甘肃省宁县二中高考数学平面向量多选题与热点解答题组合练及解析

甘肃省宁县二中高考数学平面向量多选题与热点解答题组合练及解析
一、平面向量多选题
1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22
,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集
合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,x
M x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )
A ．1M
B ．2M
C ．3M
D ．4M 【答案】BD
【分析】
根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．
【详解】
由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．
在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，
所以1M 不是“互垂点集”集合；
对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；
在x
y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；
对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合，
故选：BD ．
【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．
2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）
A ．72EA E
B EB E
C EC E
D ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅=
B ．56EA E
C EB E
D ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅=
D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=
【答案】BC
以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
作出图形如图所示，以O 为坐标原点，
线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ；
观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -，
设(),E x y ，则22
36x y +=， 故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--，
故ED =()2,2x y ---，
故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅
()()2
4144EA EC EB ED EO =+⋅+==， 56EA EC EB ED ⋅+⋅=.
故选：BC
3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C =
B ．0AB A
C ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是3
D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是
33
【答案】ACD
先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到
3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.
【详解】
依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，
所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==，
故选项A 正确；
222222
cos 22
b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯= 222
222.5 1.5 3.515028
k k +-==-<， 故选项B 不正确；
若6c =，则4k =，
所以14,10a b ==， 所以222106141cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =，
故ABC 的面积是：
11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =，
所以7,5,3a b c ===， 所以2225371cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：12sin a A ⨯=， 故选项D 正确；
故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设
4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.
4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）
A ．0OC EO +=
B ．0AB CE ⋅=
C ．3OA OB OC O
D +++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为76
【答案】BD
【分析】
可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D.
【详解】
因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，
所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，
则()0,0E ，()1,0A -，()10
B ,，(3
C ， 由2A
D DC =可得222333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭
， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且12
GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,2O ⎛ ⎝⎭
，
对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误；
对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；
对于C ，31,OA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，
31,OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,3OD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以13,33OA OB OC OD ⎛⎫+++=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以23OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，()
1,3BC =-，123,3ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，
所以ED 在BC 方向上的投影为127326BC ED BC
+⋅==，故D 正确. 故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.
5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）
A ．0OE OC +=
B ．1AB CE ⋅=-
C ．3OA OB OC ++=
D ．13D
E = 【答案】AC
【分析】
建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，
因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12
CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点，
A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确；
B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；
C ．因为()()()30,,1,0,1,0,0,32O A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以33331,1,0,0,OA OB OC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以3OA OB OC ++=
，故正确； D ．因为()123,
,0,03D E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以123,3
DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13DE =，故错误， 故选：AC.
【点睛】
关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.
6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足
20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ） A ．//PB CQ
B ．2133BP BA B
C =+ C ．0PA PC ⋅<
D ．2S =
【答案】BCD
【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确.
【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确；
因为
11
22
23
13
2
APQ
ABC
AB h
S
S AB h
⨯⨯
==
⋅
△
△
，所以，2
APQ
S=
△
，故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
7．在三棱锥P ABC
-中，三条侧棱,,
PA PB PC两两垂直，且3
PA PB PC
===，G是PAB
△的重心，E，F分别为,
BC PB上的点，且::1:2
BE EC PF FB
==，则下列说法正确的是（）
A．EG PG
⊥B．EG BC
⊥C．//
FG BC D．FG EF
⊥
【答案】ABD
【分析】
取,,
PA a PB b PC c
===，以{}
,,
a b c为基底表示EG，FG，EF，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案.
【详解】
如图，设,,
PA a PB b PC c
===，则{}
,,
a b c是空间的一个正交基底，
则0
a b a c b c
⋅=⋅=⋅=，取AB的中点H，则
22111
()
33233
PG PH a b a b
==⨯+=+，
1121111
,
3333333
EG PG PE a b b c a b c BC c b
=-=+--=--=-，
1111
3333
FG PG PF a b b a
=-=+-=，
11211
33333
EF PF PE b c b c b
⎛⎫
=-=-+=--
⎪
⎝⎭
，
∴0
EG PG
⋅=，A正确；0
EG BC
⋅=，B正确；()
FG BC R
λλ
≠∈，C不正确；
FG EF
⋅=，D正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
8．下列各式结果为零向量的有（ ）
A ．A
B B
C AC ++
B ．AB A
C B
D CD +++ C ．OA OD AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-
【答案】CD
【分析】
对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确.
【详解】
对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；
对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；
对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确；
对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确.
故选：CD
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ
B ．1233BP BA B
C =+ C ．0PA PC ⋅>
D ．4S =
【答案】BD
【分析】
利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D.
【详解】
由20PA PC +=，2QA QB =，
可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点，
且B 为AQ 的中点，如图所示：
对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点，
所以PB 与CQ 不平行，故A 错误；
对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+
=+-=+, 故B 正确；
对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误；
对于D ，设ABC 的高为h ，132ABC S
AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233
APQ S
AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD
【点睛】 本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题 10．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC = B ．AB BC = C ．AB CD AD BC -=+
D ．AD CD CD CB +=-
【答案】BCD 【分析】 由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】 菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；
因为AD CD BC CD BD +=+=， ||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.。