电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)

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11年研究生试卷(答案)

解：T=1+2+1+2+1+3+4=13
五．(10分)今有赵、钱、孙、李、周五位教师，要承担语文、数学、物理、化学、英语五门课程。已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程，钱熟悉语文、数学、物理、英语四门课程，孙、李、周都只熟悉数学、物理两门课程。问能否安排他们都只上他们熟悉的一门课程，使得每门课程都有人教（用图论方法求解）。
3．设是图的推广邻接矩阵，则的行列元等于由中顶点到顶点的长度为_n_途径数目。
4．完全图的邻接矩阵的最大特征值为_n_。
5.不同构的3阶单图共有___4___个。
6.设阶图是具有个分支的森林，则其边数。
7. 阶树( )的点连通度为___1___；边连通度为____1___；点色数为__2___；若其最大度为，则边色数为___ __。
8.图是连通的，则中任意点对间至少有_k__条内点不交路。
9.5阶度极大非哈密尔顿图族为___ ___和__ _____。
10.完全图能够分解为个边不相交的一因子之并。
11. 设连通平面图具有5个顶点，9条边，则其面数为__6_； ( )阶极大平面图的面数等于__ ___； ( )阶极大外平面图的顶点都在外部面边界上时，其内部面共有个。
A1: LA, S ; A2: MA, LA, G ; A3: MA, G, LA;
A4: G, LA, AC ; A5: AC, LA, S ; A6: G, AC;
A7: GT, MA, LA ; A8: LA,GT, S ; A9: AC, S, LA;
A10: GT, S。人只上一门自己所熟悉的课程。
六．(6分)设是赋权完全偶图G=(V,E)的可行顶点标号，若标号对应的相等子图含完美匹配 ,则是G的最优匹配。

电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)

电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一.填空题(每题3分，共18分)1. 4个顶点的不同构的简单图共有__11—;2. 设无向图G中有12条边，已知G中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。

则G中顶点数至少有__9―;3. 设n阶无向图是由k(k 2)棵树构成的森林，则图G的边数m=_n-k _______4. 下图G是否是平面图？答—是___;是否可1-因子分解？答—是_.5. 下图G的点色数(G) __________ ,边色数(G) __5 ________ 。

图G二.单项选择(每题3分，共21分)1. 下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是(A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2. 已知图G如图所示，贝卩它的同构图是(D )3. 下列图中，是欧拉图的是(D)4. 下列图中，不是哈密尔顿图的是(B )ABC5.下列图中，是可平面图的图的是(B )6. 下列图中，不是偶图的是(B )7. 下列图中，存在完美匹配的图是(B )三. 作图(6分)1. 画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2. 画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图;3. 画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图;四. (10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。

解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五. (8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式P k (G e) P k (G) P 「(G?eh 可得G 的色多项式：P k (G) (k )5 3(k )4 侏)3、k(k 1)2(k 2)(k 3)。

六. (10分)一棵树有n 图个顶点的度数为2, n a 个顶点的度数为3,…，m 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1,求1度顶点的个数。

解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为 m.一方面：2m=n+2n 2+…+kn k另一方面： m= m+n 2+…+n k -1 解:由上面两式可得：n 1=门2+2皿+…+(k-1)n k七证明：(8分)设G是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G不含奇圈；(2) 若|X |工| Y |，则G是非哈密尔顿图。

电子科大12年研究生图论试卷

电子科技大学研究生试卷学号姓名学院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………（考试时间：至，共__2_小时）课程名称图论及其应用教师学时 60 学分教学方式讲授考核日期_2012__年___月____日成绩考核方式：（学生填写）一、填空题（填表题每空1分，其余每题2分，共30分)1．阶正则图G的边数=；2．3个顶点的不同构的简单图共有个；3．边数为的简单图的不同生成子图的个数有个；4. 图与图的积图的边数为；5. 在下图中，点到点的最短路长度为；6. 设简单图的邻接矩阵为，且，则图的边数为；7. 设是n阶简单图，且不含完全子图，则其边数一定不会超过；8．的生成树的棵数为;9. 任意图的点连通度、边连通度、最小度之间的关系为；10. 对下列图，试填下表（是类图的打〝√ 〞，否则打〝〞）。

