陕西省黄陵中学2016届高三下学期强化训练第六次模拟考试文数试题

数学（文）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}{}0,1,2,0,1,0,1,2,3A A B A B ===，则B =( )
A ．{}3
B ．{}0,1
C ．{}1,2,3
D ．{}0,1,3
2．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），且11ai
z
++是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1-
B ．3-
C ．3
D ．1
3．设:1,:ln 21x p x q >>，则p 是q 成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条
件
4．为考察高中生的性别与喜欢数学课程之间的关系，运用22⨯列联表进行检验，经计算
27.069K =，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过 ()20P K k ≥
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k
2.706
3.841
5.024
6.635 10.828
A ．0.1%
B ．1%
C ．99%
D ．99.9%
5
．已知过点
的双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>
，则该双曲线的实
轴长为( ) A ．2
B
．
C ．4
D
．6．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，且123,,2S S S -成等差数列，则4a =( ) A ．8
B ．
1
8
C ．16
D ．
116
7．已知,x y 满足线性约束条件：10,220,2,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则目标函数2z x y =-的最小值是( )
A ．6
B ．6-
C ．4
D ．4-
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A ．13π
B ．14π
C ．15π
D ．16π
9．如图所示的程序框图，输出的S 值为( ) A ．
1316
B ．
1312
C ．
138
D ．
134
10．函数()2
a
f x x x
=+
在区间()1,+∞上是增函数，则实数a 的最大值为( )
A ．1
B
C
D ．2
11．对于函数()21sin 22f x x x =
有以下三种说法：①,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是函数()y f x =的图象的一个对称中心；②函数()y f x =的最小正周期是π；③函数()y f x =在7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减．其中说法正确的个数是( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．已知,a b 为正实数，直线0x y a ++=与圆()()2
2
12x b y -+-=相切，则
()2
322b a
-的
最小值是( ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个题目考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）
13．已知函数()2
2,0,1log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩则()()2f f -=______．
14．已知两个单位向量a 、b 满足1
2
⋅=-
a b ，向量2-a b 与b 的夹角为θ，则c o s θ=______．
15．已知数列{}n a 是公差为整数的等差数列，前n 项和为n S ，且1520a a ++=，1232,3,8S S S 成等比数列，则数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为______．
16．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当0x >时，()2
32f x x x =-+，若函数()y f x a =-有2个零点，则实数a 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()12cos c b A =+． （Ⅰ）求证：2A B =；
（Ⅱ）若12
a B π
=
=，求ABC ∆的面积． 18．（本小题满12分）
如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点
E 是11A D 的中点，点
F 是CE 的中点． （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面11BDD B ； （Ⅱ）求证：AE
平面BDF ．
19．（本小题满12分）
某校对2000名高一新生进行英语特长测试选拔，现抽取部分学生的英语成绩，将所得数据整理后得出频率分布直方图如图所示，图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12．
（Ⅰ）求第二小组的频率及抽取的学生人数；
（Ⅱ）若分数在120分以上（含120分）才有资格被录取，约有多少学生有资格被录取？ （Ⅲ）学校打算从分数在[)130,140和[]140,150分内的学生中，按分层抽样抽取4人进行改进意见问卷调查，若调查老师随机从这4人的问卷中（每人一份）随机抽取两份调阅，求这两份问卷都来自英语测试成绩在[)130,140分的学生的概率．
20．（本小题满12分）
已知点()0,1A 与12B ⎫⎪⎭都在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，直线AB 交x 轴于点
M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；
（Ⅱ）设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠？若存在，求点E 的坐标；若不存在，说明理由． 21．（本小题满12分）
设函数()()ln ,x
f x a x x
g x ae x =-=-，其中a 为正实数．
（Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()2,+∞上有最小值，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 与()g x 都没有零点，求a 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，AB 是O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是O 的割线，过点G 作AB
的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ．求证： （Ⅰ）GB GA GE GF ⋅=⋅；
（Ⅱ）若1AD GB OA ===，求GE ．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
()2sin cos ρθθ=+，直线l 的参数方程为：2,
1x t y t =+⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数）． （Ⅰ）写出圆C 和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）点P 为圆C 上动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x a =-+-．
（Ⅰ）对任惫x R ∈，不等式()1f x >成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，解不等式()3f x <．
陕西省黄陵中学2016届高三下学期强化训练第六次模拟考试
数学（文）试题参考答案
1．D 2．C 3．B
