课时跟踪检测(十八) 对数函数及其性质的应用

课时跟踪检测（十八） 对数函数及其性质的应用
层级一 学业水平达标
1．下列各式中错误的是( )
A ．30.8>30.7
B ．log 0.50.4>log 0.50.6
C ．0.75－0.1<0.750.1
D ．lg 1.6>lg 1.4 解析：选C 由指数函数的性质可知，函数y ＝0.75x 为单调递减函数，又因为－0.1<0.1，所以0.75－0.1>0.750.1.
2．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( )
A ．(－∞，7]
B ．(2,7]
C ．[7，＋∞)
D ．(2，＋∞)
解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.
3．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12
，则a ＝( ) A.2
B ．2
C ．22
D ．4
解析：选D 因为a >1，所以f (x )＝log a x 在[a,2a ]上是增函数．所以log a (2a )－log a a ＝12
， 即log a 2＝12
，所以a 21
＝2，解得a ＝4. 4．函数f (x )＝|log 21x |的单调递增区间是( )
A.⎝⎛⎦
⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞)
解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
5．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．b ＜c ＜a
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a .
6．比较大小：
(1)log 22______log 23；
(2)log 3π______log π3.
解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3.
(2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1.
同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3.
答案：(1)＞ (2)＞
7．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．
解析：因为y ＝log 5x 与y ＝2x ＋1均为增函数，故函数f (x )＝log 5(2x ＋1)是其定义域上
的增函数，所以函数f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭
⎫－12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭
⎫－12，＋∞ 8．设f (x )＝lg x ，若f (1－a )－f (a )>0，则实数a 的取值范围为________． 解析：f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1－a )－f (a )>0，
所以1－a >a >0，所以a ∈⎝⎛⎭
⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭
⎫0，12 9．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，
因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，
所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3＞0，x ＞0，
2x －3＞x ⇒x ＞3，
所以原不等式的解集为(3，＋∞)．
10．求函数y ＝log 2
1 (1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．
解：要使y ＝log 2
1 (1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，
∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．
令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．
当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 2
1t 减小，
∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 2
1 (1－x 2)是减函数；
同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 2
1 (1－x 2)是增函数．
故函数y ＝log 21 (1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 2
1 (1－02)＝0.
层级二 应试能力达标
1．已知log 21m ＜log 2
1n ＜0，则( )
A ．n ＜m ＜1
B ．m ＜n ＜1
C ．1＜m ＜n
D ．1＜n ＜m
解析：选D 因为0＜12＜1，log 21m ＜log 2
1n ＜0， 所以m ＞n ＞1，故选D.
2．已知a ＝log 23.4，b ＝log 43.6，c ＝log 30.3，则( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．a >c >b
D ．c >a >b
解析：选A 因为a ＝log 23.4>1,0<b ＝log 43.6<1，c ＝log 30.3<0，所以a >b >c ，故选A.
3．函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＋1＋x ＝ lg 1(x 2＋1)－x 2
＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 4．若函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－1,0)上有f (x )>0，则f (x )( )
A ．在(－∞，0)上是增函数
B ．在(－∞，0)上是减函数
C ．在(－∞，－1)上是增函数
D ．在(－∞，－1)上是减函数
解析：选C 当－1<x <0时，0<x ＋1<1.
∵log a |x ＋1|>0，∴0<a <1，
∴函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减．
5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. 答案：(2，＋∞)
6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式
f (lo
g 8
1x )＞0的解集为________________．
解析：∵f (x )是R 上的偶函数，
∴它的图象关于y 轴对称．
∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，
∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，
做出函数图象如图所示．
由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭
⎫－13＝0. ∴f (log 81x )＞0⇒log 81x ＜－13或log 8
1x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭
⎫0，12∪(2，＋∞) 7．已知函数y ＝f (x )的图象与g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称，且g (x )的图象过点(9,2)．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若f (3x －1)>f (－x ＋5)成立，求x 的取值范围．
解：(1)∵g (9)＝log a 9＝2，解得a ＝3，∴g (x )＝log 3x .
∵函数y ＝f (x )的图象与g (x )＝log 3x 的图象关于x 轴对称，
∴f (x )＝log 3
1x .
(2)∵f (3x －1)>f (－x ＋5)，
∴log 31 (3x －1)>log 3
1 (－x ＋5)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1>0，－x ＋5>0，
3x －1<－x ＋5，
解得13<x <32
，即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，32
.
8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1.
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．
解：(1)要使函数有意义，则有⎩
⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，
x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4， 即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4， 所以a ＝4
14-＝22.。