西安区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

西安区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）
A ．20种
B ．22种
C ．24种
D ．36种
2． 已知直线l ：2y kx =+过椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆
224x y +=截得的弦长为L
，若L ≥e 的取值范围是（ ） （A ） ⎥⎦
⎤ ⎝⎛550， （ B ）
0⎛ ⎝⎦ （C ） ⎥⎦⎤
⎝⎛5530， （D ） ⎥⎦⎤
⎝
⎛5540， 3． 观察下列各式：a+b=1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10=（ ）
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
4． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ） A ．增函数且最小值为3
B ．增函数且最大值为3
C ．减函数且最小值为﹣3
D ．减函数且最大值为﹣3
5．
已知双曲线
﹣
=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
（ ） A
．
B
．
C ．3
D ．5
6． 设数集M={x|m ≤x ≤
m+}，N={x|n
﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
7． 下列推断错误的是（ ）
A ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1则x 2﹣3x+2≠0”
B ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0，则非p ：任意x ∈R ，都有x 2+x+1≥0
C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题
D ．“x ＜1”是“x 2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
8． 下列式子表示正确的是（ ）
A 、{}00,2,3⊆
B 、{}{}22,3∈
C 、{}1,2φ∈
D 、{}0φ⊆ 9． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=x ﹣1
B ．y=lnx
C ．y=x 3
D ．y=|x|
10．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．己知y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x+2，那么不等式2f （x ）﹣1＜0的解集是（ ）
A ．
B ．或
C ．
D ．
或
12．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x ≤1时，f （x ）=2x ，则f （2015）=（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．﹣
D ．
二、填空题
13．S n =
+
+…+
= ．
14．设某双曲线与椭圆
136
272
2=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .
15．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．
16．已知,x y 满足41
y x
x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则222
23y xy x x -+的取值范围为____________. 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ．
18．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，若在平行四边形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率是 ．
三、解答题
19．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求()h x 的表达式；
（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
20．已知p ：，q ：x 2﹣（a 2+1）x+a 2
＜0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
21．已知函数y=f （x ）的图象与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）若f （x ﹣1）＞f （5﹣x ），求x 的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知()()2,1,0,2A B 且过点()1,1P -的直线与线段AB 有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.
23．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中点，．
求证：PC ⊥BC ；
（Ⅱ）求三棱锥C ﹣DEG 的体积；
（Ⅲ）AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ．若存在，求AM 的长；否则，说明理由．
24．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．
（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；
（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
西安区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，
共有=12种推荐方法； ②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，
共有
=12种推荐方法；
故共有12+12=24种推荐方法； 故选：C ．
2． 【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.b kc ==
设圆心到直线l 的距离为d ，则L =≥
解得216
5d ≤。

又因为
d =2116,15k ≤+解得2
14k ≥。

于是222
222211c c e a b c k ===++，所以
2
40,5e <≤解得0e <≤故选B ． 3． 【答案】C
【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项
的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a 10+b 10
=123，．
故选C ．
4． 【答案】D
【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f （x ）在区间上是减函数，且最小值3， 则那么f （x ）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3， 故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．
5． 【答案】A
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．
6．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
7．【答案】C
【解析】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；
对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；
对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；
对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．
综上所述，错误的选项为：C，
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．
8．【答案】D
【解析】
试题分析：空集是任意集合的子集。

