：P==．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意X～B（10，0.6），∴随机变量X的数学期望E（X）=10×0.6=6，方差D（X）=10×0.6×0.4=2.4．【解析】（1）完成列联表，由列联表，得k2=，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意X～B（10，0.6），由此能求出随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设直线l的方程为y=2x+b，联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b=0，所以，b=-1，因此，直线l的方程为y=2x-1；（2）设直线l的方程为y=2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b＞0，所以，b＞-1．由韦达定理得x1+x2=2，x1x2=-b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ的方程为，由，得2x2+x-5-2b=0，由韦达定理得，，所以，，所以，＞，所以，的取值范围是，．【解析】（1）设直线l的方程为y=2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△=0求出b的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y=2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．令G（x）=e x-2x（x＞0），G′（x）=e x-2（x＞0），易得G（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∴G（x）≥G（ln2）=2-2ln2＞0，∴e x-2x＞0在（0，+∞）恒成立．∵φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．∵f（x）＞g（x）；（Ⅱ）∵点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），∴h（x）==-x sinx+e x cos x，h′（x）=-sin x-x cosx+e x cos x-e x sin x=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x．①当x，时，可知e x＞2x＞x，∴e x-x＞0∴（e x-x）cos x≥0，（e x+1）sin x≤0，∴h′（x）=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x≥0．∴h（x）在[-，0）单调递增，h（0）=1＞0，h（-）＜0．∴h（x）在[-，0]上有一个零点，②当x，时，cos x≥sin x，e x＞x，∴e x cos x＞x sinx，∴h（x）＞0在（0，]恒成立，∴在，无零点．③当，时，0＜cos x＜sin x，h′（x）=e x（cos x-sin x）-（x cosx+sin x）＜0．∴在，单调递减，＜，＞．∴h（x）在（，]存在一个零点．综上，h（x）的零点个数为2．．【解析】（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．易得e x-2x＞，φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．即可证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）h（x）==-xsinx+e x cosx，分①x，②x，③时，讨论h（x）的零点个数即可．本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．22.【答案】解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得．∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，即x2+y2-4x=0．∴曲线的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，得．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2=-3．不妨设t1＜0，t2＞0，∴=．【解析】（Ⅰ）由（t为参数）直接消去参数t，可得直线的普通方程，把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t的几何意义求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t的几何意义是解题的关键，是中档题．23.【答案】解：（I）当x≤1时，不等式为：1-x+2（3-x）≤4，解得x≥1，故x=1．当1＜x＜3时，不等式为：x-1+2（3-x）≤4，解得x≥1，故1＜x＜3，当x≥3时，不等式为：x-1+2（x-3）≤4，解得x≤，故3≤x≤．综上，不等式f（x）≤4的解集为[1，]．（II）由f（x））-m2-m＞0恒成立可得m2+m＜f（x）恒成立．又f（x）=，，＜＜，，故f（x）在（-∞，1]上单调递减，在（1，3）上单调递减，在[3，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（3）=2．∴m2+m＜2，解得-2＜m＜1．即m的最值范围是（-2，1）．【解析】（I）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（II）根据f（x）的单调性求出f（x）的最小值，得出关于m的不等式，从而求出m的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．。
2024届安徽省蚌埠四校高三复习质量监测(五)数学试题理试卷
2024届安徽省蚌埠四校高三复习质量监测（五）数学试题理试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[2]-，C ．(2]-，D ．2,2⎡-⎣3．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．35．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞6．若双曲线22214x y a -=3，则双曲线的焦距为（ ）A ．26B ．25C ．6D ．87．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．368．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行9．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③10．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.11．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．912．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） A．2BC．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省大庆市四校高三上学期12月联考数学试卷(理科) Word版含解析
2015-2016学年黑龙江省大庆市四校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，集合N={x||2x﹣1|＜3}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2或x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}2．已知复数z1=1﹣2i，则的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，S11=121，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．634．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．5．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．=2a n+3，则通项a n可能是（）6．设数列{a n}中，a1=2，a n+1A．5﹣3n B．3•2n﹣1﹣1C．5﹣3n2D．5•2n﹣1﹣37．已知为锐角，则α+2β的值是（）A．B． C．D．π8．在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=2，点P是斜边上的一个三等分点，则=（）A．0 B．4 C．D．﹣9．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，）D．（3，+∞）11．已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于．14．已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为．15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于．16．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根其中正确命题是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知命题a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a ≤0，若命题“p”或“q”是假命题，求a的取值范围．18．已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．19．数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a8．+1（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2．①求A；②若b=1，△ABC的面积为，求的值．21．设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．22．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆市四校高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，集合N={x||2x﹣1|＜3}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2或x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}【考点】交集及其运算；绝对值不等式的解法．【分析】解分式不等式化简集合M，解绝对值不等式化简集合N，借助数轴求出交集．【解答】解：={x|}={x|x＞1}N={x||2x﹣1|＜3}={x|﹣1＜x＜2}故M∩N={x|1＜x＜2}故选项为B2．已知复数z1=1﹣2i，则的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简，依据复数的虚部的定义求出其虚部．【解答】解：∵复数z1=1﹣2i，则====1+i，虚部等于1，故选C．3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，S11=121，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，∴S7=7a1+d=49，故选：C．4．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值【解答】解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C5．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．=2a n+3，则通项a n可能是（）6．