决战2020中考数学：一轮复习基础训练：《函数综合》

决战2020中考数学：一轮复习基础训练：
《函数综合》
题号一二三总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题
1．二次函数y＝﹣2（x+1）2+5的顶点坐标是（）
A．﹣1 B．5 C．（1，5）D．（﹣1，5）
2．已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（）
A．y＝1.5x+3 B．y＝1.5x﹣3 C．y＝﹣1.5x+3 D．y＝﹣1.5x﹣3 3．如图直角三角板∠ABO＝30°，直角项点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A
在函数的y
1＝图象上，顶点B在函数y
2
＝的图象上，则＝
（）
A．B．C．D．4．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）
A．图象经过点（﹣1，﹣1）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，y＞1
D．当x＜0时，y随着x的增大而减小
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0＜b）的图象与x轴只有一个交点，下列结论：
①x＜0时，y随x增大而增大；②a+b+c＜0；③关于x的方程ax2+bx+c+2＝0有两个不
相等的实数根．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
6．如图，AB＝5，O是AB的中点，P是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的一个动点（点P 与点A，B可以重合），连接PA，过P作PM⊥AB于点M．设AP＝x，AP﹣AM＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
7．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＝0；③9a﹣3b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣k＝0有实数根，则k≤3．其中正确的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知二次函数y＝（x+m﹣2）（x﹣m）+2，点A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
）（x
1
＜x
2
）是其图象
上两点，（）
A．若x
1+x
2
＞2，则y
1
＞y
2
B．若x
1
+x
2
＜2，则y
1
＞y
2
C．若x
1+x
2
＞﹣2，则y
1
＞y
2
D．若x
1
+x
2
＜﹣2，则y
1
＜y
2
9．如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b的解为（）
A．x＞B．x＜C．x＞﹣D．x＜﹣
10．在平面直角坐标系中，点A（﹣2020，1）位于哪个象限？（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．如图，一次函数y＝x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为（）
A．y＝x+6 B．y＝x+6 C．y＝x+6 D．y＝x+6
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大，
④一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根分别为x 1＝﹣，x 2＝；⑤若m ，n （m ＜n ）为方程
a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＞﹣3且n ＜2，其中正确的结论有（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题
13．如图，OA 和BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数的图象，图中s 和t 分别表示路程和时间，根据图象判定快者比慢者每秒多跑 米．
14．若二次函数y ＝4x 2﹣4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n ＝ ． 15．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA 1→A 1A 2→
A 2A 3→A 3A 4→A 4A 5…”的路线运动，设第n 秒运动到点P n （n 为正整数），则点P 2020的坐标
是 ．
16．如图，一次函数的图象y ＝﹣x +b 与反比例函数的图象y ＝交于A （2，﹣4），B （m ，2）两点．当x 满足条件 时，一次函数的值大于反比例函数值．
17．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则
第2002秒时点P 的坐标为 ．
三．解答题
19．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 … y
…
10
5
2
1
2
…
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当y ＞5时，x 的取值范围是 ．
20．如图，一次函数
的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象
l 2与l 1交于点C （m ，4）．
2（2）若点D 在x 轴上，使得S △DOC ＝2S △BOC 的值，请求出D 点的坐标；
（3）一次函数y ＝kx +1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，则k 的值为 ．
21．某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG ：BG ＝3：2．设BG 的长为2x 米．
（1）用含x 的代数式表示DF ＝ ； （2）x 为何值时，区域③的面积为180平方米； （3）x 为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？
22．如图，直线AB 与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于点A ，已知点A （3，4），B （0，﹣2），点C 是反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ．
（2），求△ABC的面积；
（3）在点C运动的过程中，是否存在点C，使BC＝AC？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2+5，
