平面向量的内积坐标表示讲课讲稿
《平面向量的坐标表示》 讲义
《平面向量的坐标表示》讲义一、平面向量的基本概念在数学的世界里，平面向量是一个非常重要的概念。
我们先来了解一下什么是平面向量。
简单来说，平面向量是既有大小又有方向的量。
比如，一个力，它不仅有大小（比如 10 牛顿），还有方向（比如水平向右），这就是一个平面向量。
为了方便研究和计算，我们通常用有向线段来表示平面向量。
有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
二、平面向量的坐标表示接下来，咱们重点讲讲平面向量的坐标表示。
想象在一个平面直角坐标系中，有一个向量。
我们以这个平面直角坐标系的原点为起点，向量的终点坐标就可以用来表示这个向量。
比如说，有一个向量的终点坐标是（3, 4)，那么这个向量就可以用坐标（3, 4) 来表示。
那为什么要用坐标来表示向量呢？这是因为坐标表示能够让我们更方便地进行向量的运算和研究。
三、平面向量坐标表示的计算既然知道了平面向量可以用坐标表示，那怎么计算呢？假设我们有两个向量，向量 a 的坐标是（x1, y1)，向量 b 的坐标是（x2, y2)。
（一）加法运算它们的和，也就是向量 a ＋向量 b 的坐标就是（x1 ＋ x2, y1 ＋ y2)。
比如说，向量 a 是（1, 2)，向量 b 是（3, 4)，那么 a ＋ b 就是（1＋ 3, 2 ＋ 4) ＝（4, 6) 。
（二）减法运算向量 a 向量 b 的坐标就是（x1 x2, y1 y2)。
例如，向量 a 是（5, 6)，向量 b 是（2, 3)，那么 a b 就是（5 2, 6 3) ＝（3, 3) 。
（三）数乘运算如果有一个实数 k 乘以向量 a ，那么得到的新向量的坐标就是（kx1, ky1) 。
比如，向量 a 是（2, 3)，k ＝ 2，那么 k a 就是（2 2, 2 3) ＝（4,6) 。
四、平面向量坐标表示的应用平面向量的坐标表示在很多方面都有应用。
（一）解决几何问题比如证明平行四边形、判断三角形的形状等。
《平面向量及其应用——平面向量基本定理及坐标表示》数学教学PPT课件(5篇)
第六章 平面向量及其应用
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
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第六章 平面向量及其应用
若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
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第六章 平面向量及其应用
故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得2λ＋λ＋2μμ＝＝22，，
解得μλ＝＝2323，. 所以A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， 所以 AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
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第六章 平面向量及其应用
1．如图在矩形 ABCD 中，若B→C＝5e1，D→C＝3e2，则O→C＝( )
A.12(5e1＋3e2)
B.12(5e1－3e2)
C.12(3e2－5e1)
D.12(5e2－3e1)
解析：选 A.O→C＝12A→C＝12(B→C＋A→B)
＝12(B→C＋D→C)＝12(5e1＋3e2)．
栏目 导引
《平面向量的内积》课件
区别
内积结果是一个标量，而外积结果是一 个向量。
内积的结果与向量的顺序无关，而外积的结 果与向量的顺序有关。
内积满足交换律，即 $vec{u}cdotvec{v}=vec{v}cdotvec {u}$，而外积不满足交换律，即 $vec{u}timesvec{v}$与 $vec{v}timesvec{u}$是两个不同的 向量。
$vec{a} cdot vec{a} geq 0$ ，当且仅当$vec{a} = vec{0}$ 时取等号。
交换律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$。
分配律
$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (lambdavec{b})$，其中 $lambda$为标量。
积的绝对值。
特殊情况处理
当两个向量垂直时，它们的夹角为 $90^circ$，此时余弦值为$0$，因此 内积为$0$。
当两个向量共线时，它们的夹角为 $0^circ$或$180^circ$，此时余弦值 为$1$或$-1$，因此内积为 $|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$或 $-|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$。
cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$ 是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
平面向量的内积可以理解为两个向量在垂直方向上的投影长度之积。具体来说，如果将 其中一个向量投影到另一个向量的垂直平面上，则投影长度等于该向量与另一个向量内
(完整版)平面向量的内积教案.doc
