2008高考解答题专题训练四 数列与不等式(文)参考答案

1．
（I ）解：设数列{n a }的公比为q ，由,512,852==a a 可得.512,84
11==q a q a
解得a 1=2，q=4.所以数列{n a }的通项公式为.421
-⨯=n n a …6分 （II ）解：由1
42-⨯=n n a ，得.12log 2-==n a b n n
所以数列{n b }是首项b 1=1，公差d =2的等差数列.故22
)
121(n n n S n =⨯-+=. 即数列{n b }的前n 项和S n =n 2. ……13分 2．
（I ）解：因为对任意正整数n , m ，当n ＞ m 时，m n m
m n S q S S -⋅=-总成立。

所以当n ≥2时：111S q S S n n n --=-，即1
1-⋅=n n q a a ，且1a 也适合，又n a ＞0，
故当n ≥2时：
q a a n n
=-1
（非零常数），即｛n a ｝是等比数列。

………5分 （II ）解：若1=q ，则111,,ka S ma S na S k m n ===。

所以
11211nka m nka k n S S k n =+=+≥m S ma a m m a k n m 222)2
(21121
2=
==⋅+。

………7分 若1≠q ，则q q a S n n --=1)1(1，q q a S m m --=1)1(1，q
q a S k k --=1)
1(1。

………8分
所以
k n S S 11+≥21
2
)1)(1()1(212a q q q S S k n k n ---=。

又因为k
n k
n
k
n
q
q q q q +++-=--)(1)1)(1(≤
22)1(2121m m m k n k n q q q q q -=+-=+-++
所以
k n S S 11+≥21
2
)1)(1()1(212a q q q S S k
n k n ---=≥m
m S a q q 2
)1()1(22
1
22=
⋅--。