4．B 【解析】2
7.069 6.635K =>，对照表格，所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过1%．
5．A 6．A 7．D 8．A 9．C 10．D 11．C
12．B 0,0a b =>>，
∴()2
2324411110,01,
224,2222
b a a b a a a a a
a a -++=-><<==++≥=．
13．3 14．15．10
51
-
【解析】()2
1113212420,12,169,2,3,32152n a d a d S S S d a a n n ++==--==-==--=-．
16．112,,244⎛
⎫⎛⎫
-- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
17．解：（Ⅰ）由正弦定理
sin sin b c
B C
=及()12cos c b A =+可知，()sin sin 12cos C B A =⋅+， 又在ABC ∆中，A B C π++=，
所以()sin sin sin cos sin cos C B A A B B A =+=+， 从而sin cos cos sin sin A B A B B -=， 所以()sin sin A B B -=，所以A B B -=，∴
2A B =．……………………………………………………6分
（Ⅱ）∵12B π=，∴3,61264
A C ππππ
π==--=
由正弦定理得sin 1sin a C
c A
=
=+()12cos c b A =+，∴1b =， ∴
11sin 24
ABC S bc A ∆==…………………………………………………………………………
……12分
18．证明：（Ⅰ）在正方体中，ABCD 是正方体，1BB ⊥平面ABCD ， ∴1,AC BD AC BB ⊥⊥， ∵1BD
BB B =，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，
∴AC ⊥平面11BDD B ，
∵AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面
11BDD B ．………………………………………………………6分
（Ⅱ）连AC 交BD 于G ，连FG ， ∵ABCD 是正方形，∴G 是AC 中点， ∵F 是CE 的中点，∴AE
FG ，
∵AE ⊄平面BDF ，FG ⊂平面BDF ，∴AE
平面
BDF ．…………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）∵频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， ∴第二小组的频率：
14
0.0824171593
f =
=+++++；…………………………………………………2分
∵第二小组频率为12，∴抽取的学生人数是
12
1500.08=人．………………………………………………4分 （Ⅱ）由图知，有资格被录取的学生频率约为21593
0.5424171593
f ++==+++++，
∴约有20000.541080
⨯=人．…………………………………………………………………………………7分
故按分层抽样的4人有3人分数在[)130,140分内，设为,,A B C ； 有1人分数在[]140,150分内，设为D ．任取两人，有
()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C B C A D B D C D 共6种．
这两人都是分数在[)130,140分内的有()()(),,,,,A B A C B C 三种，故所求概率为
31
62
=．…………12分 20．解：（Ⅰ）由题意得2221
1,311,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴224,
1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=． 直线AB
方程为1y x =+，与x
轴交点
()
M ．………………………………………………6分
（Ⅱ）因为点D 与点B 关于x
轴对称，所以12D ⎫-
⎪⎭
， 直线AD
的方程为1y x =+，与x
轴交于点N ⎫⎪⎪⎝⎭
． “存在点()0,E E y 使得OEM ONE ∠=∠”等价于“存在点()0,E E y 使得
OM OE OE
ON
=
”，
即E y 满足2
E M N y x x =
，∴2
43
E y ==，∴2E y =±， 故在y 轴上存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠，且点E 的坐标为()0,2或
()0,2-．…………………12分
21．解：（Ⅰ）()()0,0a x
f x x a x
-'=
>>， ∵0x a <<时，()0f x '>；x a >时，()0f x '<，
∴()f x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数，又()f x 在()1,+∞上是减函数，∴
01a <≤．
又()1x g x ae '=-，∴1ln
x a >时，()0g x '>；1
ln x a
<时，()0g x '<， ∴1ln x a =时，()g x '最小，∴1ln 2a >时，∴21
0a e
<<，∴
210,a e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x a =时，()f x 取得最大值，1
ln x a
=，()g x 取得最小值， 由题意可得()0f a <且1ln
0g a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
， ∴ln 0,
11
ln 0,a a a a a
a -<⎧⎪
⎨⋅->⎪⎩∴1a e e <<即1,a e e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．……………………………………………………………12分
22．证明：（Ⅰ）连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，
∵AG FG ⊥，∴90AGE ∠=︒，
又EAG BAC ∠=∠，∴ABC AEG ∠=∠， 又FDC ABC ∠=∠，∴FDC AEG ∠=∠，
∴180FDC CEF ∠+∠=︒，∴C 、D 、F 、E 四点共圆， ∴GE GF GC GD ⋅=⋅，又A 、B 、C 、D 在O 上，
∴GB GA GC GD ⋅=⋅，∴
GB GA GE GF ⋅=⋅．……………………………………………………………5分
（Ⅱ）∵1AD OA ==，又OD OA =，∴60OAD ∠=︒，
又AG FG ⊥，∴30F ∠=︒
，∴FG ==
∴
GB GA GE GF ⋅=
==
．……………………………………………………………………………10分
23．解：（Ⅰ）由已知()2sin cos ρθθ=+得()22sin cos ρρθρθ=+． 所以2222x y y x +=+，即圆C 的普通方程为
()
()2
2
112x y -+-=．…………………………………3分
由2,
1,
x t y t =+⎧⎨
=-+⎩得()12y x =-+-，所以直线l 的普通方程为
30x y --=．……………………………5分
（Ⅱ）由圆的几何性质知点P 到直线l 的距离的最小值为圆心C 到直线l 的距离减去圆的半径，
令圆心C 到直线l 的距离为d
，则
d =
=
>9分
所以最小值为
22
=．……………………………………………………………………………10分 24．解：（Ⅰ）∵()()()22f x x a x a x a x a a =-+-≥---=，且()1f x >对任意x R ∈成立，
∴1a >，∴1a >或
1a <-．…………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）1a =-时，()23,1,
121,21,23, 2.x x f x x x x x x +≥-⎧⎪
=+++=-<<-⎨⎪--≤-⎩
∴()3f x <时，10x -≤<或21x -<<-或32x -<≤-，
f x<的解集为
∴()3
()
3,0 -．………………………………………………………………………………10分。