平面向量的内积【教学目标】知识目标：（ 1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（ 2）了解平面向量内积的计算公式. 为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义, 培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积 . 其符号是由夹角决定；（ 2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：o（ 1）当 <a,b>＝ 0 时， a· b＝ |a||b|；当 <a,b>＝180时， a· b＝－ |a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（ 2） |a|＝ a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；a b（ 3） cos<a,b>＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（ 4）“ a· b＝ 0a b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时． (80 分钟)【教学过程】【新知识】 * 揭示课题7.3 平面向量的内积* 创设情境兴趣导入F30Os图 7—21如图 7－ 21 所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成30 角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？动脑思考探索新知我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－ 22 所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F x i + y j F sin 30o i F cos30o j ，即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W ＝｜ F｜ cos 30 ·｜ s｜＝ 100×33 （J）·10＝ 5002yF(x,y)jOi x这里，力 F 与位移 s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量 F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积， W 叫做向量 F 与向量 s 的内积 ,它是一个数量，又叫做数量积．uuur uuur如图 7－ 23，设有两个非零向量 a, b，作 OA ＝ a, OB ＝b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b 的夹角，AaO b B图 7－23记作 <a,b>．两个向量 a, b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a·b, 即a·b＝｜ a||b|cos<a,b>(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝ F · s.由内积的定义可知a· 0＝ 0, 0· a＝ 0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）（2）（3）o当 <a,b>＝ 0 时， a· b＝ |a||b|；当 <a,b>＝180时， a· b＝- |a||b|.a bcos<a,b>＝.当 b＝a 时，有 <a,a>＝ 0，所以 a· a＝ |a||a|＝ |a|2，即 |a|＝ a a .（ 4）当a, b90o时， a b，因此， a· b＝ a b cos90o0, 因此对非零向量a， b，有a· b＝ 0 a b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a· b＝b· a．（2） ( a )· b＝ (a· b)＝ a· ( b)．（3） (a＋ b)· c＝ a· c＋ b· c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（ a· b）· c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例 1 已知 |a|＝ 3,|b|＝ 2, <a,b>＝60 ,求 a· b．解 a· b＝ |a||b| cos<a,b> ＝3× 2× cos 60＝ 3．例 2 已知 |a|＝ |b|＝ 2 ,a· b＝ 2 ,求<a,b>．解cos<a,b>＝ab ＝ 22＝ -. | a ||b | 2 2 2由于0≤ <a,b>≤180，所以<a,b>＝ 135o． * 理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a, b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作a·b, 即a· b＝｜ a||b|cos<a, b> (7.10)a· b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积．知识典型例题例 3 求下列向量的内积：（1） a＝ (2,- 3), b＝ (1,3)；运用知识强化练习1.已知 |a|＝ 7， |b|＝ 4， a 和 b 的夹角为60，求 a· b．2.已知 a· a＝ 9,求 |a|．3.已知 |a|＝ 2,|b|＝ 3, <a,b>＝30，求 (2a＋ b)· b．动脑思考探索新知设平面向量a＝ (x1,y1),b＝ (x2,y2)，i，j 分别为 x 轴， y 轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又 | i |＝ |j|＝ 1，所以a· b＝ (x1 i＋ y j)· (x i＋ y j)1 2 2＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j ＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j＝ x1 x2 |j |2＋ y1 y2 |j|2＝x1 x2＋ y1 y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a· b＝ x x ＋ y y2 (7.11)1 2 1利用公式 (7． 11)可以计算向量的模．