设数列{a n}中，a1=2，a n+1A．5﹣3n B．3•2n﹣1﹣1C．5﹣3n2D．5•2n﹣1﹣3【考点】数列递推式．+3=2（a n+3），数列{a n+3}是以5为首项，以2为公比的等比数列，【分析】由已知可得，a n+1结合等比数列的通项可求a n+1，进而可求a n=2a n+3，【解答】解：∵a1=2，a n+1∴a n+3=2（a n+3），+1∴数列{a n +3}是以5为首项，以2为公比的等比数列，∴∴故选D7．已知为锐角，则α+2β的值是（ ）A ．B ．C ．D ．π【考点】两角和与差的正切函数．【分析】根据tan α和tan β的值都小于1且α，β均为锐角，得到α和β度数都为大于0小于进而求出α+2β的范围，然后利用二倍角的正切函数公式由tan β的值求出tan2β的值，利用两角和的正切函数公式表示出tan （α+2β），将各自的值代入即可求出值，根据求出的α+2β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的值．【解答】解：∵tan α=＜1，tan β=＜1， 且α、β均为锐角，∴0＜α＜，0＜β＜．∴0＜α+2β＜．又tan2β==，∴tan （α+2β）==1∴α+2β=．故选：A ．8．在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC=BC=2，点P 是斜边上的一个三等分点，则=（ ）A ．0B ．4C ．D ．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，将所求等式变形，用直角三角形的两条直角边对应的向量表示，展开计算即可．【解答】解：直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=2，点P是斜边上的一个三等分点，则==（）（）=（）（）=（））===4；故选B．9．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．10．函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，）D．（3，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意可得可得a＞1，且a﹣3＞0，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，而函数t=ax﹣3在[1，3]上单调递增，根据复合函数的单调性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3，故选：D．11．已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．【解答】解：因为，所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．又因为，所以∠BAC=60°，所以三角形是正三角形．故选A．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于3．【考点】等比数列；定积分．【分析】先计算定积分得到a4，因为等比数列的首项为，然后根据等比数列的通项公式列出关于q的方程，求出即可．【解答】解：由已知得：a4=∫14（1+2x）dx=x+x2|14=18．又因为等比数列的首项为，设公比为q根据等比数列的通项公式a n=a1q n﹣1，令n=4得：a4=×q3=18，解得q3==27，所以q=3．故答案为3．14．已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为[2，10）．【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式＞2转化为（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．分k=2和k≠2两种情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知，解不等式组即可确定k的取值范围．【解答】解：∵x2+x+2＞0，∴不等式＞2可转化为：kx2+kx+6＞2（x2+x+2）．即（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．当k=2时，不等式恒成立．当k≠2时，不等式（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0恒成立，等价于，解得2＜k＜10，∴实数k的取值范围是[2，10），故答案为：[2，10）．15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于18．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的值．【分析】对函数f（=x）求导的导函数，利用导函数与极值的关系进行求解．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴适合∴f（2）=8+16﹣22+16=18．故答案为18．16．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根其中正确命题是（1）（3）（4）．【考点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．【分析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．【解答】解：∵在y为[﹣2，﹣1]时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为[1，2]时，g（x）同样都是两个自变量满足∴（1）正确∵f（x）值域在[﹣1，2]上都是一一对应，而在值域[0，1]上都对应3个原像，∴（2）错误同理可知（3）（4）正确．故答案为：（1）（3）（4）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知命题a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a ≤0，若命题“p”或“q”是假命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】对方程a2x2+ax﹣2=0进行因式分解是解决该题的关键，得出方程的根（用a表示出）．利用根在[﹣1，1]上，得出关于a的不等式，求出命题p为真的a的范围，利用x2+2ax+2a ≤0相应的二次方程的判别式等于0得出关于a的方程，求出a，再根据“p或q”是假命题得出a的范围．【解答】解：由题意a≠0．若p正确，a2x2+ax﹣2=（ax+2）（ax﹣1）=0的解为或…若方程在[﹣1，1]上有解，只需满足||≤1或|﹣|≤1∴a≥1或a≤﹣1…即a∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）…若q正确，即只有一个实数x满足x2+2ax+2a≤0，则有△=4a2﹣8a=0，即a=0或2 …若p或q是假命题，则p和q都是假命题，…有所以a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）…18．已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值，根据α的范围求得α．（2）根据向量的基本运算根据求得sinα和cosα的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由可确定答案．【解答】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵．∴．（2）∵，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，∴∴，∴．19．数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a8．+1（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】（I）由已知条件知数列{a n}为等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式；由等比数列{b n}满足b1=a1=2，b4=a8=16，利用等差数列和等比数列的通项公式能求出数列{b n}的通项公式．（II）由题意知，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．﹣a n=2，a1=2，【解答】解：（I）∵a n+1∴数列{a n}为等差数列，∴a n=2+（n﹣1）2=2n，∵等比数列{b n}满足b1=a1=2，b4=a8=16，∴，则．（II）∵a n=2n，b n=2n，∴，则，，两式相减得，整理得．20．设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2．①求A；②若b=1，△ABC的面积为，求的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算，表示出函数的解析式，第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，后两项提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，（1）找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期，再由余弦函数的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]列出关于x的不等式，求出不等式的解集可得出函数的递减区间；（2）①由f（A）=2，将x=A代入得到cos（2A﹣）的值，由A为三角形的内角，得到A的范围，进而确定出2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．②由三角形的面积公式可求c，利用余弦定理可求a，利用正弦定理，比例的性质即可得解．【解答】解：∵=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），∴f（x）==2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+2（cos2x+sin2x）=1+2cos（2x﹣），（1）∵ω=2，∴T==π，令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）①∵f（A）=2，∴1+2cos（2A﹣）=2，∴cos（2A﹣）=，∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，则A=．②∵b=1，△ABC的面积为=bcsinA=，∴c=2，∴a===，∴===2．21．设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g（x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0，从而b=0，由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知：、令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，，K=1时，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根当是g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数22．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，即a（x﹣lnx）≥x2﹣2x，构造函数g（x）=（x∈[1，e]），可将问题转化为一个函数成立问题，由此求出函数的最小值，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x=，当x∈[1，e]时，2x2∈[2，2e2]，若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=﹣1时，f′（x）=0），故f（x）在[1，e]上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；若﹣2e2＜a＜﹣2，令f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x≤e，此时f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=；若a≤﹣2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），故f（x）在[1，e]上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2，综上所述，得a≥﹣2时，f（x）min=1，相应的x=1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）min=，相应的x=；当a≤﹣2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e；（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而a≥，x∈[1，e]，令g（x）=（x∈[1，e]），则g′（x）=，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在[1，e]上是增函数，故g（x）min=g（1）=﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．2016年12月9日。