∴该函数的顶点坐标是（﹣1，5），
故选：D．
2．解：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0）．∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，3），
∴b＝3．
∵这个一次函数与两坐标轴所围成的三角形面积为3，
∴×3×|a|＝3，
解得：a＝2或﹣2．
∵一次函数的图象与两坐标轴在第一象限围成的三角形，
∴a＝﹣2
把（﹣2，0）代入y＝kx+3，得k＝1.5，则函数的解析式是y＝1.5x+3．故选：A．
3．解：设AB与x轴交点为点C，
Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝60°，
∵AB⊥OC，
∴∠ACO＝90°，
∴∠AOC＝30°，
设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a
∴A（a，a），
＝（x＞0）的图象上，
∵A在函数y
1
∴k
＝a×a＝a2，
1
Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a
∴BC＝＝3a，
∴B（a，﹣3a），
∵B在函数y
＝的图象上，
2
＝﹣3a×a＝﹣3a2，
∴k
2
∴＝＝﹣，
故选：D．
4．解：A、x＝﹣1，y＝＝﹣1，∴图象经过点（﹣1，﹣1），正确；
B、∵k＝1＞0；，∴图象在第一、三象限，正确；
C、当x＝1时，y＝1，∵图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时y＜1．错
误；
D、∵k＝1＞0，∴图象在第三象限内y随x的增大而减小，正确
故选：C．
5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0＜b）的图象与x轴只有一个交点，∴a＜0，b＞0，
可知抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在x轴上，除顶点之外，图象都在x轴的下方，大致图象如图所示：
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，因此①是正确的；
当x＝1时，y＝a+b+c，当（1，a+b+c）是顶点时，a+b+c＝0，因此②是不正确的；
当y＝2时，对应抛物线上有两个点，因此ax2+bx+c＝﹣2有两个不等的实数根，因此③正确；
故正确的结论有①③，
故选：C．
6．解：连接BP，
∵AB为圆的直径，
∴∠APB＝90°，
∵PM⊥AB，
∴∠AMP＝90°，
∴∠APB＝∠AMP，又∠A＝∠A，
∴△AMP∽△APB，
∴＝，即＝，
解得，AM＝x2，
∴y＝x﹣x2（0≤x≤5），
故选：A．
7．解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下，a＜0，
顶点为B（﹣1，3），因此对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，b＜0，
与y轴交在正半轴，c＞0，
∴abc＞0，因此①不正确；
∵与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，因此②不正确，
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，因此③正确；
根据图象可知，当y＝3时，即直线y＝3与二次函数的图象有一个交点，当y＜3时，即直线y＝3与二次函数的图象有两个不同交点，
因此，当方程ax 2+bx +c ﹣k ＝0有实数根，则k ≤3．故④正确，
综上所述，正确的结论有两个，
故选：A ．
8．解：如图，
当x ＝m 或x ＝﹣m +2时，y ＝2，
∴抛物线的对称轴x ＝＝1，
∴当x 1+x 2＜2时，点A 与点B 在对称轴的左侧或点A 在对称轴的左侧，点B 在对称轴的右侧，且点A 离对称轴的距离比点B 离对称轴的距离大，
观察图象可知，此时y 1＞y 2，
故选：B ．
9．解：不等式3x ﹣2＜kx +b 的解集为x ＜．
故选：B ．
10．解：点A 坐标为（﹣2020，1），则它位于第二象限，
故选：B ．
11．解：∵一次函数y ＝x +6的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，
∴令y ＝0，则求得x ＝﹣8，令x ＝0，求得y ＝6，
∴A （﹣8，0），B （0，6），
∵过点B 的直线l 平分△ABO 的面积，
∴AC ＝OC ， ∴C （﹣4，0），
设直线l 的解析式为y ＝kx +6，
把C （﹣4，0）代入得﹣4k +6＝0，
解得k ＝，
∴直线l的解析式为y＝x+6，
故选：D．
12．解：由函数图象可得，
a＜0，b＜0，c＞0，
则abc＞0，故①正确；
﹣＝，得a＝b，
∵x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，
∴6a+c＝0，
∴c＝﹣6a，
∴3a+c＝3a﹣6a＝﹣3a＞0，故②正确；
由图象可知，当x＜﹣时，y随x的增大而增大，当﹣＜x＜0时，y随x的增大而减小，故③错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与X轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（2，0），
∴ax2+bx+c＝0的两个根为x
1＝﹣3，x
2
＝2，
∴a+b+c（）2＝0的两个根为x
1＝﹣3，x
2
＝2，
∴一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x
1
＝﹣，故④正确；
∵该函数与x轴的两个交点为（﹣3，0），（2，0），
∴该函数的解析式可以为y＝a（x+3）（x﹣2），
当y＝﹣3时，﹣3＝a（x+3）（x﹣2）
∴当y＝﹣3对应的x的值一个小于﹣3，一个大于2，
∴若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，故⑤错误；
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．解：如图所示：快者的速度为：64÷8＝8（m/s），
慢者的速度为：（64﹣12）÷8＝6.5（m/s），
8﹣6.5＝1.5（米），
所以快者比慢者每秒多跑1.5米．
故答案为：1.5
14．解：∵二次函数y＝4x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，∴当y＝0时，方程0＝4x2﹣4x+n有两个相同的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×4n＝0，
解得，n＝1，
故答案为：1．