①②③能一笔画的图Hamilton图偶图可平面图①√√②√√③√√√二、单项选择(每题2分，共10分)1．下面命题正确的是 ( B )对于序列，下列说法正确的是：(A) 是简单图的度序列；(B) 是非简单图的度序列;(C) 不是任意图的度序列;(D) 是图的唯一度序列.2．对于有向图，下列说法不正确的是 ( D )(A) 有向图中任意一顶点只能处于的某一个强连通分支中；(B) 有向图中顶点可能处于的不同的单向分支中;(C) 强连通图中的所有顶点必然处于强连通图的某一有向回路中;(D) 有向连通图中顶点间的单向连通关系是等价关系。

3.下列无向图可能不是偶图的是 ( D )(A) 非平凡的树；(B) 无奇圈的非平凡图；(C) 方体；注意：n方体是n正则二部图。

(D) 平面图。

4.下列说法中正确的是 ( C )(A) 连通3正则图必存在完美匹配；(B) 有割边的连通3正则图一定不存在完美匹配；(C) 存在哈密尔顿圈的3正则图必能1因子分解；(D) 所有完全图都能作2因子分解。

2014电子科技大学图论研究生试卷

1 电子科技大学研究生试卷（考试时间：至，共__2_小时）课程名称图论及其应用教师学时 60 学分教学方式讲授考核日期_2014__年_6__月__20__日成绩考核方式：（学生填写）一．填空题(每空2分，共20分) 1． n 阶简单k 正则图G 的补图的边数为_____。

2．4个顶点的不同构树的个数为________。

3．具有m 条边的简单图的不同生成子图的个数为____。

4．彼得森图的点连通度为_______。

5. n 点圈的2—宽直径为_______。

6. 2n 阶完全图共有_______个不同的完美匹配。

7. 设G 的阶数为n ，点覆盖数为β，则其点独立数为________。

8. 完全图21n K +能分解为________个边不重合的二因子之并。

9. 拉姆齐数(3,3)R =______。

10. n 完全图的不同定向方式有_______种。

二．单项选择(每题3分，共15分) 1．下面说法错误的是( ) (A) 在正常点着色下，图G 中的一个色组，在其补图中的点导出子图必为一个完全子图；学号姓名学院 …………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………(B) 若图G不连通，则其补图必连通；(C) 存在14阶的自补图；(D) 6阶图的补图可能是可平面图.2．下列说法错误的是（）(A) 一个非平凡图是偶图，当且仅当它不含有奇圈；(B) 超立方体图(n方体,1n≥)是偶图；(C) 非平凡森林是偶图；(D) 不含三角形的图都是偶图。

3.下面说法正确的是( )(A) k连通图的连通度一定为k；(B) 完全图一定没有割边；(C) (3)n n≥阶图G是块，则G中无环，且任意两点均位于同一圈上；(D) 非平凡树一定有割点。

4.下列说法错误的是( )(A) 若图G是哈密尔顿图，则其闭包一定为完全图；(B) 设(3)n n≥阶单图的任意两个不邻接顶点u与v满足()()d u d v n+≥，则其闭包一定为完全图；(C)若(n,m)单图G的边数112nm-⎛⎫>+⎪⎝⎭，且3n≥，则G是哈密尔顿图；(D) 若G是3n≥的非H单图，则G度弱于某个,m nC图。

图论习题

《图论及其应用》习题课教材杨春编电子科技大学应用数学学院内容提要本书主要对张先迪等编的研究生《图论及其应用》教材的习题进行解答。

该书可作为研究生图论教学的参考教材。

前言现实生活中，许多问题都可归结为一个由点和线组成的图形的问题。

例如，由点代表车站，线代表铁路线的铁路网络图；点代表路口，线代表街道的城市交通图；点代表管道接头，线代表管道的自来水供水系统；点代表电路的结点，线代表结点间的电气元件的电网络图；点代表网络的结点，线代表通讯线的通讯网络、计算机网络等等。

图论正是研究这些由点和线组成的“图形”问题的一门学科。

图论起源于18世纪，其第一篇论文是由欧拉（Euler，1707—1782）于1736年所完成。

这篇论文解决了一个当时还没有解决的著名问题—哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题（见第四章）。