设a＝ (x,y)，则a aga x2 y2，即a2 2(7.12) x y由平面向量内积的定义可以得到，当a、 b 是非零向量时，cos<a,b>＝ a b ＝x1 x2 y1 y2 . (7.13)x12 y12 x22| a || b | y22利用公式 (7.13) 可以方便地求出两个向量的夹角.由于 a b a· b＝ 0，由公式 (7.11) 可知a·b＝ 0x1 x2＋ y1 y2＝0．因此a bx1 x2＋ y1 y2＝ 0．(7.14) 利用公式 (7.14) 可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．*巩固知识典型例题例 3 求下列向量的内积：（2） a＝ (2,- 3), b＝ (1,3)；（3） a＝ (2, - 1), b＝ (1,2)；（4） a＝ (4,2), b＝( - 2, - 3)．解 (1) a·b＝ 2× 1＋(- 3)× 3＝ - 7；(2)a· b＝ 2× 1＋ (- 1)× 2＝0；(3)a· b＝ 2× (- 2)＋ 2× (- 3)＝ - 14．例 4 已知 a＝ (- 1,2),b＝ (- 3,1).求 a· b, |a|,|b|, <a,b>．解a·b＝ (- 1)( - 3)＋ 2× 1＝5；|a|＝ a a ( 1)2 22 5 ；|b|＝ b b ( 3)2 12 10 ；cos<a,b>＝a b＝ 5 2 ，| a || b | 10 5 2 所以<a,b>＝ 45o．例 5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝ (- 2, 3), b＝ (6, 4) ；(2) a＝ (0, - 1), b＝ (1, - 2)．解(1) 因为 a· b＝ (- 2)×6＋ 3× 4＝ 0，所以 a b．(2)因为 a· b＝ 0× 1＋ (- 1)×（ - 2) ＝2，所以 a 与 b 不垂直．运用知识强化练习1．已知 a＝ (5, - 4)， b＝ (2,3)，求 a· b．2．已知 a＝ (1, 3 )，b＝(0, 3 )，求<a,b>．3．已知 a＝ (2, - 3)， b＝ (3,－ 4)，c＝ (- 1,3),求 a· (b＋c)．4.判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝ (- 2, - 3)， b＝ (3, - 2)； (2) a＝ (2,0)， b＝ (0, - 3)；(3) a＝ (- 2,1)， b＝ (3,4)．5.求下列向量的模：a＝ (- 2, - 4)， b＝ (3, - 2) ； (2) a＝ (2,1)， b＝ (4, - 3) ；归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知 a＝ (5, - 4),b＝ (2,3), 求 a· b．2.已知 a＝ (2, - 3),b＝ (3, - 4),c＝ (- 1,3),求 a· (b＋ c)．*继续探索活动探究( 1) 读书部分：阅读教材( 2) 书面作业：教材习题7.3 A 组（必做）； 7.3 B 组（选做）。
《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）
《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，就不得不需要编写说课稿，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。
那么什么样的说课稿才是好的呢？下面是小编为大家整理的《平面向量》优秀说课稿（通用3篇），希望对大家有所帮助。
《平面向量》说课稿1一、说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。
本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。
为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。
本节内容也是全章重要内容之一。
二、说学习目标和要求通过本节的学习，要让学生掌握（1）：平面向量数量积的坐标表示。
（2）：平面两点间的距离公式。
（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。
以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。
三、说教法在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：（1）启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。
（2）讲解式教学法主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！主要辅助教学的手段（powerpoint）（3）讨论式教学法主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。
四、说学法学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。
通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。
如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！五、说教学过程这节课我准备这样进行：首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：（1）模的计算公式（2）平面两点间的距离公式。
教案运用平面向量的坐标求内积
平面向量内积的坐标表示教案章节一：向量内积的概念介绍教学目标：1. 了解向量内积的定义和几何意义。
2. 掌握向量内积的计算公式。
教学内容：1. 向量内积的定义：两个向量a和b的内积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
2. 向量内积的几何意义：向量内积可以表示为两个向量的数量积，即向量a和b的模长的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
