仿射变换理论及其在几何中的应用

欧式几何就是研究正交变换下图形的不变性质与不变量，因此在初等平面几何中都是讨论图形的那些与距离，角度，面积，等有关的性质，如三角形全等，平行，垂直等.但是图形的各种变形中,保持任意两点之间的距离不变的变换是十分特殊.例如,图形的放大,物体在阳光照射下变成它们的影子等,都不具有这种性质,即都不是正交变换.因此,我们考虑较正交变换广泛一点的点变换,即仿射变换.本文讨论了仿射变换的概念及其性质，同时给出了其在几何中的应用.
(1)三角形两边中点的连线平行于第三边且它的长等于第三边的一半.
(2)任意平行四边形对角线互相平分.
(3)任意三角线的重心（三条中线的交点）
性质5[1]两个三角形面积的比是仿射不变量.
证 设在直角坐标系下,已知不共线三点
则 的面积 为
的绝对值.
经仿射变换(1.05)后 为 则
的面积
=
=
同理,
另一个三角形 与其三角形 的面积的关系.
1平面上的仿射坐标系与仿射变换
我们引进仿射坐标系：在平面上任取一点 及两个不共线的向量
(不一定是单位向量，且 不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系
如图1
对于平面上任一点 ，则向量 可唯一地表示为
数组 称为关于仿射坐标系 的仿射坐标.
定理1.0 在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程
故
推论1 两个平行四边形面积之比是仿射不变量.
推论2 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
例1 求椭圆的面积(图4).
方法一:解 在直线坐标系下,
椭圆
经仿射变换 (1.13)
变为圆
如图4,椭圆内 经(1.13)对应为 ,其中 , , , 从而
即
于是,椭圆的面积为
方法二[2]:解 化椭圆为参数方程
求得椭圆所围面积为
例2 试证明梅内劳斯(Menelaus)定理[3]:在 的三边或 其延长线上分别取三点 则 共线的充要条件是
(1.14)
证以 为原点 为坐标向量建立仿射坐标系如图五
若令 则根据定比分点公式,有关点的坐标为
,
共线的充要条件是 ,而
所以 的充要条件是
化简得 ,(1.14)式成立.
古希腊亚历山大里亚的数学家、天文学家梅内劳斯(公元98年左右),在其幸运的保留下来的三卷≤球面几何≥( )[4]中提出了着个定理.
(1.07)
由于 不全为零且 ,
故 和 不全为零.
因此（1.07）是 关于的一次方程, 从而它表示一直线，及即仿射变换将直线变为直线.
性质2 两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条平行直线
证 已知两条平行直线： 其中
经过仿射变换 （1.06）后, 分别变为
令
于是
且 （否则 ）这说明）（1.08）,(1.09)表示的直线平行.
注 两直线平行是仿射变换的不变性质.如
1）任何一个仿射变换将平面仿射作标系变为另一个仿射坐标;
2）任何一个变换将平行四边形变为平行四边形;
3）任何一个仿射变换将梯形变为梯形;
4）任何一个仿射变换将等腰三角形变为三角形;
通常我们把经过仿射变换可以相互转换的图形为仿射等价的图形.
例如圆与椭圆是仿射等价的.
性质4两平行线段的比是仿射不变量.
证 设线段 ,
经仿射变换后,其对应线段 和 也平行,
现在要证
连接 ,作 交于 (图3),
由于仿射变换保持平行性和结合性(将共线点变为共线点),
所以 的对应点 在 上,且 ,
由于仿射变换保持共线三点的单比不变,
有
即
又
故
至此,一些主要涉及平行线,线段中点及平行线段的比等几何性质,都是仿射不变性质,例如
注1）正交变换是仿射变换的特例.
2)仿射变换的几何意义就是平面到自身的平行影源自文库.
2仿射变换的基本性质
定义1.2 图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）.
性质1仿射变换将直线变为直线.
证明 有仿射变换的代数表示式（1.05），其逆变换为
（1.06）其中 .
设有直线
仿射变换（1.06）下,有
仿射变换理论及其在几何中的应用
仿射变换理论在几何中地位非常重要,它比正交变换解决的问题范围更广.本文中我们将看到仿射坐标系,在仿射坐标系中我们了解仿射变换和仿射变换的基本性质,例如包括仿射变换将直线变为直线，将平行的两条直线变为平行的两直线。本文中还介绍单比，利用它证明了梅内劳斯(Menelaus)定理。后来本文介绍了仿射不变性质，例如两个三角形面积的比是仿射不变量。最后本文介绍了利用本文的有关性质解决一些问题。这样使得读者更好的了解这篇文章。
(1.12)
性质3 任何一个仿射变换保持共线三点的单比不变.
证 在仿射坐标系下, 是一条直线上的三点,它们在仿射变换(1.05)下的像为 ,由于仿射变换将共线点变为共线点,因此 是另一条直线上的三点,
又
因此
所以
定义1.4平面内一点变换，如果满足下列条件：
(1)任何共线点的像仍是共线点.
(2)任何共线三点的单比不变.
例3[5]设点 是线段 上的一点 的坐标分别是
(1)当点 是线段 的中点时 求点 的坐标
(2)当点 是线段 的一个三等分点时 求点 的坐标
解:(1)如图6 由向量的线性运算可知
所以
点 的坐标是
(2)当点 是线段 的一个等三分点时有两种情况
（1.00）
反之也真.
证明 在直线上任取两点 对于直线上任一点 有 ,
即
,
或
这是关于 的一次方程.
反之，在（1.00）上取 及 的坐标适合方程，
即
(1.02)
(1.03)
只要证明任一坐标适合方程的点 一定与 共线即可，由于
(1.04)
因 不全为零，（1.02），（1.03），（1.04）可理解为关于 ,的齐次线性方程组，由于 不全为零，所以
下面引入仿射变换基本不变量:单比（仿射比）
定义1.3 设 是有向直线的两个顶点, 是这有向直线的另一点, 分有向线段 为两个有向线段 和 ,则其代数长的比 叫做共线三点 的单比，记为 ,
即 （1.10）
特别当 为 的中点时, .
设 是一条直线上的三点,其中 为 的仿射坐标(图2),则
.(1.11)
同理
,
即 共线.
定义1.1在平面上点之间的一个线性变换
（1.05）
叫做仿射变换，其中 分别是 的仿射坐标.
从仿射变换的代数表示可知平面内不共线的三对对应点（原像不共线，像也不共线）唯一决定一个仿射变换，称为仿射几何的基本定理.
例1 有公式所确定的变换表示分别沿轴与轴两个压缩变换的乘积，显然是一个仿射变换.