这篇论文也使欧拉成为了图论和拓扑学的创始人。

图论诞生后，特别是近三十年来发展十分迅速，应用也十分广泛。

其应用已涉及物理学、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学、以及管理科学等诸多领域。

由于图论与计算机科学紧密相联系，近若干年来，在计算机科学、计算机网络的迅猛发展下，更拓展了图论的应用发展空间。

在计算机的许多领域内，它都占有一席之地。

图论在矩阵论、群论等其它一些数学分支中，也有其重要的应用。

张先迪等编的《图论及其应用》一书精选了内容广泛、难度各易的习题，其中的大多数习题都是对图论的进一步学习是应当掌握的。

本书依序将该书的重要内容摘要列出，并将全部习题给出了详细解答。

本书所涉及到的术语、符号与该书一致。

有些习题存在多种解法，在一般情况下，只给出一种解法供参考。

由于编者水平有限及编写时间的匆忙，书中难免出现一些缺点和错误，恳请同行专家及读者提出宝贵意见和建议，以使本书得以不断改进和完善。

编者2004．7目录第一章图的基本概念1.1 图和简单图1.2 子图与图的运算1.3 路与图的连通性1.4 最短路及其算法1.5 图的代数表示及其特征1.6 极图1.7 交图与团图习题1第二章树2.1 树的概念与性质2.2 树的中心与形心2.3 生成树2.4 最小生成树习题2第三章图的连通度3.1 割边、割点和块3.2 连通度3.3 应用3.4 图的宽距离和宽直径习题3第四章欧拉图与哈密尔顿图4.1 欧拉图4.2 高效率计算机鼓轮的设计4.3 中国邮路问题4.4 哈密尔顿图4.5 度极大非哈密尔顿图4.6 旅行售货员问题4.7 超哈密尔顿图4.8 E图和H图的联系4.9 无限图中的欧拉,哈密尔顿问题习题4第五章匹配与因子分解5.1 匹配5.2 偶图的匹配与覆盖5.3 Tutte定理与完美匹配5.4 因子分解5.5 最优匹配与匈牙利算法5.6 匹配在矩阵理论中的应用习题5第六章平面图6.1 平面图6.2 一些特殊平面图及平面图的对偶图6.3 平面图的判定及涉及平面性的不变量6.4 平面性算法习题6第七章图的着色7.1 图的边着色7.2 顶点着色7.3 与色数有关的几类图7.4 完美图7.5 着色的计数，色多项式习题27.6 List着色7.7 全着色7.8 着色的应用习题7第八章Ramsey定理8.1 独立集和覆盖8.2 Ramsey定理8.3 广义Ramsey数8.4 应用习题8第一章图的基本概念§1.1 图和简单图定义1 一个图G 定义为一个有序对(V , E )，记为G = (V , E )，其中（1）V 是一个非空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E 是由V 中的点组成的无序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在E 中可出现多次。