综上可知：若正整数n , m , k 成等差数列，不等式
n S 1＋k S 1≥m
S 2总成立。

当且仅当k m n ==时取“＝”。

………13分 3．
（I ）解：设数列{}a n 的公差为d ，则,1532)(9919=+=a a S ∴.1532295
=⨯a
∴.
175=a
…………3分
⎩⎨⎧==∴⎩⎨
⎧=+==+=.3,5.
174,
811512d a d a a d a a
∴.23+=n a n （II ）解：.822
23232
)1(31===++++n n n n b b ……8分
∴数列}{n b 是首项为32,公比为8的等比数列．
（III ）解：n a a a a T n 2842++++=…n n
2)2842(3+++++=…
n n 22
1)21(23+--⨯=
+⋅=+123n 26n -．…13分
4．
（I ）解：当n ∈N*时，S n =2a n －2n ，① 则当n ≥2, n ∈N*时，S n －1=2a n －1－2(n －1). ② ①－②，得a n =2a n －2a n －1－2，即a n =2a n －1+2， ∴a n +2=2(a n －1+2) ∴
.22
2
1=++-n n a a
当n=1 时，S 1=2a 1－2，则a 1=2，当n=2时，a 2=6， ∴ {a n +2}是以a 1+2为首项，以2为公比的等比数列. ∴a n +2=4·2n －
1，∴a n =2n+1－2，………7分
（II ）解：由,2
1
2,12log )2(log 11
22+++=++==+=n n n n n n n a b n a b 得
则,2
12322132+++++=
n n n T ③
2132
1
22221++++++=n n n n n T ，④ ③－④，得
,2
34321212141212
11)211(4
1412
12121212221221221432+++++++-=+--+=+---+=++++++=n n n n n n n n n n n n T 12
3
23++-=
∴n n n T ………………………14分 5．
（I ）解：当n =1时，211==S a 当n >1时，11+=-=-n S S a n n n ，
综上，数列}{n a 的通项公式是*)(1N n n a n ∈+= （II ）解：n
n n b 31363
12)
1(2⨯
=⨯=+-， 3
1
,12}{,31,
1211为首项是以数列n n n b b b b ∴==+为公比的等比数列 ).311(183
11]
)31(1[12n n n T -=--=∴
由此可知12.18<≤n T 而{n S }是一个递增数列， 且S 1=2，T 1=12，S 2=5，T 2=16，S 3=9，T 3=17
32，S 4=14，T 4=17
.20,81
80
5=S 故存在一个最小正整数M=4，当n>M 时，Sn>Tn 恒成立. 6．
（I ）解：设等差数列}{n a 的公差为d ，则
,601561=+d a …………2分 2,51==d a 解得由 …………3分 32+=∴n a n .
…………5分
)4(2
)
325(+=++=
n n n n S n …………6分
（II ）解：由).,2(,
111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n
,
3).2(3)41)(1()(()()(,
2111211
12211也适合对时当=+=++--=++++=+-++-+-=≥-----b n n n n b a a a b b b b b b b b n n n n n n n n )
)(2(*∈+=∴N n n n b n
…………8分
).2
11(21)2(11+-=+=∴
n n n n b n …………10分
)2
11123(21)2114121311(21--+-=+-++-+-=n n n n T n L
)
2)(1(4532+++=n n n n …………13分
7． （I ）解：
142(1,2,3)n n S a n +=-=，
21426S a ∴=-=2214a S a ∴=-=.
同理可得38a =. 3分 （II ）解：
142(1,2,3)n n S a n +=-=,142(2)n n S a n -∴=-…. 4分
两式相减得：1144n n n a a a +-=- 5分 变形得：1112242(2)n n n n n n a a a a a a +---=-=-
则：11222(2)n n n n a a a a ----=-
23112233422(2)2(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a --------=-=-=-=⋅⋅⋅=2
212(2)n a a --
2120a a -= ∴212122(2)0n n n a a a a ---=-=.
数列}2{1--n n a a 是常数列. 9分 （III ）由（II ）可知：12n n a a -=(2)n …. 数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列.
∴2n n a =， 10分
∴
111211211
11212222n n n n n n a a ++---==⋅<---. 12分 12231111111 (1112222)
n n a a a n
a a a +---+++<+++=---. 8．
（I ）解：由121+=+n n S S λ得
12412,121212223112++=+=+=+=+=λλλλλλS S a S S
.1,0,4,432233=∴>==-=∴λλλa S S a
（II ）解：由)1(211211+=++=++n n n n S S S S 整理得， ∴数列{1+n S }是以S 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
),
2(2
,12,2211
11≥=-=∴-=∴⋅=+∴---n S S a S S n n n n n n n n
当n=1时a 1=1满足.2,211--=∴=n n n n a a …10分
（III ）
,22)1(23222112210--⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ①
n n n n n n n T 22)1(2)2(22212122⋅+⋅-+⋅-++⋅+⋅=-- ，②
n n n n n T 222221122⋅-+++++=--- ， ①－②
则122+-⋅=n
n n n T .………………14分
9．
（I ）证明：由2n n b a n =++，
则11122112222
n n n n n n b a n a n n b a n a n ++++++++++===++++.
所以数列{}n b 是以11124b a =++=为首项，公比为2的等比数列.………4分 （II ）解：由（I ）得11422n n n
b -+=?.
则1
22n n a n +=--.……………………7分
所以12n n S a a a =+++L
231222(342)n n +=+++-++++L L
22(21)(5)212n n n -+=--225242
n n n ++=--. ………………………8分
（III ）解：当1n =时，11a =，2
(12)9+=，则19a <；当2n =时，
24a =，2
(22)16+=，则216a <；当3n = 时，311a =，2
(32)25+=，则325a <；当4n = 时，426a =，
2(42)36+=，则436a <；当5n = 时，557a =，2(52)49+=，则549a >；10分
当5n ≥时，要证
()()2
2
112222225 6.n n n a n n n n n ++>+⇔-->+⇔>++
而()1012
10123
11111111
22n n n
n n n n n n n C C C C C C C C ++++++++++=+++
+≥+++ ()()()()
()()()()()()22
1122116
221111656325 6.
n n n n n n n n n n n n n n n n n n -⋅⋅+=+++++
≥+++++-⋅+≥=+++-->++⎡⎤⎣⎦
所以当5n ≥时，()2
2.n a n >+…………13分 因此当14n
＃（n N *Î）时,2(2)n a n <+；
当5n ≥(n N *
Î)时，()2
2.n a n >+ ……14分
10．
（I ）解：由a 1＝2，a n ＋1＝
2a n