高三数学理科四校联考试卷课标 试题
2021-2021年上学期宝坻区高三数学理科四校联考试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考试时间是是120分钟 分值150分一、 选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．设集合A 和集合B 都是实数集R ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素：x x 31-+，那么在映射f 下，象1的原象所成的集合是〔 〕A. {1}B. {-1}C. {1，-1}D. {1，0，-1}2．设p 、q 为简单命题，那么“p 且q 〞为假是“p 或者q 〞为假的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数x x y 44sin cos +=的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π4. 等差数列{}n a 中,，12031581=++a a a 那么1092a a -的值是( )A. 24B. 22C. 20D. –8=-5cos 5sin 355cos 2( )A .23B .1C .2D . 3 )0,0)( sin()(>>+=ωϕωA x A x f〕 A.2 B. 2+2C. 2+22 D. –2-227.数列 {}n a 的前n 项和）（40-=n n S nA.0,02119<>a aB. 0,02120<>a aC. 0,02119><a aD.0,02019><a a8．假设函数2px p x x f +-=）（在〔1，+∞〕上是增函数，那么实数p 的取值范围是〔 〕 A ．［－1,＋∞) B ．［1,+∞) C ．(－∞,－1］ D ．( －∞,1］9．函数）（x f y =与函数）（x g y =那么函数x f y =（( )10．）（x f 是定义在R 上的奇函数，对R x ∈总有）（）（x f x f -=+23，那么）（23-f 的值是〔 〕A. 0B.3C.23 D.23- 11.）（，n n n a a n a a -==+111,那么数列{}n a 的通项公式=n a ( )A. 12-nB. 11-+n nn ）（C. 2nD. n 12、设函数()x f 定义域为D ，假如对于任意的D x ∈1存在唯一的D x ∈2使()()c x f x f =+221〔c 为常数〕成立，那么称函数()x f y =在D 上的均值为c ，给出以下四个函数：①3x y =，②x y sin 4=，③x y lg =，④xy 2=，那么满足在其定义域上均值为2的所有函数是〔 〕A . ① ②B . ①③C . ① ② ④D . ③ ④ 二、 填空题(本大题一一共4个小题，每一小题4分，一共16分)13．=⎩⎨⎧≤≤<<-=-=+)3(,)10(0)01(1)()()1(f x x x f x f x f 则且 .14. 数列{}n a 满足*,,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++那么=n a 15．定义运算b a * 为: ()(),⎩⎨⎧>≤=*ba b b a a b a 例如，121=*,那么函数=)(x f x x cos sin *的值域为．16．设函数c bx x x x f ++=)( 给出以下四个命题： ①c = 0时，y =)(x f 是奇函数 ②b =0 , c >0时，方程)(x f =0 只有一个实根 ③y =)(x f 的图象关于(0 , c)对称 ④方程)(x f =0至多两个实根其中正确的命题是三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共74分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17. 〔本小题满分是12分〕设m x x x x f ++=2cos cos sin 3）（(1)写出）（x f 最小正周期和单调递增区间 (2)当x ∈[-6π，3π]时，函数）（x f 的最小值为2，求此时函数）（x f 的最大值，并指出x 取何值时，函数）（x f 获得最大值。
高三数学理科四校联考试卷 试题
2021-2021学年度高三数学理科四校联考试卷一、制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日二、选择题〔分4058'=⨯〕1． 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期为〔 〕 A 〕4π B 〕2πC 〕π2D 〕π4 2． )3,2(),1,(==b k a，假设b a ⊥，那么k 的值是〔 〕A 〕5B 〕5-C 〕23D 〕23- 3． 函数xx y --=2)1(log 2的定义域为〔 〕A 〕]2,1( B))2,1( C 〕),2(+∞ D 〕)2,(-∞4． 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2)1(log 22)(231x x x e x f x ，那么))2((f f 的值是〔 〕 A 〕0 B 〕1 C 〕3 D 〕25． 数列}{n a 满足133,011+-==+n n n a a a a )(*N n ∈，那么=25a 〔 〕A 〕0B 〕3-C 〕3D 〕23 6． 以下函数中，图象的一局部如右图所示的是〔 〕 A 〕)6sin(π+=x y B 〕)62sin(π-=x y C 〕)34cos(π-=x y D 〕)62cos(π-=x y7． 等比数列}{n a 的公比0<q ，其前n 项的和为n S ，那么76a S 与67a S 的大小关系为〔 〕A 〕76a S >67a SB 〕76a S =67a SC 〕76a S <67a SD 〕不能确定8． 0,0,0>>>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，那么c b a ++2的最小值为〔 〕A 〕13-B 〕13+C 〕232+D 〕232-三、填空题〔分3056'=⨯〕 9．不等式21>-x x的解集是____________ 10．123)(2++=x x x f ，假设⎰-=11)(2)(a f dx x f ，那么=a ____________11．假设1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，那么a 的取值范围是____________12．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)1(x f x f =+，假设5)1(-=f ， 那么=))5((f f ____________13．对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在2=x 处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，那么数列}1{+n a n的前n 项和公式是____________ 14．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ，那么132++x y 的取值范围是____________四、解答题〔一共80分〕15．〔12分〕向量)1,(sin ),1,32(cos αα=--=n m，m 与n 为一共线向量且]0,2[πα-∈ Ⅰ〕求ααcos sin +的值 Ⅱ〕求αααcos sin 2sin -的值16．〔13分〕定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数，Ⅰ〕求b a ,的值Ⅱ〕假设对任意R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围。
黑龙江省龙东地区四校2022届高三上学期11月联考数学(理)试卷
黑龙江省龙东地区四校2022届高三上学期11月联考数学（理）试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2,3}A =，{}0)2)(1(<-+∈=x x Z x B ，则=⋂B A （ ） A ．{1,2,3} B ．{1,2}C ．{2,3}D ．}1{2.已知向量)1,1(),0,2(==b a ，若b a λ-与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A.2 B.1 C.-1 D.-2 3．已知i 为虚数单位，iiz 432++=，设z 是z 的共轭复数，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知命题:,cos 1p x x ∀∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||1()1x e≤，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨5．若将函数)2sin(ϕ+=x y 的图象向右平移π6个单位长度后为奇函数，则ϕ的值可以为（ ）A ．6π B ．6-π C ．3π D ．3-π6．已知等差数列{}n a 且24)(231410662=++++a a a a a ）（，则数列{}n a 的前13项之和为（ ）A ．26B ．39C ．104D ．527. 已知实数y x ,满足条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-1030x y x y x ，则1+x y 的最大值为（ ）A.21 B.2 C.53D.1 8. 如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且60=∠BOC ，点M 是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是（ ） A.31 B.47 C.43 D.239．设函数)1ln(11)(2x xx f +-+=,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知函数()2122,0log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数m x f x g -+=1)()(有4个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．)1,0(B ．)0,1(-C ．）（2,1D ．)3,2(11．已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC =，PB =PC =P ABC -外接球的体积为（ ）A.π10B.310π C.35π D.3105π12．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．