高中数学 3_2 空间向量的坐标同步精练 湘教版选修2-11

高中数学 3.2 空间向量的坐标同步精练湘教版选修2-1 1已知i，j，k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且OA＝j－i－5k，则点A的坐标为( )．
A．(1，－1，－5) B．(－1,1，－5)
C．(－5，－1,1) D．(－1，－5,1)
2已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于( )．
A．310 B．210
C．10 D．5
3若a＝(0,1，－1)，b＝(3,2＋x2，x2)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是( )．
A．－1 B．0 C．1 D．－2
4已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )．
A．
5
5
B．
55
5
C．
35
5
D．
11
5
5已知3a－2b＝(－2,0,4)，c＝(－2,1,2)，a·c＝2，|b|＝4，则b与c夹角的余弦值为( )．6已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是________．
7在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，则|O1E|＝__________.
8在xOz平面上，垂直于a＝(1，－1,2)并且模长为|a|的2倍的向量b为__________．
9如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
参考答案
1. 答案：B
2. 解析：∵a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)， ∴|a －b ＋2c |＝310.
答案：A
3. 解析：a ＋λb ＝(0,1，－1)＋(3λ，(2＋x 2)λ，x 2λ)
＝(3λ，(2＋x 2)λ＋1，x 2λ－1)．∵(a ＋λb )⊥a ，
∴(a ＋λb )·a ＝(2＋x 2)λ＋1－x 2λ＋1＝0，
∴λ＝－1.
答案：A
4. 解析：|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋(t －t )2 ＝5t 2－2t ＋2＝5(t －15)2＋95
， ∴当t ＝15时，|b －a |最小值＝355
. 答案：C
5. A ．12 B ．－12 C ．14 D ．－14
解析：(3a －2b )·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，
即3a·c －2b·c ＝12.由a·c ＝2，得b·c ＝－3.
又∵|c |＝3，|b |＝4，
∴cos〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－14
. 答案：D
6. 解析：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则a 2＝b 2＝c 2
＝1. ∴a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝|a |2cos 60°＝12
. ∴2
1AC ＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝6. ∴|1AC |＝ 6.
答案：6
7. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意，得O 1(0,0,2)，E (1,3,0)．
∴1O E ＝(1,3，－2)，
∴|O 1E |＝|1O E |=
8. 解析：设b ＝(x,0，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2z ＝0，x 2＋z 2＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4530，z ＝－2530或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4530，z ＝2530.
∴b ＝(4305，0，－2305)或b ＝(－4305，0，2305
)． 答案：(4305，0，－2305)或(－4305，0，2305
) 9. 解：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，
则D (0,0,0)，E (0,0，12)，C (0,1,0)，F (12，12，0)，G (1,1，12
)． ∴EF ＝(12，12，－12)，CF ＝(12，－12
，0)， CG ＝(1,0，12)，CE ＝(0，－1，12)．
(1)∵EF ·CF ＝12×12＋(－12)×12＋(－12
)×0＝0，∴EF ⊥CF ，即EF ⊥CF . (2)设EF 与CG 所成的角为θ，则
cos θ＝EF CG EF CG
＝12＋0－14(12)2＋(12)2＋(－12
)212＋02＋(12)2 ＝1515
. ∴EF 与CG 所成角的余弦值为
1515. (3)|CE |＝
02＋(－1)2＋(12)2＝52， ∴CE 的长为
52
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