故选D。

考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。

9．【答案】D
【解析】解：选项A：y=在（0，+∞）上单调递减，不正确；
选项B：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；
选项C：记f（x）=x3，∵f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，又∵y=x3区间（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；
选项D：记f（x）=|x|，∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|，∴f（x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确．
故选D
10．【答案】A
【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，
得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）
∴该双曲线的离心率是e==．
故选A．
【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：因为y=f（x）为奇函数，所以当x＞0时，﹣x＜0，
根据题意得：f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x+2，即f（x）=x﹣2，
当x＜0时，f（x）=x+2，
代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x＜﹣3，
解得x＜﹣，则原不等式的解集为x＜﹣；
当x≥0时，f（x）=x﹣2，
代入所求的不等式得：2（x﹣2）﹣1＜0，即2x＜5，
解得x＜，则原不等式的解集为0≤x＜，
综上，所求不等式的解集为{x|x ＜﹣或0≤x ＜}．
故选B
12．【答案】B
【解析】解：因为f （x+3）=f （x ），函数f （x ）的周期是3， 所以f （2015）=f （3×672﹣1）=f （﹣1）；
又因为函数f （x ）是定义R 上的奇函数，当0＜x ≤1时，f （x ）=2x
，
所以f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2，
即f （2015）=﹣2． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f （2015）=f （3×672﹣1）=f （﹣1）．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵ ==（
﹣
），
∴S n =
+
+…+
= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣
）
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
14．【答案】15
42
2=-x y 【解析】
试题分析：由题意可知椭圆
136
272
2=+y x 的焦点在y 轴上，且927362=-=c ，故焦点坐标为()3,0±由双曲线的定义可得()()
()()
4340153401522
2
2
2
=++--
-+-=
a ,故2=a ，5492=-=
b ，故所求双
曲线的标准方程为15422=-x y ．故答案为：15
42
2=-x y ．
考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
15．【答案】0.9
【解析】解：由题意，=0.9，
故答案为：0.9
16．【答案】[]
2,6
【解析】
考点：简单的线性规划．
【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数
的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1表示点
(),x y与原点()
0,0的距离；（2(),x y与点(),a b间的距离；（3）y
x
可表示点
(),x y与()
0,0点连线的斜率；（4）y b
x a
-
-
表示点(),x y与点(),a b连线的斜率.
17．【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，
∴数列{a n }是以1为首项，以为公比的等比数列，
S n =
=2﹣（）n ﹣1，
对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2
+tx+1＞S n 恒成立， ∴x 2
+tx+1≥2，
x 2+tx ﹣1≥0， 令f （t ）=tx+x 2
﹣1，
∴，
解得：x ≥
或x ≤
，
∴实数x 的取值范围（﹣∞，]∪[
，+∞）．
18．【答案】
．
【解析】解：由题意△ABE 的面积是平行四边形ABCD 的一半， 由几何概型的计算方法，
可以得出所求事件的概率为P=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】（1） ()()2
10473h x x x =
+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈
试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13
k f x x =-，()()2
27g x k x =-，12.00k k ≠≠，，
则()()()()2
1273
k h x f x g x k x x =+=
+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 所以，()()521, 3.569h h ==，即1
2124212
49269
4
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分
所以，()()2
10473
h x x x =
+-- （37x <<） ………………………………………8分 （2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()2
10473
h x x x =
+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分
考点：利用导数求函数最值
20．【答案】
【解析】解：由p：⇒﹣1≤x＜2，
方程x2﹣（a2+1）x+a2=0的两个根为x=1或x=a2，
若|a|＞1，则q：1＜x＜a2，此时应满足a2
≤2，解得1＜|a|≤，
当|a|=1，q：x∈∅，满足条件，
当|a|＜1，则q：a2＜x＜1，此时应满足|a|＜1，
综上﹣．
【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2），
∴log a4=2，a=2，则g（x）=log2x．…
∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，
∴．… （Ⅱ）∵f （x ﹣1）＞f （5﹣x ），
∴
，
即，解得1＜x ＜3， 所以x 的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．
22．【答案】3k ≤-或2k ≥. 【解析】
试题分析：根据两点的斜率公式，求得2PA k =，3PB k =-，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围.
试题解析：由已知，11212PA k --=
=-，12
310
PB k --==-- 所以，由图可知，过点()1,1P -的直线与线段AB 有公共点,
所以直线的斜率的取值范围是:3k ≤-或2k ≥.
考点：直线的斜率公式.
23．【答案】
【解析】解：（I ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， 又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PDICE=D ， ∴BC ⊥平面PCD ，又∵PC ⊂面PBC ，∴PC ⊥BC ． （II ）解：∵BC ⊥平面PCD ，
∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．
∵E是PC的中点，∴．
∴．
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．
下面证明之：
∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，
又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，
在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，
∴，∴所求AM的长为．
【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的1%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励，
∴0＜x≤8时，y=0.15x；x＞8时，y=1.2+log5（2x﹣15）
∴奖金y关于销售利润x的关系式y=
（2）由题意知1.2+log5（2x﹣15）=3.2，解得x=20．
所以，小江的销售利润是20万元．
【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．。