3. 向量内积的计算公式：在坐标系中，向量a和b可以表示为a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2。
教学活动：1. 引入向量内积的概念，通过图形和实际例子解释向量内积的定义和几何意义。
2. 引导学生理解向量内积的计算公式，并给出具体的计算例子。
作业：1. 练习计算两个向量的内积，包括坐标表示和数量积的计算。
教案章节二：向量内积的性质教学目标：1. 掌握向量内积的基本性质。
2. 学会运用向量内积的性质解决问题。
教学内容：1. 向量内积的交换律：a·b = b·a。
2. 向量内积的分配律：a·(b+c) = a·b + a·c。
3. 向量内积的数乘性质：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)。
4. 向量内积的非负性：a·b ≥0，且当a和b夹角为0度时，a·b取最大值|a||b|。
教学活动：1. 引导学生通过实例验证向量内积的交换律、分配律和数乘性质。
2. 讲解向量内积的非负性，并解释其几何意义。
作业：1. 运用向量内积的性质计算一些具体的向量内积。
教案章节三：向量内积的应用教学目标：1. 学会运用向量内积解决实际问题。
2. 掌握向量内积在几何和物理中的应用。
教学内容：1. 向量内积在几何中的应用：计算向量的夹角、判断平行或垂直关系等。
2. 向量内积在物理中的应用：力的合成与分解、动能和势能的计算等。
教案运用平面向量的坐标求内积
平面向量内积的概念及坐标表示一、教学目标：1. 让学生了解平面向量的概念，理解向量的几何意义。
2. 掌握平面向量的坐标表示方法，学会用坐标表示向量的内积。
3. 能够运用坐标求解向量的内积，并解决相关的几何问题。
二、教学内容：1. 平面向量的概念及几何表示。
2. 向量的坐标表示方法。
3. 向量内积的定义及坐标表示。
4. 向量内积的运算性质。
5. 运用坐标求解向量内积的实例分析。
三、教学重点与难点：1. 重点：平面向量的概念、坐标表示方法，向量内积的定义及其坐标表示。
2. 难点：向量内积的运算性质，运用坐标求解向量内积。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念、坐标表示方法，向量内积的定义及其坐标表示。
2. 利用多媒体演示，直观展示向量的几何意义及坐标表示。
3. 运用例题解析，让学生掌握运用坐标求解向量内积的方法。
4. 开展小组讨论，引导学生探究向量内积的运算性质。
五、教学过程：1. 导入：回顾高中数学中关于向量的知识，引导学生思考向量的几何意义。
2. 新课讲解：（1）介绍平面向量的概念，解释向量的几何表示。
（2）讲解向量的坐标表示方法，举例说明。
（3）引入向量内积的定义，阐述其几何意义。
（4）推导向量内积的坐标表示，解释其含义。
3. 例题解析：选取典型例题，讲解如何运用坐标求解向量内积，引导学生思考解题思路。
4. 小组讨论：让学生分组讨论向量内积的运算性质，总结规律。
5. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课内容进行总结，强调重点知识点。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考向量内积的应用，例如在几何中的运用，如计算平行四边形的面积、判断两个向量是否垂直等。
2. 探讨向量内积在物理中的意义，例如在力学中，两个向量的内积可以表示力的大小和方向的乘积。
七、课堂小结：1. 回顾本节课所学内容，强调平面向量的概念、坐标表示方法，向量内积的定义及其坐标表示。
平面向量的内积ppt课件
1 向量a与向量b的夹角 2 內积的定义 3 从內积推出的四个结果 4 內积的运算律
1
两个非零向量a、b ，它们两者的方向 所成的那个范围的角叫做这两个向量 的夹角，记作:〈a , b〉, 如图所示.
0°≤〈a , b〉≤180°
0 ≤〈a , b〉≤ π 〈a , b〉=〈b , a〉
D
C
C
D
60°
A
B
Q
P 〈DC，CB〉= 2π/3
〈CD，PQ〉= π 〈DA，AB〉= 2π/3
5
a ·b
6
a ·b =IaIIbIcos〈a , b〉
a点b等于a的模乘以b的模乘以ab夹角的余弦
请连读三遍
可见： a ·0 = 0
0 ·a = 0
a ·b
7
例:水平地面上有一辆小车，某人用100N 的力，朝着与水平线成30°角的方向拉小 车，使小车前进了100m，那么这个人做 了多少功？
解：这个人作的功为
W=F· s
=IFI· IsIcos30°
=100×100×√3/2
=5000 √3(J)
cos〈a , b〉= a ·b IaIIbI
8
当〈 a , b 〉= 0 时，a ·b = IaIIbI 当〈 a , b 〉= π 时，a ·b = -IaIIbI
9
当b = a 时， 〈 a , a 〉= 0 所以： a ·b = IaIIaI = IaI2 即： IaI = √a ·a
a b
2
F
30°
s
0°≤〈a , b〉≤180°
F F
0 ≤〈a , b〉≤ π
s
用集合表示为：
平面向量数量积的坐标表示(精品说课稿)
敬爱的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今日我讲课的题目是《平面向量数目积的坐标表示》。
下边我将从说教材、说学情、说教课目标、说教课过程等几个方面来睁开我的讲课。
第一来谈谈教材。
本课是北师大版高中数学必修四第二章第 6 节课内容，向量是交流代数和几何的桥梁，为研究几何问题供给了新的工具和方法，同时对更新和完美中学数学知识构造起侧重要作用。
向量集数、形于一身，有着极其丰富的实质背景。
上一节学习了向量的数目积，而平面向量数目积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数目积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题供给了崭新的手段。
它把向量的数目积与坐标运算两个知识点密切联系起来，是全章要点之一。
剖析完了教材，再来谈谈学情。
高二年级的学生，在此以前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数目积观点及运算，但数目积是用长度和夹角这两个观点来表示的，应用起来不太方便，但因为我们的学生认识问题还不够深入，其思想能力和判断剖析能力尚在培育形成之中。