当1a =-时，()f x 在），（∞+0单调递减 B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且39274102⨯=+a a a a ，则1210lg lg lg a a a +++=______．14.若()1cos 2αβ-=，53)cos(=+βα，则tan tan αβ=___________.15.在ABC ∆中，E 为BC 的中点，点F 满足FC AF 2=,若AF AE AB μλ+=,则=+μλ_______.16.已知函数1ln )(--=-xxex f ax 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：共70分. 17.（10分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且//AB EF ，2AF =，2442EF AB AD ===，平面ABCD ⊥平面ABEF .（1）求证：CE AF ⊥； （2）求三棱锥ACE F -的体积.18．（12分）已知数列{}n a 为等差数列,公差5,01=≠a d ，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若353=n S ，求n 的值.19.（12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，31cos ,2==C b a .（1）求B tan ；（2）M 为边AB 上一点，MB AM 2=,59=CM ,求ABC ∆的面积.20.（12分）已知数列{}n a ，11=a , 且满足0121=--+n n a a ，数列 }{n b 满足 11=b , 数列 }1{1+-+n nn a b b的前 n 项和为 n n +2.（1）证明: 数列 }1{+n a 为等比数列并求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列}{n b 的通项公式.21.（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，EA E A 21=（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ； （2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E 所成角的余弦值为7102，求二面角1E D C D --的余弦值.22.（12分）已知函数k kx x x x f 3ln )(-+=，求:（1）当1=k 时，求曲线)(x f 在点))1(1(f ，处的切线方程； （2）当3>x 时，总有1)(>x f ，求整数k 的最小值.答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBABCACCBCDC13. 15 14. 15 . 16.17.(1),AB BC ⊥ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CEAF BCE CE BCE AF B BCE BE BC AFBE BG BE EG BG BE EG BG BE BEG AFBG ABGF GFBA GF BA BG G EF AFBC ABEF BC ⊥∴⊂⊥∴⊂⊥⊥∴=+∴===∆∴∴=⊥∴⊥∴平面平面，且交于点平面、中，在为平行四边形四边形，链接中点取平面 ,22,2//,//,222 （2）(2)设A 到EF 的距离d 则2d =，,AB BC ⊥ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB = ABEF BC 平面⊥∴，且2BC AD ==，3242224213131=⨯⨯⨯⨯===--CB S V V AEF AEFC ACE F .18．（1）23n a n =+；（2）.解：由1a ，6a ，21a 依次成等比数列，可得26121a a a =，即，解得，则()21253n n n a +-=+=.（2）()()111111232522325n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 即有前n 项和为1111111257792325n S n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭()1112525525n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭得.19 （1），得（2） ，,,因为由正弦定理得,所以，所以，故20.),1(21012111+=+=--++n n n n a a a a 得）证明：由（.22}1{11为公比的等比数列为首项，是以知由+=n a a .12,22211-==⋅=+-n n n n n a a 从而所以，（2）n c n n c b b a b b c n n nn n n n n n 2,n }{,21211=+-=+-=++所以项和为的前由题意知令.22211++⋅=⋅=-n n n n n n b b 从而52)2(,1,42)2(,42)2()222(2)1(212)2(2)1(2.212)2(2)1(212)2(2)1()()()()(1111121131212112232111+⋅-==+⋅-=-+⋅-=+++-⋅-=⋅++⋅-+⋅-=⋅++⋅-+⋅-=⋅++⋅-+⋅-=-+-++-+-=-+++-++-----n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b n b b n n T n n T n n T n n b b b b b b b b b b 所以又即两式相减得设21.（1）当点P 为11A B 的中点时//PF 平面1CD E ，证明如下： 连接1A B ，∵P ､F 分别为11A B ､1B B 的中点，∴1//PF A B ， 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//A B CD ，∴1//PF CD ，∵PF ⊄平面1CD E ，1CD ⊂平面1CD E ，∴//PF 平面1CD E ； （2）以D 为坐标原点，DA ､DC ､1DD 的方向分别为x ､y ､z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，设正方形ABCD 的边长为1，1AA h =，则()010C ，，､1(00)D h ，，､2(10)3hE ，，， 则()10,1,CD h =-､11,0,3h D E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()m x y z =，，为平面1CD E 的法向量，则1100m CD m D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即003y hz h x z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则3h x =､y h =，即,,13h m h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1BB 与平面1CD E 所成角的余弦值为7102，1BB 与平面1CD E 所成角的正弦值为37，且()10,0,BB h =， ∴1113cos 7m BB m BB m BB h ⋅===⋅，，解得2h =，∴2(21)3m =，，， 又平面1DD C 的一个法向量为(100)n =，，， ∴22cos 74m n m n m n⋅===⋅+，，设二面角1E D C D --的平面角为θ，θ为锐角，则2cos cos 7m n θ==，． 22.42).1(22)1(1)(2)1(2)1(2ln )(3ln )(11=---=+∴-=='∴+='∴-+==y x x y f x f f f x x f x x x x f k 即）处的切线方程为，在点（时，）当（.3-,3,,)()3,310(3133213ln 1)()(0)(),(,0)(),8(,32ln ,02ln 3,0)()9,8(079ln 3)9(,068ln 3)8(3)(03)(,2ln 3)()3(2ln 3)(,3ln 1)(3ln 1,3,ln 1)3(,13ln 1)()2(max max 2的最小值为即整数且因为时，当时，当则即使）上递减，，在（恒成立。
河南省名校高三下学期四月联考数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．设复数z 在复平面内对应的点为，若，则a =（ ） ()0,a 2z =A ．2iBC ．D ．2±【答案】C【分析】根据复数的几何意义可得，再根据复数的模即可求解. i z a =【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为，所以. ()0,a i z a =因为，解得. 2z =2=2a =±故选:C.2．设集合，，则（ ）{}2230A x x x =∈--≤Z {}0,2B =A ． B ．C ．D ．A B ⊆B A ⊆{}2,1,0,1,2A B =--U {}2A B ⋂=【答案】B【分析】解出集合，将集合进行运算即可得出结论.A ,AB 【详解】，，{}2230{|13}A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤Z Z {}1,0,1,2,3A ∴=-而，则{}0,2B =，故A 错误，B 正确；B A ⊆，故C 错误；{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，故D 错误；{}0,2A B =I 故选：B.3．已知与的夹角为，则（ ） a a b π423a b += A ．10 B ．8C ．5D ．4【答案】A【分析】利用平面向量的数量积及模的关系计算即可.【详解】，故. 22222π369161cos 9254a b a a b b +=+⋅+=+⨯+⨯= 2310a b += 故选：A4．某科研团队通过电催化结合生物合成的方式，将二氧化碳和水高效合成高纯度乙酸，并进一步利用微生物合成葡萄糖和脂肪酸（油脂），该工作的突破，为人工和半人工合成“粮食”提供了新技术．在对照实验过程中，科研人员将收集到的实验组与对照组的实验数据进行记录如图，由于不小心被化学物质腐蚀了两个数据，已知被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，被腐蚀后实验组的中位数增加了1，则对照组与实验组被腐蚀数据分别是（ ）A ．17；14B ．15；14C ．17；15D ．16；13【答案】D【分析】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，由题意可得a b ，再由中位数的定义可求得即可求出答案.3a b -=3b =【详解】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，a b 被腐蚀后的对照组的数据总值为：， 20222323242614141417210209a a ++++++++++++=+被腐蚀后的实验组的数据总值为：，2121222316151212109610177b b ++++++++++++=+被腐蚀后的实验组的数据的中位数为，15被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，即， 20917735a b +--=即，3a b -=被腐蚀前的实验组的数据的中位数为， 15102522b b+++=被腐蚀后实验组的中位数增加了1，即，解得：， 251512b+-=3b =.6a =故对照组与实验组被腐蚀数据分别是16,13. 故选：D.5．我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x与时间t 关系满足函数（为初速度，k 为加速度且）．位移的导函数是速度()2012x t v t kt =+0v 0k ≠与时间的关系．已知从静止状态匀加速至位移公里需，则时速从零加速到()0v x t v kt '==+10760s 时速600公里需（ ） A ．B ．C ．D ．120s 180s 210s 240s【答案】C【分析】根据题中所给函数解析式先求得k 的值，再利用即可求得()2012x t v t kt =+()0v x t v kt '==+答案.