2019电子科技大学研究生试卷答案

2019电⼦科技⼤学研究⽣试卷答案电⼦科技⼤学研究⽣试卷（考试时间：⾄，共 2 ⼩时）课程名称图论及应⽤教师学时 60 学分 3 教学⽅式堂上授课考核⽇期 2019 年 5 ⽉⽇成绩考核⽅式：（学⽣填写）⼀．填空题(每空3分，共15分) 1. 图G 的邻接矩阵为0111101111001100?? ? ? ? ? ???, 则G 的⽣成树的棵数为 8 . 2. 设1G 是11(,)n m 简单图,2G 是22(,)n m 简单图,则1G 和2G 的(Cartesian)积图12G G ?的边数()m G =1221n m n m +. 3. 图1中最⼩⽣成树T 的权值()W T = 23 .4. 图2中S 到T 的最短路的长度为 8 .5. 设G 是n 阶简单图,且不包含三⾓形,则其边数⼀定不超过24n . ⼆．单项选择题(每题3分，共15分) 学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………⽆……………效……………………座位号图1 图21. 关于彼得森(Petersen)图, 下⾯说法正确的是 ( B )A. 彼得森图是哈密尔顿图;B. 彼得森图是超哈密尔顿图;C. 彼得森图可1-因⼦分解;D. 彼得森图是可平⾯图.2. 下⾯说法正确的是 ( C )A. 有割点的三正则图⼀定没有完美匹配;B. 有割边的三正则图⼀定没有完美匹配;C. 存在哈密尔顿圈的三正则图必能1因⼦分解;D. 正则的哈密尔顿图必能2因⼦分解.3. 关于图的度序列, 下⾯说法正确的是 ( B )A. 任意两个有相同度序列的图都同构;B. 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数⼩于等于图H 的边数;C. 若⾮负整数序列12(,,,)n d d d π=满⾜1ni i d =∑为偶数，则它⼀定是图序列;D. 如果图G 所有顶点的度和⼤于或等于图H 所有顶点的度和，则图G 度优于图H.4. 关于图的补图, 下⾯说法错误的是 ( A )A. 若图G 连通，则其补图必连通;B. 若图G 不连通，则其补图必连通;C. 图G 中的⼀个点独⽴集，在其补图中的点导出⼦图必为⼀个团;D. 存在5阶的⾃补图.5. 关于欧拉图, 下⾯说法正确的是 ( D )A. 每个欧拉图有唯⼀的欧拉环游;B. 每个顶点的度均为偶数的图是欧拉图;C. 欧拉图中⼀定没有割点;D. 欧拉图中⼀定没有割边.(三).(10分)若阶为25且边数为62的图G 的每个顶点的度只可能为3，4，5或6，且有两个度为4的顶点，11个度为6的顶点，求G 中5度顶点的个数。

2017图论电子科技大学研究生试卷答案

1电子科技大学研究生试卷（考试时间：至，共__2_小时）课程名称图论及其应用教师学时 60 学分教学方式讲授考核日期_2017__年_6__月__11__日成绩考核方式：（学生填写）一．填空题(每空5分，共25分)1.图1中顶点a 到顶点b 的距离(,)_________d a b =。

ab9 图112.已知图G 的邻接矩阵0110110100110100010110010A ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则G 中长度为2的途径总条数为_______。

3.图2中最小生成树T 的权值()_______W T =。

学号姓名学院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………12图224.图3的最优欧拉环游的权值为_______。

图35.树叶带权分别为1,2,4,5,6,8的最优二元树权值为()_______W T =。

二．单项选择(每题3分，共15分) 1．关于图的度序列，下列说法正确的是( )(A) 对任意一个非负整数序列来说，它都是某图的度序列；(B) 如果非负整数序列12(,,,)n d d d π=满足1ni i d =∑为偶数，则它一定是图序列；(C) 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数小于等于图H 的边数； (D). 如果图G 的顶点总度数大于或等于图H 的顶点总度数，则图G 度优于图H 。

2．关于图的割点与割边，下列说法正确的是（） (A) 有割边的图一定有割点； (B) 有割点的图一定有割边； (C) 有割边的简单图一定有割点； (D) 割边不在图的任一圈中。

33.设()k G ，()G λ，()G δ分别表示图G 的点连通度，边连通度和最小度。

下面说法错误的是( )(A) 存在图G ，使得()k G =()G δ=()G λ； (B) 存在图G ，使得()()()k G G G λδ<<；(C) 设G 是n 阶简单图，若()2n G δ⎢⎥≥⎢⎥⎣⎦，则G 连通，且()()G G λδ=；(D) 图G 是k 连通的，则G 的连通度为k 。

图论及其应用第一章答案

)2214(题后两个算法不作要求题，除第图的基本概念<1.>若G 是简单图，证明：()()2V G E G ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。

证明：()()1()()()1v Gd v V G d v V G V G ∈≤-∴≤-∑（当且仅当G 是完全图时取等号）又11()()()()122v G E G d v V G V G ∈=≤-∑ ()()2V G E G ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭。

<2.>设G 是(,)p q 简单图，且12p q -⎛⎫>⎪⎝⎭。

求证G 为连通图。

证明：反证法，假设G 为非连通图。

设G 有两个连通分支1G 和2G ，且112212()1,()1,V G p V G p p p p =≥=≥+= 则1212()()22p p E G E G q ⎛⎫⎛⎫+=≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而1211221(1)(1)(1)(2)222222p p p p p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221212121222()2()222p p p p p p p p p p +-+-+-+++-==12(1)(1)0p p =--≤（因为121,1p p ≥≥），矛盾。