a n ＋1
得， 对n ∈N *，a n ≠0．从而由a n ＋1＝2a n a n ＋1两边取倒数得，1a n ＋1＝12＋12a n ．即1a n ＋1－1＝12(1
a n －1)，
∵a 1＝2，1a 1－1＝－1
2
．
∴数列{1a n －1}是首项为－12，公比为1
2的等比数列．
∴1a n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ．
∴1a n ＝1－12n ＝2n －12n ．∴a n ＝2n
2n －1
． 故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n
2n －1
．…………6分
（II ）证法一：∵a n ＝2n 2n －1，∴a i (a i －1)＝2i
(2i －1)2
(i ＝1，2，…，n ) ，
当i ≥2时，∵a i (a i －1)＝2i (2i －1)2＜2i (2i －1)(2i －2)＝2i －
1(2i －1)(2i －1
－1)＝12i －1－1－1
2i －1
， ……11分
∴∑n
i=1
a i (a i －1)＝a 1(a 1－1)＋a 2(a 2－1)＋...＋a n (a n －1)＝21(21－1)2＋22(22－1)2＋ (2)
(2n －1)2
＜21(21－1)2＋(121
－1－122－1)＋(122－1－123－1)＋…＋(12n －1－1－12n －1)＝2＋1－1
2n －1 ＝3－1
2n －1＜3．…………………………………14分
证法二：∵a n ＝2n
2n －1
，
∴a i (a i －1)＝2i
(2i －1)2
(i ＝1，2，…，n ) ，
当i ≥2时，∵a i (a i －1)＝2i (2i －1)2＜2i (2i －1－1)(2i +1
－1)＝23(12i －1－1－1
2i +1－1)，…………11分 ∴∑n
i=1
a i (a i －1)＝a 1(a 1－1)＋a 2(a 2－1)＋...＋a n (a n －1)＝21(21－1)2＋22(22－1)2＋ (2)
(2n －1)2
＜21(21－1)2＋23(122－1
－1－122+1－1)＋23(123－1－1－123+1－1)＋…＋23(12n －1－1－1
2n +1－1) ＝2＋23(1＋13－12n －1－12n +1－1)＜2＋8
9＜3．…………………………14分
（I ）解：因为等差数列{}n a 的各项均为整数，所以d ∈Z . 由2100a a ⋅>，得55(3)(5)0a d a d -+>，即(36)(56)0d d -+<，解得6
25
d -
<<. 注意到d ∈Z ，且0d ≠，所以1d =-， 或 1.d = （II ）解：由23=a ，65=a ，得53
253
a a d -=
=-，从而3(3)2(3)224n a a n d n n =+-=+-⨯=-， 故24t n t a n =-. 5分 由 ，，，
，，，t n n n a a a a a 2153成等比数列，得此等比数列的公比为5
3
3a a =，从而113323.t t t n a a ++=⋅=⋅由12423t t n +-=⋅，解得132t t n +=+， 123t =，
，，. （III ）解：由5336532a a a d --=
=
-， 得113313(3)(6)
(3)2
n n a a a n d a --=+-=+. 由 ，，，，，，t n n n a a a a a 2153成等比数列，得12
533
36
n a a a a ==
.由1333(3)(6)362n a a a --+
=，化简整理得13
12
5.n a =+ 因为15n >，从而30a >，
又1n ∈Z 且0d ≠， 从而3a 是12的非6的正约数， 3123412.a =，
，，， ………….. 10分 ① 当31a =或33a =时，35
42
a a a +=
∉Z ， 这与{}n a 的各项均为整数相矛盾， 所以，31a ≠且33a ≠.
② 当34a =时，由112
53 9n n a a a a =⋅⇒=，
但此时1
225
n n a a a =
∉Z ，这与{}n a 的各项均为整数相矛盾， 所以，34a ≠ …….. 12分
③ 当312a =时，同理可检验2n a ∉Z ，所以，
312a ≠. ………….. 13分
当23=a 时，由（Ⅱ）知符合题意. 综上，1n 的取值只能是
111
n =，即1n 的取值集合是{11}
（I ）解：
点(,)n n s 在函数2
()f x x x =+上，2n s n n ∴=+. ………1分
当2n ≥时，()2211(1)2n n n a s s
n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦
. 当1n =时，112,a s ==满足2n a n =.2()n a n n N *∴=∈.
（II ）解：因为2n a n =（*
n N ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地
分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 1006824801988b =+⨯=．又5b =22， 所以5100b b +=2010.………………8分 （III ）解：因为
111n n n a a a -=-，故12111111n n A a a
a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-
-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
， 所以12111111
n A a a a ⎛⎛⎫⎛⎫
=--- ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝ 又32A a a
<-
对一切*
n N ∈都成立，即 1211131112n a a a a a ⎛
⎛⎫⎛⎫---<- ⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝对一切*n N ∈都成立．…………9分 设12111()111n g n a a a ⎛⎛⎫⎛⎫
=-
-
- ⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
，则只需max
3
[()]2g n a a
<-
即可．由于
1(1)1211()22
n g n
n g n a n +⎛⎫++=-= ⎪+⎝
⎭1
=<，…10分 所以(1)()g n g n +<，故()g n 是单调递减，于是max [()](1)2
g n g ==
．……12分
32a a <-，即
0>
，解得0a <<
，或a > 综上所述，使得所给不等式对一切*
n N ∈都成立的实数a 存在，a
的取值范围是
((3,)+∞．……………… 14分
13．
（I ）解：∵ t S t tS n n =+--1)1(，)2(≥n
①
t S t tS n n =+---21)1(，)3(≥n ②
①－②，得0)1(1=+--n n a t ta .
∴
t
t a a n n 11+=-（*
N n ∈，3≥n ）.………4分 又由 t t a t =+-+)1()1(2， 得 t
t a 1
2+=． 又∵ 11=a ，∴
t
t a a 112+= ．………6分 所以}{n a 是一个首项为1，公比为t
t 1
+的等比数列. （II ）解：由)(t f t
t 1
+=
，得)1(1-=n n b f b 11-+=n b （),2*∈≥N n n ． ∴ }{n b 是一个首项为1，公差为1的等差数列．
于是n b n =. ………………………10分
（III ）解：由n b n =，可知}{12-n b 和}{2n b 是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，于是n b n 22=.
∴ 1
22212433221+--+-+-n n n n b b b b
b b b b b b )()()(12122534312+--++-+-=n n n b b b b b b b b b )(2242n b b b +++-= n n n
n 222
)22(22--=+⋅
-=. ……14分
14．
（I ）解： f(x)≤0的解集有且只有一个元素，∴0042
=⇒=-=∆a a a 或a=4 当a=4时， 44)(2+-=x x x f 在（0，2）上递减，故存在210x x <<使不等式
)()(21x f x f >成立。