【详解】由题意得匀加速过程中，位移x 与时间t 关系满足函数，()2012x t v t kt =+则由从静止状态匀加速至位移公里需可得，10760s 2212060,2610770k k =⨯=⨯则由可得（s ）， ()0v x t v kt '==+220,2107660600030t t =⨯=⨯ 故选：C6．在中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c ，a =ABC A tan A =ABC S =A （ ）A ．13B ．2C ．D ．【答案】C【分析】由三角形的面积公式可求出，再由余弦定理即可求出答案. ,b c【详解】因为，因为，所以， tan A =()0,πA ∈π3A =， 11sin 222ABC S bc A c c ==⨯⋅=A 2c =，由余弦定理可得：.24b c ==21164224122a =+-⨯⨯⨯=解得：. a =故选：C.7．在正三棱锥P -ABC 中，，BC ＝6，M ，N ，Q ，D 分别是AP ，BC ，AC ，PC 的中点，PA =平面MQN 与平面PBC 的交线为l ，则直线QD 与直线l 所成角的正弦值为（ ）A B ．C D 56【答案】C【分析】取的中点，连接，由题意可得平面MQN 与平面PBC 的交线为l 即为，直PB J ,MJ JN JN 线QD 与直线l 所成角即为直线QD 与直线所成角即为，由余弦定理求解即可. MQ MQD ∠【详解】取的中点，连接，由题意可得， PB J ,MJ JN 1//,2QN AB QN AB =又因为，所以， 1//,2MJ AB MJ AB =1//,2MJ QN MJ QN =所以四边形是平行四边形，所以，MJNQ //MQ JN所以四点共面，M J N Q 、、、所以平面MQN 与平面PBC 的交线为l 即为，JN 直线QD 与直线l 所成角即为直线QD 与直线所成角即为， MQ MQD ∠因为正三棱锥P -ABC 中，，BC ＝6，PA =所以，6PA PB PC AB AC BC ======所以，3QD MQ MD ===，222272795cos 22276MQ QD MD MQD MQ QD +-+-∠===⋅⨯所以. sin MQD ∠===故选：C.8．在平面中，已知点H 到，H 的轨迹为曲线C ，直线()2,0A -()2,0B 与C 分别相交于M ，N ，且直线与坐标轴分别相交于点P ，Q ，已知定点，则30x y --=()6,0D （ ） MDNPDQS S=△△A ．B CD【答案】D【分析】设，由题意求出点H 的轨迹，画出图象，求出到直线的距离，(),H x y ()6,0D 30x y --=由垂径定理求出，即可求出，再求出，即可得出答案. MN MDN S A PDQ S△【详解】设，因为点H 到，(),H x y ()2,0A -()2,0B所以，化简得：，HA HB==()22412x y -+=故点H 的轨迹为，()22412x y -+=到直线的距离为：()6,0D 30x y --=d 到直线的距离为：， ()4,0H 30x y --=1d 所以2MN ==所以， 1122MDN S MN d =⋅==A ， 11933222PDQPS QD y =⋅⋅=⋅⋅=A 所以MDN PDQS S ==A A 故选：D.9．已知函数（，）的一个零点与相邻的一条对()sin())f x x x ωθωθ=+++0ω>π02θ<<π4称轴间的距离为，把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则π4()y f x =π4()g x 的一个单调递减区间为（ ）()g x A ．B ．C ．D ．ππ,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】首先由辅助角公式得出，由相邻零点与对称轴之间的距离得出，(())32sin f x πx ωθ++=ω再根据一个零点为得出，然后通过平移得出，最后利用整体带入方法求出单调递减区间． π4θ()g x 【详解】由已知得()sin())f x x x ωθωθ=++sin())12[]2x x ωθωθ++=，32sin()πx ωθ++=因为的一个零点与相邻的一条对称轴间的距离为， ()f x π4π4所以，即， π44T =πT =则， 2π2Tω==所以，(()223sin )f πx x θ++=由是的一个零点，得， π4()f x (()24)2sin 03πf ππθ++==即，解得，，)os(0c 3πθ+=ππ6k θ=+Z k ∈又因为， π02θ<<所以，即， π6θ=()2sin 2co (2s 263πx x f x π+=+=把函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像， ()y f x =π4()g x 则，πππ()()2()2cos(2)2sin 24422cos g x f x x x x =+=+=+=-由，，得，，ππ2π22π22k x k -+≤≤+Z k ∈ππππ44k x k -+≤≤+Z k ∈即的单调减区间为，()g x πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦因为，πππ,0π,π444k k ⎡⎤⎡⎤-⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以的单调减区间为，()g x π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B ．10．已知，，，则（ ）515ln 5a +=3e 3b -+=336e e 1e c ++=A ． B ． C ． D ．a b c <<c a b <<a c b <<c b a <<【答案】A【分析】构造函数，对求导，即可判断的大小，再证明，即()1ln (0)f x x x x=->()f x ,a b 0b c -<可得出答案.【详解】易知，．1ln55a =-331ln e eb =-令，，()1ln (0)f x x x x=->()221110x f x x x x '+=+=>则在单调递增，又，所以，()f x ()0,∞+3e 5>3311ln e ln 5e 5->-所以．又， a b <33e31e e e c =-则，即． 333e 3311ln e e e 0e eb c -=--+<b c <综上，． a b c <<故选：A.11．已知椭圆的直线分别与相切于，两点，则直线222:1y C x t +=()1,2P C A B 方程为（ ）AB A ．或 B ．10x y +-=410x y +-=410x y +-=C ． D ．或10x y +-=10x y ++=410x y +-=【答案】A【分析】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，即可得22221(0)x y a b a b+=>>()00,x y 00221x x y y a b +=到点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，(,)P m n 2222:1(0)x y C a b a b +=>>P A B，则切点弦的方程为，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦AB 221mx nya b +=方程．【详解】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，22221(0)x y a b a b+=>>()00,x y 00221x x y y a b +=①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为，()00,x y y kx m =+联立方程，得，22221y kx mx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，即， 0∆= ()()()222222222240kma b a k a m a b -+=-，22220a k m b +-∴=又， 2222002212222kma ka ka x x x x b a k m m --+===→=+把代入中，得，20ka x m =y kx m =+2b m y =，220200b x b y kx m a y y ∴=+=-+化简得. 00221x x y ya b+=②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式. ()00,x y x a =±综上，椭圆上一点的切线方程为：. ()00,x y 00221x x y ya b+=再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，(,)P m n 2222:1(0)x y C a b a b+=>>P 切点分别为，，则切点弦的方程为．A B AB 221mx nya b +=这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和． ()11,A x y ()22,B x y C 11221x x y ya b +=22221x x y y a b+=两切线都过点，所以得到了和， P 11221x m y n a b +=22221x m y na b +=由这两个“同构方程”得到了直线的方程； AB 221mx nya b +=因为椭圆，222:1y C x t +=若焦点在轴，则，，所以 x 21a =22b t =c ==所以，所以椭圆， c e a ==212t =22:21C x y +=所以过作椭圆的两条切线方程， ()1,2P 22:21C x y +=切点弦方程为；AB 41x y +=若焦点在轴，则，，所以y 21b =22a t =c ==所以，所以椭圆， c e a ==22t =22:12y C x +=所以过作椭圆的两条切线方程， ()1,2P 22:12y C x +=切点弦方程为，即； AB 212yx +=1x y +=综上可得直线方程为或. AB 10x y +-=410x y +-=故选：A12．已知定义在上的函数满足，，在区间内R ()f x ()()0f x f x +-=()()11f x f x -=+()f x (]0,1单调且，则（ ） ()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦()20221k kf k ==∑A ． B ．5055 50552C ．D ．1011505510112⨯【答案】A【分析】由题意可通过换元法将已知条件函数的奇偶性和对称性推导出函数的周期性，再由()f x 在区间内单调且，可得根据函数周期性即可解得()f x (]0,1()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦5(1),2f =的值.()20221k kf k =∑【详解】由题知在内单调，且时，有，由此可知()f x (]0,1(0,1]x ∈()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦，()(0,1]22x x f x -∈-+当 时. ，得(0,1]x ∈22()122x x x x f x ---<≤+-, 13535(1)(1)22(1)2222,f f f f f -⎡⎤⎡⎤<≤-+=-=⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 且 在 内单调，可得()f x (0,1]5(1),2f = ，令, 则 .又，(1)(1)f x f x -=+ 1x x =+()(2)f x f x -=+)(()f x f x -=- 故 . 令. 则 的周期为 4 .(2)()f x f x +=-2x x +=(4)(2)()()f x f x f x f x +=-+=--=()f x ∴ 当 趋于0时，有 . 故 ，x ()0f x =(20)(0)0f f +=-=有 ，5(2)0.(1)(1)2f f f =-=-=-，∴20221()1(1)2(2)2020(2020)2021(2021)2022(2022)k k f k f f f f f ==+++++∑ 根据的周期性可知 ，()f x 1(1)3(3)1(1)3(1)(1)3(1)2(1)f f f f f f f +=+-=-=-，5(5)7(7)5(1)7(1)2(1)f f f f f +=--=-由， 20205054=故20221()505(2)(1)2021(2021)2022(2022)k k f k f f f ==⨯-++∑5505(2)2021(1)2022(2)2f f =⨯-⨯++. 