<3.>超图H 是有序二元组((),())V H E H ，其中()V H 是顶点非空有限集合，()E H 是()V H 的非空子集簇，且()()i i E E H E V H ∈=。

其中，()E H 中的元素i E 称为超图的边，没有相同边的超图称为简单超图。

证明：若H 是简单超图，则21υε≤-，其中,υε分别是H 的顶点数和边数。

证明：()V H υ=，有一条边的子集个数为1υ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有i 条边的子集个数为,1,,.i n i υ⎛⎫= ⎪⎝⎭又02,211i i υυυυυυυ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 。

<4.>若G 是二部图，则2()()4V G E G ≤。

图论及应用习题答案

图论及应用习题答案图论及应用习题答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图论在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了许多领域，如计算机科学、通信网络、社交网络等。

本文将为读者提供一些关于图论及应用的习题答案，帮助读者更好地理解和应用图论知识。

1. 图的基本概念题目：下面哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 线段答案：D. 线段。

图的基本概念包括顶点、边和路径。

线段是指两个点之间的连线，而在图论中，我们使用边来表示两个顶点之间的关系。

2. 图的表示方法题目：以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 边列表D. 二叉树答案：D. 二叉树。

图的表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边列表。

二叉树是一种特殊的树结构，与图的表示方法无关。

3. 图的遍历算法题目：以下哪个不是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 迪杰斯特拉算法D. 克鲁斯卡尔算法答案：D. 克鲁斯卡尔算法。

图的遍历算法包括深度优先搜索和广度优先搜索，用于遍历图中的所有顶点。

迪杰斯特拉算法是用于求解最短路径的算法，与图的遍历算法有所不同。

4. 最小生成树题目：以下哪个算法不是用于求解最小生成树？A. 克鲁斯卡尔算法B. 普里姆算法C. 弗洛伊德算法D. 公交车换乘算法答案：D. 公交车换乘算法。

最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，使得树的边的权重之和最小。

克鲁斯卡尔算法和普里姆算法是常用的求解最小生成树的算法，而弗洛伊德算法是用于求解最短路径的算法，与最小生成树问题有所不同。

5. 图的应用题目：以下哪个不是图的应用？A. 社交网络分析B. 路径规划C. 图像处理D. 数字逻辑电路设计答案：D. 数字逻辑电路设计。

图的应用广泛存在于社交网络分析、路径规划和图像处理等领域。

数字逻辑电路设计虽然也涉及到图的概念，但与图的应用有所不同。

总结：图论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。

通过本文提供的习题答案，读者可以更好地理解和应用图论知识。

图论及其应用1-3章习题答案(电子科大) (1)

学号：201321010808 姓名：马涛习题14．证明图1-28中的两图是同构的证明将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。

6．设G 是具有m 条边的n 阶简单图。

证明：m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。

证明必要性若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m <n(n-1)⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n , 与已知矛盾！充分性若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 。

9.证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。

(a)v 1v 2 v 3 v 4v 5 v 6v 7v 8 v 9v 10 u 1 u 2u 3u 4u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)证明由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。

12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。

证明只就连通图证明即可。

设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。

若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈。

17.证明：若G 不连通，则G 连通。

证明对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。

2016年图论及其应用1-3章习题答案(电子科大)

习题1： 4,5,11,12,17,184．证明将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-28的两个图是同构的。

5.分析：四个顶点的简单图最少边数为 0，最多边数为 6，所以可按边数进行枚举。

11.证明由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列(7,6,5,4,3,3,2)不是图序列；(6,6,5,4,3,3,1)是图序列⇔（5，4，3，2，2，0）是图序列，然（5，4，2，2，0）不是图序列，所以(6,6,5,4,3,3,1) 不是图序列。

12.证明只就连通图证明即可。

设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,(a)v 1v 2v 3v 4 v 5 v 6v 7v 8 v 9v 10 u 1 u 2 u 3 u 4u 5 u 6u 7 u 8 u 9u 10(b)若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。