当a=0时，函数2)(x x f =在（0，∞+）上递增。

故不存在210x x <<，使不等式)()(21x f x f >成立综上，得a=4，44)(2
+-=x x x f ………5分 （II ）解：由（1）可知当n=1时，111==S a ，当n 2≥时，521-=-=-n S S a n n n ⎩
⎨⎧≥-==∴25211n n n a n ………………9分 （III ）解：由题设⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-=25
24113n n n c n n 3≥时，0)32)(52(81>--=-+n n c c n n ∴n 3≥时，数列{n c }递增。

因为0314<-=c ，由105
24>--n 得n 5≥，可知 054<⋅c c ，即n 3≥时，有且只有1个变号数。

又因为3,5,3321-==-=c c c 即,0,03221<⋅<⋅c c c c 综上得数列{n c }的变号数为3………………14分
15．
（I ）解：由已知，可得()2f x ax b '=+，∴ 22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩解之得12a =.3分 （II ）解：∵1112n n n a a +=+，∴1112n n
n a a +-=. 由21
1121a a -=⨯321122a a -=⨯ 431123a a -=⨯ ()1
1121n n n a a --=- ， 累加得 2114n n n a -=- (2,3)n =. ∴2
1
1
(1)44(21)n n n a n -==-+(2,3)n =.
当 12414(21)n a n ===-时, ∴2
4(21)n a n =-(1,2,3)n =. （III ）当1k =时，由已知145a =<显然成立； 当2k …时，1
1111
(1)1(1)4k a k k k k
k k =<=----+（2k …） 则1231111114[(1)()()]552231k a a a a k k k
++++<+-+-++-=-<- 综上，1235k a a a a +++
+<(1,2,3)k =成立.
16． （I ）解：)2(123)1(2232,2511≥-=+-++-
=--=-n n n a a a n n ， ∴数列{}n a 是以2
5-为首项，-1为公差的等差数列， 2
)4(223225+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∴n n n n A n 。

…3分 （II ）解：由n A B n n 13124=-，得4
116412132n n A n B n n +-=+=。

)2(4
5124)1(11)1(64116221≥+-=-+-++-=-=∴-n n n n n n B B b n n n 。

而当1=n 时，4
174511211-=+⨯-==b B 。

4
512+-=∴n b n 。

…………………………6分 （III ）解：对任意3)16(25124,322,*-+-=--=--=∈n n b n a N n n n ，
所以X Y ⊂，即Y Y X = 。

1c 是Y X 中的最大数，171-=∴c 。

设等差数列{}n c 的公差为d ，则d c 91710+-=。

125917265-<+-<-d ，
129527-<<-∴d ，{}n b 4 是一个以-12为公差的等差数列，24),(12*-=∴∈-=∴d N m m d ，
)(247*N n n c n ∈-=∴。

…………………14分。