50552=故选：A.【点睛】关键点睛：由奇函数性质，以及对称性性质推出函数()()0f x f x +-=()()11f x f x -=+周期是解题的必要步骤，再由在区间内单调且，用特值法得出()f x (]0,1()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦的值为难点，本题考查的是函数的性质的综合应用，属于较难题.(1)f二、填空题13．已知，则______． 22cos 5sin 10αα-+=cos 2=α【答案】/0.5 12【分析】利用同角三角函数的平方关系化简已知条件，可求，再根据余弦的二倍角公式求解sin α即可.【详解】解：已知，()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=即，()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=解得或（舍）， 1sin 2α=sin 3α=-， 211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=故答案为：.1214．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，从下面两个条件中任1F 2F 2222:1x yC a b-=0a >0b >选一个，则双曲线C 的渐近线方程为______．①与双曲线有共同焦点，且过；②过作垂直于x 轴的直线交双曲线P ，22197x y k k-=-+()3,0M 1F Q 两点，且．143PQ =2143QOF S =△【答案】 y x =【分析】若选择①，由共同焦点可解得焦点为，再由待定系数法即可求解；若选择()()4,0,4,0-②，根据通径公式与面积公式联立解方程组即可得出，，从而得出结论. 27b =29a =【详解】若选择①：双曲线（，）的焦点在轴上，2222:1x y C a b-=0a >0b >x故双曲线的焦点也在，故焦点为， 22197x y k k-=-+x 4=()()4,0,4,0-因为双曲线与双曲线有共同焦点， 2222:1x y C a b -=22197x y k k -=-+所以，即双曲线，2216a b +=2222:116x y C b b -=-代入双曲线可得，即，； ()3,0M C 2290:116C b b-=-27b =29a =故双曲线C 的渐近线方程为； y =30y ±=若选择②：由题意得，为通径，（I ），PQ 22143b PQ a ==（II ），两式联立化简得，22211142223QOF PQ b S OF c a =⨯⨯=⋅=△4c =所以，又因为，联立化简得，；2216a b +=22143b a =27b =29a =故双曲线C 的渐近线方程为； y =30y ±=故答案为：. y =15．已知，且，则m +2n 的取值范围是______．()()1ln f x x x =+()1f m f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭2m ≥【答案】[)3,+∞【分析】求导判定的单调性得，再用对勾函数的单调性求m +2n 的范围即可. ()f x 1m n=【详解】由题意得，设， ()1ln 1f x x x'=++()()211ln 1x g x x g x x x-'=++⇒=令得，，令得，，故在上单调递减，在上单调递()0g x '>1x >()0g x '<01x <<()g x ()0,1()1,+∞增，即，故在定义域上单调递增.()()12g x g ≥=()f x 所以，()112,2f m f m m n m n n m ⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎝⎭设，，由对勾函数的单调性可得在上单调递增，()2h m m m =+2m ≥()h m )+∞故. 22232m m +≥+=故答案为：.[)3,+∞16．在棱长为1的正方体中，M ，N 分别为线段和棱上的点，1111ABCD A B C D -1A B 11A D，EF 为过，，D 三点的平面与正方体的外接球截得的圆面内11A M N =1A 1C 1111ABCD A B C D -MN 的长度最大时，直线MN 与EF 之间的距离为______．【分析】由可分析出，利用线面垂直的判定定理可证平面，线段11A M N 1//MN BD 1BD ⊥11A C D MN 的长度最大时，即为，作出过，，D 三点的截面，当线段MN 的长度最大时，直线1BD 1A 1C MN 与EF 之间的距离即为，求出外接圆半径，利用勾股定理即可求出的长度.GH 11AC D A GH【详解】解：已知M ，N 分别为线段和棱上的点，，1A B 11A D 11A M N =令，即，则， 111A N A D λ=1A N λ=11A M N ==又，则， 1A B ==11A M A B λ=1//MN BD 当线段MN 的长度最大时，即为，1BD 因为为正方体的体对角线，可得，， 1BD 1111ABCD A B C D -11BD C D ⊥111BD A C ⊥而，平面， 1111C D A C C ⋂=111,C D A C ⊂11A C D 所以平面，即平面， 1BD ⊥11A C D MN ⊥11A C D 过，，D 三点的截面如下图所示，1A 1C为等边三角形，其外接圆半径 11AC D A 123r A D ==，而， 12EG EF ==EH r ==在中， Rt EGH A GH ===所以线段MN 的长度最大时，直线MN 与EF ，【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题17．记为数列的前n 项和．已知，． n S {}n a 11a =134n n n S S a +=++(1)证明：是等比数列； {}2n a +(2)求数列的前n 项和． {}2n a n +n T 【答案】(1)证明见解析(2)123322n n n ++--【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列； {}2n a +（2）由（1）可求得，再得，由分组求和法计算既可. n a 2n a n +n T 【详解】（1）由已知得．，即， 134n n n S S a +-=+134n n a a +=+所以，()1232n n a a ++=+所以是首项为，公比为3的等比数列． {}2n a +123a +=（2）由（1）得，所以．11233n a -+=⋅32nn a =-则，2322nn n a n +=+-则数列的前n 项和{}2n a n +()()()()121321232223212322nn n T n n -⎡⎤=+⨯-++⨯-+++--++-⎣⎦()()121333321212n n n n n -=++++++++-+-⎡⎤⎣⎦ ．()()123131332213222n n n n n n n +-+=+⨯-=+---18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M ，N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂 40 20 N 品种蜜蜂5010(1)判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？(2)假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公()P B 式：求解现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品()()()()(|)()(|P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ． （ⅰ）证明：； ()aP B a b=+（ⅱ）研究发现，①M 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M 品种蜜蜂飞入褐2345色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为133556；N 品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M ，N 两个品种蜜蜂中选择一341612种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．附：，其中．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ ()2P K k ≥0.10.05 0.01 0.005 0.001k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828【答案】(1)有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）选M 品种，被抽到的概率为，选N 品种，被抽到的概率为 11151724【分析】（1）根据题意求出，与3.841比较即可得出结论；2K （2）（ⅰ）分别求出，，，，代入公式计算即可证明；（ⅱ）根据题意代()P A (|)P B A (P A (|)P B A 入公式计算即可．【详解】（1）根据列联表得，()2212040102050404.444 3.841606090309K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联． （2）由已知公式可得，，，，， ()aP A a b =+1(|)1a P B A a b -=+-(b P A a b=+(|1a P B A a b =+-则()()()P B P AB P AB =+()(|)()(|P A P B A P A P B A =+ 111a a b aa b a b a b a b -=⋅+⋅++-++- (1)()(1)a a ab a b a b -+=++-(1)()(1)a a b a b a b +-=++-，得证． aa b=+（ⅱ）①选M 品种，设选M 品种蜜蜂被抽到为事件C ， 由题意得, ()241311353515P C =⨯+⨯=故选M 品种，被抽到的概率为． 1115②选N 品种，令选N 品种蜜蜂被抽到为事件D ， 由题意， ()153164621724P D =⨯+⨯=故选N 品种，被抽到的概率为． 172419．在斜三棱柱中，O 为底面正的中心，底面，．111ABC A B C -ABC A 1A O ⊥ABC 12AC AA ==(1)证明：平面平面； 1A AC ⊥1A BO (2)求与平面所成角的正弦值． 1AC 11BCC B 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由底面ABC ，得出，再由O 为底面正的中心得出，1A O ⊥1A O AC ⊥ABC A BO AC ⊥证明出平面，根据平面，即可证明；AC ⊥1A BO AC ⊂1A AC （2）建立空间直角坐标系，分别求出和平面的一个法向量，根据直线与平面夹角正弦1AC11BCC B 的计算计算即可．【详解】（1）证明：因为底面ABC ，平面ABC ， 1A O ⊥AC ⊂所以，1A O AC ⊥由O 为底面正的中心，可知， ABC A BO AC ⊥又，平面，平面， 1A O BO O ⋂=BO ⊂1A BO 1A O ⊂1A BO 所以平面， AC ⊥1A BO 又平面， AC ⊂1A AC 所以平面平面．1A AC ⊥1A BO （2）结合（1）中所得，分别以，所在直线为x ，z 轴，过点O 作AB 的平行线为y 轴，建CO 1OA 立如图所示的空间直角坐标系，O xyz -由，为正三角形，可知，， 12AC AA ==ABC A ()0,0,0O10,A ⎛⎝，，， B ⎫⎪⎪⎭10,B ⎛ ⎝C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，， 1A C ⎛= ⎝ ()1,0BC =-1BB ⎛= ⎝设平面的法向量为，11BCC B (),,n x y z =则，即， 100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取，则，1x=(1,n =设与平面所成角为，1AC 11BCC B θ则1sin cos ,A C n θ=，故与平面 1AC 11BCC B 20．