鉴于此种状况，教师要充足利用他们的兴趣指引学生进入特定的教课境界，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数目积，使之应用更方便，就是摆在学生眼前的一个亟待解决的问题。
所以，本节内容的学习是学生认知发展和知识建立的一个生长点。
鉴于以上教材地位、学情特色以及新课标的要求，我确立了以下三维教课目的：1、理解掌握平面向量数目积的坐标表达式，会进行数目积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能依据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题，这是本课教课的要点。
2、经过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法，培育学生发现问题、剖析问题、解决问题的能力，使学生的思想能力获取训练，而向量数目积的坐标表示的应用也是本课教课的难点。
3、经过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和蔼于发现、勇于研究的精神，领会学习的快乐。
领会各学科之间是密不行分的。
平面向量内积课件
当两个向量的夹角为直角时， $\cos\langle\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}{b}\rangle = 0$， $\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = 0$
内积的运算律
分配律 结合律 交换律
内积的化简
$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{b}| \cdot \cos\langle\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}{b}\rangle$
04
平面向量内积的代数应用
展开式定理的应用
展开式定理
应用
数量积的应用
数量积定义
应用
数量积在解析几何、物理学和工程学 中都有广泛的应用，例如计算向量的 长度、角度以及解决力学问题等。
向量的模长的计算
向量模长定义
计算方法
05
平面向量内积的物理应用
描述力矩
向量内积的坐标运算课件
7
问题3：写出，向量平行和垂直的坐标表示式, 向量夹角公式的坐标表示式. （1）两向量垂直条件的坐标表示
(2)两平面向量共线条件的坐标表示
注意：与向量垂直的坐标表示区别清楚。 8
9
（3）向量的长度（模） （4）两向量的夹角
10
例1.设a = (3, −1)，b = (1, −2)，求a⋅b，|a|，|b|， 和<a, b>
17
布置作业： 同步训练P95 1——12
18
12
例3. 已知点A（1，2），B（3，4），C（5， 0），求∠BAC的余弦值。
13
例4. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时， 向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。
解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0,
解： a⋅b = (3, −1) (1, −2)=3+2=5. |a|=
|b|= cos <a, b>=
所以 <a, b>=45°
11
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(−2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
证明： 所以
=(1, 1), =(－3, 3)
=－3+3=0，
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
6.12 向量内积的坐标运算
1
复习回顾:
1.平面向量的坐标运算：
注:向量坐标等于终点坐标减去起点坐标
2
3
一、复习引入
4
二、新课讲授
问题1：已知 的坐标表示 列问题.
怎样用 呢？请同学们看下
设x轴上单位向量为 ，Y轴上单位向量为
高中数学：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件-PPT精品文档
为, 那 么 向m量 a4b的 模(为 )
3
A 2. B 2.3 C 6. D 1.2
讲授新课
探究： 已知两个非零a向(x量 1, y1),
b(x2, y2),怎样用 a 和b的坐标 表 示ab?
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
讲解范例:
例2. 设a(5,7),b(6, 4),求
ab及a、 b间的夹 (精 角确1o)到 .
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
|a|(x1x2)2(y1y2)2
3. 向量垂直的判定: ab x1x2y1y20.
课后作业
1. 阅读教材P109到P112; 2.2. P108 A组 3.第9、10、11题
课后思考:
1. 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角 2.△OAB，使B=90，求点B和向量 的坐标.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
(4) cos a b . (5) ab a b.
ab
复习引入
3. 练习：
(1)已知 a1, b 2, 且 (ab)与 a垂,直 则a与b的夹(角)是
【中职】7.3.2 向量内积的坐标表示 高教版 精品课件
7.3.2 内积的坐标表示
向量 向量
学习目标
1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向 量数量积的坐标运算． 2．能运用数量积表示两个向量的夹角，计算 向量的长度，会用数量积判断两个平面向量 的垂直关系.