若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈。

17.证明对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。

18.证明: 因为e 只能属于G 的某一个连通分支,所以只需考虑G 是连通图的情况. 若G − e 仍然连通,则ω(G) = 1 = ω(G − e) < 2 = ω(G) + 1. 若G − e 不连通,则ω(G) = 1 < 2 = ω(G − e) = ω(G) + 1.习题2: 1,9,161. 证明设是非平凡树T 中一条最长路，若则与在中的邻接点只能有一个，否则，若与除了中顶点之外的其他顶点相连，则可以继续延长，这与是最长路是相矛盾的。

电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)

电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。

则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ≥2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。

图G图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3．下列图中，是欧拉图的是（ D ）4．下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5．下列图中，是可平面图的图的是（B ）A Bb c123A B 3CDAD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解：四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。

A B DC123A B DC解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k(G).解：用公式)()()(e G P G P e G P k k k •+=-，可得G 的色多项式：)3)(2()1()()(3)()(2345---=++=k k k k k k k G P k 。

六．(10分) 一棵树有n 2个顶点的度数为2，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。

电子科技大学图论及其应用第1章

例判断下面两图是否同构。
u1
v1
解两图不同构。若两图同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1与v1一定相对应，而u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不同，u1 邻接有4度点，而v1没有。所以，两图不同构。
例指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以可按边数进行枚举。解 (a) (b) (c)
四、顶点的度、度序列
设v为G 的顶点，G 中以v为端点的边的条数(环计算两次)称为点v的度数，简称为点v的度，记为dG (v)，简记为d(v)。相关术语和记号
G ：图G 的顶点的最小度
G ：图G 的顶点的最大度
奇点：度数为奇数的顶点偶点：度数为偶数的顶点 k-正则图: 每个点的度均为k 的简单图例如，完全图和完全偶图Kn, n 均是正则图。
完全偶图是指具有二分类(X, Y )的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若 |X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n。
例
偶图
不是偶图
例
G1
G2
K1, 3
K3, 3
四个图均为偶图
K1, 3, K3, 3为完全偶图
偶图是一种常见数学模型。
例学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号分别是 xi (i=1,2,3,4,5,6 )，六门课程代号是yi (i=1,2,3,4,5,6 )。已知教师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5；教师 x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3；教师x5能够胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。请画出老师和课程之间的状态图。解
dG (v) dG (v) n 1 。

电子科大研究生图论05-14年图论期末试题

亚特兰大：波士顿，芝加哥，迈阿密，纳什维尔
波士顿：亚特兰大，芝加哥，纳什维尔
芝加哥：亚特兰大，波士顿，丹佛，路易维尔
丹佛：芝加哥，路易维尔，迈阿密，纳什维尔
路易维尔：芝加哥，丹佛，迈阿密
迈阿密：亚特兰大，丹佛，路易维尔，纳什维尔
纳什维尔：亚特兰大，波士顿，丹佛，迈阿密
(要求用图论方法求解)
九．(8分)求下图G的色多项式Pk(G).
由T8导出的树中a到b路就是最短路。
2006研究生图论期末试题(120分钟)
一、填空题(15分，每空1分)
1、若两个图的顶点与顶点之间，边与边之间都存在对应，而且它们的关联关系也保持其关系，则这两个图同构。
2、完全图的生成树的数目为；阶为6的不同构的树有棵。
3、设无向图有12条边，已知中度为3的结点有6个，其余结点的度数均小于3，则
六．(10分)设是赋权完全偶图G=(V,E)的可行顶点标号，若标号对应的相等子图含完美匹配 ,则是G的最优匹配。
七.(10分)求证：在n阶简单平面图G中有，这里是G的面数。
八、(10分)来自亚特兰大，波士顿，芝加哥，丹佛，路易维尔，迈阿密，以及纳什维尔的7支垒球队受邀请参加比赛，其中每支队都被安排与一些其它队比赛(安排如下所示)。每支队同一天最多进行一场比赛。建立一个具有最少天数的比赛时间表。
2．设V(G)= ，则图的补图是（）
3.下列图中，既是欧拉图又是哈密尔顿图的是( )
4.下列说法中不正确的是( )
(A)每个连通图至少包含一棵生成树；
(B)k正则偶图(k>0)一定存在完美匹配；
(C)平面图 ,其中表示G的对偶图；
(D)完全图可一因子分解。
三、(10分)设图G的阶为14，边数为27，G中每个顶点的度只可能为3，4或5，且G有6个度为4的顶点。问G中有多少度为3的顶点？多少度为5的顶点？