已知函数． ()()()212e 1x f x x a x -=---(1)求函数的极值点；()f x (2)设，为的两个极值点，证明：．1x 2x ()()()13e x g x f x x -=+-()212ln 21x x a <+⎡⎤⎣⎦【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）先求出，因式分解得出，再根据的值进行分类讨论()f x '()()()11e 2x f x x a -'=--a 即可；（2）由有两个极值点，则的二阶导数有解，得出，由得出()g x ()g x 0a >()()120g x g x ''==，令，，则且121112e e 2x x a x x ---=-11e 1x m -=>21e 1x n -=>2ln ln m n a m n-=-（），得出，有，令（），()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x>()1,x ∀∈+∞11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭x =1m n >>，则，结合即可证1>ln ln m n m n -<-()21212ln 21x x a x x <++-()()1211ln 22x x a -+-<明．【详解】（1），()()()()()111e 211e 2x x f x x a x x a --'=---=--①当，即时，， 20a -≥0a ≤1e 20x a -->令，得，()0f x '=1x =当时，，单调递减；(),1x ∈-∞()0f x '<()f x 当时，，单调递增，故有唯一的极小值点1； ()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()f x ②当，即时，令，则，， 20a -<0a >()0f x '=11x =()2ln 21x a =+（ⅰ）当时，，则，在上单调递增，此时无极值点； 12a =()ln 211a +=()0f x '≥()f x R ()f x （ⅱ）当时，， 102a <<()ln 211a +<当时，，单调递增， ()(),ln 21x a ∈-∞+()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()()ln 21,1x a ∈+()0f x '<()f x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 从而有两个极值点，极大值点为，极小值点为1； ()f x ()ln 21a +（ⅲ）当时，， 12a >()ln 211a +>当时，，单调递增； (),1x ∈-∞()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()()1,ln 21x a ∈+()0f x '<()f x 当时，，单调递增，()()ln 21,x a ∈++∞()0f x ¢>()f x 从而有两个极值点，极大值点为1，极小值点为； ()f x ()ln 21a +综上所述，当时，有唯一的极小值点1； 0a ≤()f x 当时，有两个极值点，极大值点为，极小值点为1； 102a <<()f x ()ln 21a +当时，无极值点； 12a =()f x 当时，有两个极值点，极大值点为1，极小值点为． 12a >()f x ()ln 21a +（2）不妨设，12x x >由题得， ()()()()2113e e 1x x g x f x x a x --=+-=--则，设，则，()()1e21x g x a x -'=--()1()e 21x h x a x -=--1()e 2x h x a -'=-由，为函数的两个极值点可知， 1x 2x ()g x ()()120g x g x ''==则在上不单调，则有解，故，则， ()g x 'R ()0h x '=20a -<0a >由，得，()111e21x a x -=-()212e 21x a x -=-()121112e e 2x x a x x ---=-所以．121112e e 2x x a x x ---=-因为，， e 0x >0a >所以，， 110x ->210x ->令，，11e 1x m -=>21e 1x n -=>则，，， 11ln x m -=21ln x n -=1m n >>故，且2ln ln m na m n-=-ln ln 2ee m n+=<==令（），()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x >则， ()()2222211112110222x x x m x x x x x ---+-⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭则在上单调递减，，()m x ()1,+∞()()10m x m <=即对，有，()1,x ∀∈+∞11ln 2xx x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令（，x =1m n>>1>则，12<ln ln m nm n-<-所以，2ln ln m na m n-<<=-则，即， ()()()21211ln 2x x a --<()21212ln 21x x a x x <++-又，()()1211ln ln ln 222x x m n a -+-+==<所以，故．122ln 22x x a +<+()()212ln 21x x a <+【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用导数研究（）的单调性，()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x >由，再结合基本不等式，从而得出结论；本题考查了12<ln ln m nm n -<-利用导数研究函数单调性，基本不等式的应用，属于难题．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，直线，作直线l 的平行线()2,0F :2l x =-:l x a '=()2x >，动点P 满足到F 的距离与到直线的距离之和等于直线l 与之间的距离．记动点P 的轨迹为l 'l 'E ．(1)求E 的方程；(2)过作倾斜角互补的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且直线AB 的倾斜角()3,1Q ，求四边形ACBD 面积的最大值．ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1)； 28y x =(2).【分析】（1）过P 分别作直线l ，的垂线，垂足为M ，N ，可得，根据抛物线的定义l 'PF PM =即可求解；（2）设，，，由可得():13AN l x m y =-+()11,A x y ()22,B x y ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1m ≤≤,根据韦达定理可得，，由弦长公式可求，，根据()2813y xx m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩12y y +12y y AB CD，可得，11sin sin 22ACBD S QA CD QB CD θθ=+四边形ACBD S =四边形2m t =构造函数，利用导数即可求最大值.【详解】（1）过P 分别作直线l ，的垂线，垂足为M ，N ，则由题意可得l 'PF PN PM PN +=+，即，PF PM =则由抛物线的定义可知，动点P 的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， ()2,0F :2l x =-则有，，故E 的方程为． 22p=4p =28y x =（2）由题目条件过作倾斜角互补的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，()3,1Q可知直线AB ，CD 的斜率互为相反数．设，，，():13AB l x m y =-+()11,A x y ()22,B x y 由直线AB 的倾斜角，且直线AB 的斜率， ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1k m =可知，解得π1πtan tan 64m ≤≤1m ≤联立,消去x 可得， ()2813y x x m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩288240y my m -+-=则，，，()232230m m ∆=-+>128y y m +=12824yy m =-则AB===同理可得CD =记直线AB ，CD 的夹角为，θ则 11sinsin 22ACBD S QA CD QB CD θθ=+四边形， (21sin 1612AB CD m θθ⋅=+=又， 22222222sin cos 2tan 2sin sin 21sin cos tan 11121AB AB k m k m mm αααθαααα======+++++则 32ACBD S==四边形令，，则2m t =13t ≤≤ACBD S =四边形令，则，()324119f t t t t =++()212229f t t t '=++当时，，单调递增，13t ≤≤()0f t '>()f t 则，()maxACBD S ==四边形故四边形ACBD 面积的最大值为．【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12AB x x p =++22．在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极1C 11,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．2C 22223cos 4sin 12ρθρθ+=(1)求曲线的普通方程和曲线的参数方程；1C 2C (2)若Q 为曲线上一点，求点Q 到曲线距离的最大值．2C 1C 【答案】，（为参数）y -=2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ϕ【分析】（1）代入消元得到曲线的普通方程，利用，先得到曲线的平面直角坐标1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 方程，再化为参数方程；（2）设出点Q 的坐标，利用点的坐标表达出点Q 到曲线距离，利用三角函数求出最大值. 1C 【详解】（1）由曲线的参数方程可知，则，1C 112x t =-+22tx =+代入得曲线的普通方程为，y =1C )22y x =+，0y -=由，可知曲线的普通方程为， cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 223412x y +=即， 22143x y+=故曲线的参数方程为（为参数）． 2C 2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ϕ（2）由题可知，点Q 到曲线的距离1C d其中， 1tan 2β=当时，()cos 1ϕβ+=maxd =故点Q 到曲线． 1C 23．已知x ，y ，z 为正数，证明： (1)若，则； 2xyz =2221112x y z x y z ++++≤(2)若，则．229x y z ++=2229x y z ++≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式进行证明；（2）根据柯西不等式可以证明.【详解】（1）因为，所以， 2xyz =2222y z yz x +=≤同理可得，， 2222x z y +≤2222x y z +≤所以，故， 222222222222y z x z x y x y z +++++≤++2221112x y z x y z ++++≤当且仅当时等号成立．x y z ==（2）， ()()()2222222222112122299x y z x y z x y z ++=++++≥++因为，所以，当且仅当时等号成立． 229x y z ++=2229x y z ++≥2x y z ==。