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习与训练P33: 4
1由.已内知积非表零达向式量怎a样与求bc，o则s〈aa与, bb〉 的？内积表达式是怎样的？
自测自评
1.已知向量 a＝(1,2)，b＝(x＋1，－x)，且 a⊥b，则 x＝( )
A．2
2 B.3
C．1 D．0
答案 C
2．向量 a＝(1，－2)，b＝(6,3)，则 a 与 b 的夹角为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
答案 B
3．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－2,2)，若 c＝a＋(a·b)b，则|c|
x2 y2 ，即
a
x2 y2
思考：若A（x，y），B（x ，y ），则 AB
1
1
2
2
动脑思考 探索新知
由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非 零向量时，
cos<a,b>＝
ab | a || b |
x1 x2 y1 y2
．
x12 y12 x22 y22
利用该公式可以方便地求出两个向量的夹角.
向量的夹角公式
的夹角为 θ，则 cosθ＝
a1b1＋a2b2 a21＋a22· b21＋b22
巩固知识 典型例题
例1 已知a＝(−1,2)，b＝(−3,1)．求a·b, |a|,|b|, <a,b>． 解 ： a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5. |a|＝ a a (1)2 22 5．
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角3 人教课标版精品课件
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义： 已知两个非零向量a 和 b，它们的
夹角为 ，我们把数量| a || b | cos 叫做
a 与 b 的数量积(或内积) .
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义： 已知两个非零向量a 和 b，它们的
3
A. 2 B. 2 3 C. 6 D. 12
讲授新课
探究： 已知两个非零向量a ( x1, y1 ),
b ( x2 , y2 ), 怎样用 a 和 b 的坐标 表示 ab?
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
特务游戏。 到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。
夹角为 ，我们把数量| a || b | cos 叫做
a 与 b 的数量积(或内积) .
记为：a b , 即 a b | a || b | cos .
复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义： 已知两个非零向量a 和 b，它们的
夹角为 ，我们把数量| a || b | cos 叫做
2
特别地, a a a 或 a a a .
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7.4.2 向量内积的坐标运算
教学目标：
1、掌握平面向量内积的坐标表示和运算。 2、掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
教学重点 ：
平面向量内积的坐标表示以及向量垂直的坐标表示的充 要条件。
教学难点 ：
平面向量内积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运 用。
7.4.2 向量内积的坐标运算
a b x1x2 y1 y2 0
7.4.2 向量内积的坐标运算
例题讲解
例1．设 a 5,7 ， b 6,4 ，求 a b . 解： a b 5 6 7 4 2
7.4.2 向量内积的坐标运算
练习： 已知a (5,4),b (2,3),求a •b
例4 已知a (1,2) b (3,1),求a •b, | a |,| b |, a,b
两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1y2
7.4.2 向量内积的坐标运算
性质
（1）设 a=（x，y），则 | a |2 x2 y2 或| a |= x2 y2 .
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量垂直的坐标表示式.
a b a b cos （当夹角为90时内积为零）
③ j i __0____ ④ j j __1___
已知 a (x1, y1),b (x2, y2) 能否推导出 a b 的坐标公式?
a b x1i y1 j x2i y2 j
2
2
x1x2 i x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j
x1x2 y1 y2
解： a (1,2) b (3,1)
由a • b x1x2 y1 y2 得 a • b (1) (3) 21 5
由a a • a x2 y2 (1)2 22 5 b b • b x2 y2 (3)2 12 10
cos a,b a • b 5 2 a b 5 10 2
a,b 45
7.4.2 向量内积的坐标运算
例2 判断下列各题中的向量a,b是否垂直：
（1）a (2,3),b (6,4)； （2）a (0,1),b (1,2)
练习：P54 课堂练习 3
• 1、向量内积的坐标表示 ab x1x2 y1y2 • 2、由向量的坐标如何求向量的模
（1）设 a=（x，y），则 | a |2
向量的内积
c os a b
| a || b |
a b a •b 0(判断两向量垂直的依据)
向 量
ab ba
内
积
的
a b a b a b
运
算
律 ab c acbcLeabharlann 7.4.2 向量内积的坐标运算
i 单位向量 、 j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___
或| a |=
.
• 3、由向量的内积如何求向量的夹角
cos a,b a • b
x1x2 y1 y2
ab
x12 y12 x22 y22
• 4、如何判断两个向量垂直
a b x1x2 y1y2 0
P55 课外练习 1，2，3，4
Thank you!