2015电子科技大学研究生试卷

效无题院学答内名姓以线封号学密电子科技大学研究生试卷（考试时间：至，共__2_小时）课程名称图论及其应用教师学时60学分教学方式讲授考核日期_2015__年_6__月__26__日成绩考核方式：（学生填写）一．填空题 (每空 3 分，共 15 分)1.不同构的 3 阶简单图的个数为 _____。

2．图 1 中的最小生成树的权值为________。

3.基于图 2 的最优欧拉环游的总权值为__________ 。

4.图 3 中块的个数为_______。

61546321262227433833216图 1图 3图 25.图 4 中强连通分支的个数为________。

图41二．单项选择 (每题 3 分，共 15 分)1．关于图的度序列，下列命题错误的是( ) (A)同构的两个图的度序列相同；(B) 非负整数序列( d1, d2,n, d n ) 是图的度序列当且仅当d i是偶数；i1(C)如果非负整数序列 (d1 , d2 , , d n ) (n 2)是一棵树的度序列，那么序列中至少有两个整数的值为 1；(D). 如果非负整数序列(d1, d2,,d n ) 是简单图的度序列，那么在同构意义下只能确定一个图。

2．关于n阶简单图的邻接矩阵 A (a ij )n n，下列说法错误的是（）(A)矩阵 A 的行和等于该行对应顶点的度数；(B)矩阵所有元素之和等于该图边数的 2 倍；(C)不同构的两个图，它们的邻接矩阵特征谱一定不同；(D)非连通图的邻接矩阵一定可以表示为准对角矩阵形式。

3.关于欧拉图，下面说法正确的是()(A)欧拉图存在唯一的欧拉环游；(B)非平凡欧拉图中一定有圈；(C)欧拉图中一定没有割点；(D)度数为偶数的图一定是欧拉图。

4.关于哈密尔顿图，下列命题错误的是()(A)设G是n3的简单图，若其闭包是完全图，则G 是哈密尔顿图；(B)若 n 阶单图的闭包不是完全图，则它一定是非哈密尔顿图；2(C) 若G 是哈密尔顿图，则对于V 的每个非空顶点子集S ，均有(G S) S ；(D)若 G 是n 3的非 H 单图，则 G 度弱于某个C m,n图。

2013电子科大研究生图论考试附答案

1电子科技大学研究生试卷（考试时间：至，共__2_小时）课程名称图论及其应用教师学时 60 学分教学方式讲授考核日期_2013__年_6__月__20__日成绩考核方式：（学生填写）一．填空题(每空2分，共20分)1． n 阶k 正则图G 的边数m =_____。

2．4个顶点的不同构单图的个数为________。

3．完全偶图,r s K (,2r s ≥且为偶数)，则在其欧拉环游中共含____条边。

4．高为h 的完全2元树至少有_______片树叶。

5. G 由3个连通分支124,,K K K 组成的平面图，则其共有_______个面。

6. 设图G 与5K 同胚，则至少从G 中删掉_______条边，才可能使其成为可平面图。

7. 设G 为偶图，其最小点覆盖数为α，则其最大匹配包含的边数为________。

8. 完全图6K 能分解为________个边不重合的一因子之并。

9. 奇圈的边色数为______。

10. 彼得森图的点色数为_______。

二．单项选择(每题3分，共15分) 1．下面说法错误的是( )学号姓名学院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………2(A) 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个完全子图；(B) 若图G 连通，则其补图必连通； (C) 存在5阶的自补图； (D) 4阶图的补图全是可平面图. 2．下列说法错误的是（） (A) 非平凡树是偶图；(B) 超立方体图(n 方体,1n ≥)是偶图； (C) 存在完美匹配的圈是偶图； (D) 偶图至少包含一条边。

3.下面说法正确的是( )(A) 2连通图一定没有割点（假定可以有自环）； (B) 没有割点的图一定没有割边；(C) 如果3阶及其以上的图G 是块，则G 中无环，且任意两点均位于同一圈上；(D) 有环的图一定不是块。

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