江苏省南通市(新版)2024高考数学统编版(五四制)质量检测(培优卷)完整试卷

江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版（五四制）质量检测(培优卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公
式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（）．
A．20%B．23%C．28%D．50%
第(2)题
已知函数，若在图象上存在点，使得点到坐标原点的距离，则称函数为“向心函数”.下列四个选项中，是“向心函数”的有（）
A
．B．
C
．D．
第(3)题
三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流（单位：安培）与时间（单位：秒）满足函数关系式：（其中为供电的最大电流，单位：安培；为角速度，单位：弧度/秒；为初始相位），该三相交流电的
频率（单位：赫兹）与周期（单位：秒）满足关系式.某实验室使用10赫兹的三相交流电，经仪器测得在秒与
秒的瞬时电流之比为，且在秒时的瞬时电流恰好为1.5安培.若，则该实验室所使用的三相交流电的
最大电流为（）
A ．1安培B．安培C．2安培D．3安培
第(4)题
若数列满足，则（）
A．2B．C．D．
第(5)题
第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的
面积和为（）
A．B．C．D．
第(6)题
在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为
，若，则前65项的和为（）
A
．B．-13C．D．-14
第(7)题
已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（）
A．B．C．D．
第(8)题
在中，点满足，则（）
A
．B．
C
．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
已知，，，且，则（）
A．若，则
B．若，则
C．，可能是方程的两根
D．
第(2)题
已知是等差数列的前项和，满足，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是
（）
A．B．使得成立的最大的值为4045
C．D．当时，取得最小值
第(3)题
已知实数m，n满足，且，则（）
A
．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
下面四个命题：
①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象;
②函数的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则是f(x)的单调递增区间;
③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3;
④“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件．
其中所有正确命题的序号为_______．
第(2)题
声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.给出下列四个结论：
①的最小正周期是；
②在上有3个零点；
③在上是增函数；
④的最大值为.
其中所有正确结论的序号是___________.
第(3)题
设，，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
已知等差数列和正项等比数列满足：，，且是和的等差中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
第(2)题
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，对任意，证明：．
第(3)题
设,而.
(1)若最大,求能取到的最小正数值.
(2)对(1)中的,若且,求.
第(4)题
设是集合{且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，
…．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表．
（1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由）；
（2）设是该三角形数表第行的个数之和所构成的数列，写出的通项公式；
（3）求的值.
第(5)题
已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)设在区间上存在两个极值点，．
①求a的取值范围；
②若，求与的等差中项．。