15．解：每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，
∵2020÷6＝371…4，
∴点P
的纵坐标为0，
2020
点的横坐标规律：，1，，2，，3，…，，
∴点P
的横坐标为1010，
2020
的坐标（1010，0），
∴点P
2020
故答案为（1010，0）．
16．解：∵反比例函数的图象y＝经过A（2，﹣4），B（m，2）两点，∴a＝2×（﹣4）＝2m，
解得m＝﹣4
∴点B（﹣4，2），
∴由函数的图象可知，当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值，故答案为x＜﹣4或0＜x＜2．
17．解：由图象可得，
该函数的对称轴是直线x＝＝1，当x＝3时，y＝3，该函数图象开口向上，故x＝3和x＝﹣1时的函数值一样，都是3，
则当y＜3时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
18．解：点运动一个半圆用时为＝4秒
∵2002＝1001×2
∴2002秒时，P在第1001个的半圆的中点处
∴点P坐标为（1001，1），
故答案为：（1001，1）．
三．解答题（共5小题）
19．解：（1）由表格可知，抛物线经过（1，2）、（3，2），∴对称轴为直线x＝＝2，
∴抛物线的顶点为（2，1），
设函数为y＝a（x﹣2）2+1．
∵函数的图象经过点（0，5），
∴5＝a×（﹣2）2+1．解得a＝1．
∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2+1（或y＝x2﹣4x+5）；
（2）由所给数据可知当x＝2时，y有最小值1，
∴二次函数的对称轴为x＝2．
∴x＝4时，y＝5，
∴当y＞5时，对应的x的范围为x＜0或x＞4，
故答案为x＜0或x＞4．
20．解：（1）把C（m，4）代入一次函数y＝﹣x+5，可得4＝﹣m+5，
解得m＝2，
∴C（2，4），
设l
2
的解析式为y＝ax，则4＝2a，
解得a＝2，
∴l
2
的解析式为y＝2x；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，C E＝2，在y＝﹣x+5中，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，∴A（10，0），B（0，5），
∴AO＝10，BO＝5，
∵S
△DOC ＝2S
△BOC
，
∴OD ×4＝2×
，
∴OD ＝5， ∴D 点的坐标为（5，0）或（﹣5，0）；
（3）一次函数y ＝kx +1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形，
∴当l 3经过点C （2，4）时，k ＝；
当l 2，l 3平行时，k ＝2；
当11，l 3平行时，k ＝﹣；
故k 的值为或2或﹣，
故答案为或2或﹣．
21．解：（1）∵区域①是正方形，区域②和③是矩形，
AG ：BG ＝3：2．设BG 的长为2x 米，则AG ＝3x ，
∴AP ＝GH ＝BE ＝PH ＝AG ＝3x ，
EH ＝GB ＝2x ，
DC ＝PE ＝AB ＝5x ，
∴DF ＝（96﹣3×5x ﹣3×3x ）＝48﹣12x ．
故答案为48﹣12x ．
（2）根据题意，得5x （48﹣12x ）＝180，
解得x 1＝1，x 2＝3
答：x 为1或3时，区域③的面积为180平方米；
（3）设区域③的面积为S ，
则S ＝5x （48﹣12x ）
＝﹣60x 2+240x
＝﹣60（x ﹣2）2+240
∵﹣60＜0，
∴当x ＝2时，S 有最大值，最大值为240
答：x 为2时，区域③的面积最大，为240平方米．
22．解：（1）∵反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A （3，4），
∴k＝xy＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）作AE⊥y轴于点E，交CD于点F，
则BE∥CD，
∴＝＝，
∵点A的坐标为（3，4），
∴EF＝1，FA＝2，
∴点F的横坐标为1，
∴点C的坐标为（1，12），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，
则点D的坐标为：（1，0），即CD＝12，
∴△ABC的面积＝×12×1+×12×2＝18；（3）不存在，
理由如下：设点C的坐标为（m，），
∵BC＝AC，
∴m2+（+2）2＝（3﹣m）2+（﹣4）2，整理得，6m2﹣21m+144＝0，
△＝212﹣4×6×144＜0，
则此方程无解，
∴点C不存在．
23．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6；
（2）△BCD的面积存在最大值，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+6，当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），
过点D作y轴的平行线交BC于点E，如图1所示：
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
把B（4，0），C（0，6）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，
∴设点E的坐标为（m，﹣m+6），
则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，△BCD的面积最大＝6，﹣m2+m+6＝6，
∵1＜m＜4，
此时点D的坐标为（2，6）；
（3）存在，理由如下：
（3）分情况讨论：
①当BD是平行四边形的一条边时，
如图2所示：
M、N分别有三个点，
设点N（n，﹣n2+n+6），
∵D（2，6），
∴点N的纵坐标为绝对值为6，
即|﹣n2+n+6|＝6，
解得：n＝2（舍去），或n＝0，或n＝1±，
故点N、N′、N″的横坐标分别为：0，1+，1﹣，
∵BD∥MN，B（4，0），D（2，6），
∴点M的坐标为：（2﹣0，0）或（1+﹣2，0）或（1﹣﹣2，0）；
即点M的坐标为：（2，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）；
②当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：
∵点B、D的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），
∴N与C重合，BM＝CD＝2，
∴M（4+2，0），即M（6，0）；
综上所述，存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．点M 的坐标为：（2，0）或（6，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）．。