2021版理科数学全国通用版备战一轮复习第9章 第7节

高考总复习 ·数学(理科)
●命题角度二 到点与准线的距离之和最小问题 【例 2】 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，则点 P 到点 A(－1，1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值为________．
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
[解析] 如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线方程是 x＝ －1，由抛物线的定义知，点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F 的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1， 1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小，连接 AF 交抛物线于点 P，此时最小值为|AF|＝ [1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.
方程
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
范围 x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径 (其中 P(x0，y0))
_|P_x_F0＋_|＝_p2__1_1_
|PF|＝ 12 _－__x_0_＋__p2__ ___y_|P0_＋F_|_p2＝__1_3____ _－__y_|P0_＋F_|_p2＝__1_4____
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
解析：选 C 由题意得圆 x2＋(y－4)2＝1 的圆心 A(0，4)，半径 r＝1，抛物线的焦点 F(1，0)．由抛物线的几何性质可得点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之 和的最小值是|AF|－r＝ 1＋16－1＝ 17－1.故选 C．
第九章 解析几何
离心率
准线 方程
x＝ 7 _－__p2____
e＝1
p x＝ 8 _2______
y＝ 9 _－__p2____
p y＝ 10 __2_____
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
标准 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
6．已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线段长为 4， 则抛物线的焦点坐标为________________________________________．
解析：由题知，直线 l 的方程为 x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2 a)(a>0)． 又直线被抛物线截得的线段长为 4， 所以 4 a＝4，即 a＝1.则抛物线方程为 y2＝4x， 所以抛物线的焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)
高考总复习 ·数学(理科)
2021高三一轮总复习
Hale Waihona Puke 数学（理科）提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌
第九章 解析几何
返回导航
第九章 解析几何
第七节 抛物线
高考总复习 ·数学(理科)
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝－8x
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
解析：选 D 因为 AB⊥x 轴，且 AB 过焦点 F，所以线段 AB 是焦点弦，且|AB|＝2p， 所以 S△CAB＝12×2p×p2＋4＝24，解得 p＝4 或 p＝－12(舍)，所以抛物线方程为 y2＝8x， 所以直线 AB 的方程为 x＝2，所以以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为 y2＝－8x， 故选 D．
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
3．(2019 届安徽省五校二检)已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，点 Px0，12在
抛物线 C 上，且|PF|＝34，则 p＝( )
A．14
B．12
C．34
D．1
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
解析：选 B 抛物线的准线方程为 y＝－p2，因为 Px0，12在抛物线上，所以点 P 到 准线的距离 d＝12＋p2＝|PF|＝34，则 p＝12，故选 B．
[解析] 由题意知，抛物线的准线 l 的方程为 x＝－1，过点 P 作 PE⊥l 于点 E，由 抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当 P，E，M 三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得 最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选 A．
[答案] A
第九章 解析几何
返回导航
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
►常用结论 设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p42，y1y2＝－p2. (2)|AF|＝1－cpos α，|BF|＝1＋cpos α，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α 为弦 AB 的倾斜角)． (3)|F1A|＋|F1B|＝2p. (4)以弦 AB 为直径的圆与准线相切． (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切． (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点 对称轴
O(0，0) x轴
第九章 解析几何
y轴
返回导航
标准 方程
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
‖基础自测‖ 一、疑误辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0， 准线方程是 x＝－a4.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
►名师点津 与抛物线有关的最值问题的 2 个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两 点之间线段最短”，使问题得解．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上 所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
高考总复习 ·数学(理科)
●命题角度一 到焦点与定点的距离之和最小问题
【例 1】 (2019 届重庆模拟)已知点 F 是抛物线 y2＝4x 的焦点，P 是该抛物线上任
意一点，M(5，3)，则|PF|＋|PM|的最小值是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
[答案] 5
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
●命题角度三 焦点弦中的距离之和最小问题 【例 3】 已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________． [解析] 由题意知 F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得 最小值时当且仅当|AB|取得最小值，依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4 时最 小，所以|AC|＋|BD|的最小值为 2. [答案] 2
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
►名师点津 求抛物线方程的 3 个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种． (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
2．(2019 届湖北四地七校 3 月联考)已知抛物线 y2＝2px(p>0)，点 C(－4，0)，过抛
物线的焦点作垂直于 x 轴的直线，与抛物线交于 A，B 两点，若△CAB 的面积为 24，则
以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
二、走进教材 2．(选修 2－1P72A1 改编)顶点在原点，且过点 P(－2，3)的抛物线的标准方程是 ______________． 答案：y2＝－92x 或 x2＝43y
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
3．(选修 2－1P67A3 改编)抛物线 y2＝8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点的个数为 ________．
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
2．已知点 F 为抛物线 y2＝－8x 的焦点，O 为坐标原点，点 P 是抛物线准线上一动
点，点 A 在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为( )
A．6
B．2＋4 2
C．2 13
D．4 3
解析：选 C 由已知可得抛物线 y2＝－8x 的焦点为 F(－2，0)，准线方程为 x＝2.设
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
|跟踪训练|
1．已知 P 为抛物线 y2＝4x 上的一个动点，Q 为圆 x2＋(y－4)2＝1 上的一个动点，那
么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )
A．2 5－1
B．2 5－2
C． 17－1
D． 17－2
第九章 解析几何
焦点
y2＝2px (p>0) 3 __F__p2_，__0_ _
高考总复习 ·数学(理科)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
4 _F__－__p2_，__0_
5 _F__0_，__p2_ __
6 _F__0_，__－__p2_
单性质.
数学运算
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
1
课 前 ·基 础 巩 固
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
‖知识梳理‖ 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内． (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 1 _相__等______． (3)定点 2 __不__在_____定直线上．
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
2
课 堂 ·考 点 突 破
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
考点 抛物线的标准方程及几何性质
|题组突破|
1．(2019 届南昌市一模)抛物线 y＝2x2 的准线方程是( )
A．x＝12 B．x＝－12 C．y＝18
D．y＝－18
解析：选 D 抛物线 y＝2x2 的标准方程为 x2＝12y，其准线方程为 y＝－18，故选 D．
答案：2
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
三、易错自纠
4．抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝1，则 a 的值为( )
A．14
B．－14
C．4
D．－4
解析：选 B 由题意知抛物线的标准方程为 x2＝1ay，所以准线方程为 y＝－41a＝1，
解得 a＝－14.
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
5．动圆过点(1，0)，且与直线 x＝－1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线 x＝－1 的距 离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2＝4x. 答案：y2＝4x
第九章 解析几何
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
考点一 抛物线的定义及应用——多维探究 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等． 常见的命题角度有：(1)到焦点与定点的距离之和最小问题；(2)到点与准线的距离之 和最小问题；(3)焦点弦中的距离之和最小问题．
第九章 解析几何
返回导航
第九章 解析几何
返回导航
高考总复习 ·数学(理科)
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.掌握抛物线的定 抛物线的定义、标准方程，抛物线的几何性
义、几何图形、标 质，直线与抛物线的位置关系是 2021 年高考考
准方程. 查的热点，题型为选择题、填空题，有时出现解
2.掌握抛物线的简 答题，分值为 5～12 分.