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江西省南昌市-第一学期高三四校联考数学试题（理科）考试时间：150分钟 试卷总分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求） 1．含有三个实数的集合可表示为{a,ab,1}，也可表示为{a 2,a+b,0}，则a 2007+b 2007的值为（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．±12．下列判断错误．．的是（ ）A ．命题“若q 则p ”与“若┐p 则┐q ”是互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充分必要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．“命题⊂≠∅{1,2}或4∉{2，3}”为真3．已知a,b,c 是空间三条直线，α、β是两个平面，则下列命题中不正确．．．的是 （ ）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a ⊂αB ．若a ⊥α，b ⊥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ∥b ，α∥β，则a 与α所成的角等于b 与β所成的角D ．若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c4．平面向量a =(x ，y)，b =(x 2，y 2)，c =(1，1)，d =(2，2)，若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a 有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．多于2个 D ．不存在 5．在等差数列{a n }中，3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24，则此数列的前13项之和为 （ ） A ．156 B ．13 C ．12 D ．26 6．有下列命题①++=0；②（a +b ）·c =a ·c +b ·c ；③若a =（m,4），则 |a |=23的充要条件是m=7；④若的起点为A(2,1)，终点为B(－2,4)，则与x 轴正向所夹角的余弦值是4/5，其中正确命题 的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④7．已知f(x)=2cos(ωx+ϕ)+b 对于任意实数x 有f(x+4π)=f （-x ）成立，且1)8(-=πf ，则实数b 的值为（ ）A ． 1±B ． 3±C ． 1-或3D ． 3-或18．设a,b,x,y 均为正数，且a 、b 为常数，x 、y 为变 量，若x+y=1，则by ax +的最大值为（ ）A ．2b a + B ． 21++b aC ．b a +D ． 2)(2b a +9．设定义域为R 的函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-时）当时当1( 1)1( |1|1x x x ，若关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c =0有三个不同的实数解x 1．x 2．x 3，则332221x x x ++等于（ ）A ．5B ．2222b b + C ．13D ．2223c c + 10．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，222dc b a =+，且cotC=1003(cotA+cotB)，则常数d 的值为 （ ） A ．2004 B ．2005 C ．2006 D ．200711．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及其内部一动点P ，集合Q={P||PA|≤1}，则集合Q构成的几何体的表面积为 （ ）A ．45πB ．4πC ．2πD ．π12．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 上任一点，E 是边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设21,,,132321=-+===λλλλλλ且DE DF AC AE AB AD 记△BDF 的面积为S ＝f(321,,λλλ)，则S 的最大值是（ ）A ． 21B ． 31C ． 41D ． 81二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知a ∥b ，a =（2，3），b =（-4，m ），又｜c ｜=5，c 与a 的夹角为60°，则（a +b ）·c的值为 。
14．对于实数x 、y ，定义新运算x *y=ax+by+1，其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若3*5＝15，4*7＝28，则1*1＝ 。
15．已知实数x ，y 满足2x+y ≥1，则y x y x a 2422-++=的最小值为 。
16．已知直线l ⊥平面α，直线⊂m 平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β，其中正确命题的序号是 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知关于x 的不等式b ax x +>的解是4<x<36，求a ，b 。
18．（12分）已知5||=, 8||=AB , 115=, 0=⋅AB CD 。
（1）求||AC AB -；（2）设∠BAC ＝θ，且已知cos(θ+x)＝54，4ππ-<<-x ，求sinx19．（12分）已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点。
（1）证明：面PAD ⊥面PCD （2）求AC 与PB 所成的角（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小20．（12分）已知函数b ax cx x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式23)(0≤≤x f 的解集是]1,2[--∪]4,2[（1）求a,b,c 。
（2）是否存在实数m 使不等式23)sin 2(2+≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
21．（12分）已知函数e dx cx bx ax x f ++++=234)(为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且x=1处的切线方程为2x+y -2=0。
（1）求函数)(x f 的表达式；（2）若对任意x ∈R ，不等式)(x f ≤)1(2+x t 都成立，求实数t 的取值范围。
22．（14分）已知函数)(x f 满足2)(x f +xx x f 36)1(+=，对x ≠0恒成立，在数列{a n }、{b n }中，a 1=1，b 1=1，对任意x ∈N +，3)(2)(1+=+n n n a f a f a ，n n n a b b 11=-+。
（1）求函数)(x f 解析式；（2）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（3）若对任意实数]1,0[∈λ,总存在自然数k ,当n ≥k 时,)1(31nn a f b λ-≥恒成立，求k 的最小值。
江西省南昌市2007-2008学年第一学期高三四校联考数学试题（理科）参考答案13．1325- 14．11- 15．59- 16．①③三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明过程或演算步骤） 17．解：，必须有意义，所以0≥x x 设t x =，则原不等式变为：02<+-b t t a ，其解的范围是2< t <6。
……6分 由 2+6＝ 2×6＝a b……8分解得23,81==b a ……12分18．解：（1）由已知DB AD DB DA DB AB 1116=+=-=∴,211||,25||165|,165115,1611======∵0=⋅ ∴CD ⊥AB ，在Rt △BCD 中BC 2=BD 2+CD 2,又CD 2=AC 2－AD 2, 所以BC 2=BD 2+AC 2－AD 2=49， ……4分所以7|||==- ……6分（2）在△ABC 中，21cos =∠BAC ∴3πθ= ……8分54)3cos(cos =+=+x x πθ）（ 533sin ±=+）（x π而12332,4πππππ<+<--<<-x x如果1230ππ<+<x ，则53216sin12sin)3sin(<<<<+πππx ∴53)3sin(-=+x π……10分10343]3)3sin[(sin +-=-+=ππx x ……12分a 1--19．解法Ⅰ（1）∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得CD ⊥PD ．……1分因而，CD 与面PAD 内 两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD ． ……2分又 CD ⊂面PCD ∴面 PAD ⊥面 PCD ……3分（2）过点B 作BE ∥CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是 AC 与PB 所成的角。
……4分连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2,又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形。
……5分 由PA ⊥面ABCD 得∠PBE ＝90°， 在Rt △PEB 中，52==PB BE ， ∴510cos ==∠PB BE PBE ……6分∴AC 与PB 所成的角为arccos 510……7分 （3）作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN ，在Rt △PAB 中，AM=MB, 又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC ，∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角。
………9分 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ，在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以2521===PB AM CM 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC ＝AC AC CM ⋅-222）（∴AN=……10分 又AB ＝2，∴322cos 222-=⨯⨯-+=∠BN AN AB BN AN ANB ,故所求的二面角为)32arccos(-……12分 解法Ⅱ因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点建立右图所示空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0), D(1,0,0), P(0,0,1), M(0,1,21) ……1分（1）因),1,0,0(=AP ),0,1,0(=DC 故0=⋅DC AP ,所以AP ⊥DC 。
由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD, 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ……3分 （2）因),0,1,1(=AC ),1,2,0(-=PB 故,2||=AC ,5||=PB ,2=⋅PB AC5625223=⨯所以.510cos =>=⋅<PB AC ∴AC 与PB 所成的角为arccos 510……7分（3）在MC 上取一点N(x,y,z )，使AN ⊥MC,设,λ= 其中R ∈λ，∵),,1,1(z y x NC ---= ),21,0,1(-=MC∴λλ21,1,1==-=z y x∵AN ⊥MC, ∴,021,0=-=⋅z x 即即,021211=⋅--λλ解得54=λ……8分所以点N 的坐标为（52,1,51），)52,1,51(=, )52,1,51(-=∴,0=⋅ ∴BN ⊥MC ． 所以∠ANB 为所求二面角的平面角。