线性空间的应用
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411.1
为了节省开支 ，想要适当减少气象观测站。
问题：减少哪些气象观测站可以使所得降水量的信息仍然足够大？
解：用 分别表示气象观测站在1981-1990年内的降水量的列向量，
由于 是含有12个向量的十维向量组，所以该向量组必然相关。
若能求出一个最大无关组，则最大无关组所对应的气象站就可以将其他气象站的资料表示出来，因而其他气象站就是可以减少的。因此，最多只需要10个气象观测站。
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357.4
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1984
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311
502.4
254
245.6
324.8
401
下面通过用0，1数字组合的方法构成R=C=D=S=1的所有魔方（这里R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和），称之为基本魔方 。
若我们把每一个Durer魔方看成是一个矩阵，那么Durer可实行矩阵的数乘、加法运算。因此，可以通过已知的Durer魔方进行线性组合，构成新的Durer魔方，所有Durer魔方构成一个线性空间，记为V。V显然是一个有限维的线性空间。我们容易证明 是其一组基，这样我们就可以用
3. 向量在基因的“距离”中的应用
在ABO血型的人们中，对各种群体的基因频率进行了研究。如果把四种等位基因A1,A2,B,O区别开，有人报告了如下的相对频率：
爱斯基摩人f1k
班图人f2k
英国人f3k
朝鲜人f4k
A1
0.2914
0.1034
0.2090
0.2208
A2
0.0000
0.0866
0.0696
由 为列向量组作矩阵A，可以求出一个最大无关组：
故可以减少第11和12个观测站，可以使得到的降水量信息仍然足够大。当然，也可以减少另外两个观测站，只要这两个列向量可以由其他列线性表示。
注：如果确定只需要8个观测站，那么我们可以从上表中取某8年的数据（比如，最近8年的数据），组成含12个向量的向量组，然后求其最大无关组，则必有4个向量可由其他向量线性表示。这4个向量所对应的气象观测站就可以减少。
X4
X5
X6
X7X8X9源自X10X11x12
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1983
由此可见最小的基因“距离”是爱斯基摩人和英国人之间，最大的基因“距离”是爱斯基摩人和班图人之间。
另一种度量方法是考虑在四维向量空间中，这些向量（ ）都是单位向量，它们的终点都位于一个球心在原点半径为1的球面上，现在用两个向量的夹角来表示对应的群体间的基因“距离”是合理的。
以上两种度量方法的结果是一致的。
此魔方中，每行、每列、对角线上的数字加在一起其和为34，若用水平线盒垂直线把它四个小方块每个小方块的数字和也是34，若把四个角上的数字相加，其和仍是34。另外15，14排在最后一行，正好是铜币的铸造时间。
我们可以经过一些换行、列的交换，通过旋转，通过中间轴和对角线的映射，得到一些新的Durer魔方，那么有多少个可定义的Durer魔方？是否有构成所有魔方的方法？我们说有。
0.0000
B
0.0316
0.1200
0.0612
0.2069
O
0.6770
0.6900
0.6602
0.5723
合计
1
1
1
1
现在的问题是：一个群体与另一个群体的接近程度如何？换句话说，就是要找到一个表示基因距离的合适的度量。
解：解决这个问题可以用向量的方法。首先我们用单位向量表示每一个群体，为此对各个群体向量单位化：
线性空间的应用
1.Durer 魔方
1514年，德国著名的艺术家Albrecht Durer（1471-1521）曾铸造过一枚名为的铜币，这枚铜币的画面充满了数学符号、数字及几何图像。这里，我们可以看一下铜币右上角的数字问题，这是一个自然数组成的方块（可以看作一个矩阵），称之为Durer魔方（如果一个 数字矩阵，它的每一行，每一列，每一对角线以每小方块上的数字相加）。其形式为
1988
453.4
365.5
357.6
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192.6
H=N=R=C=46
其中H为主对角线和，N为次对角线和，B的基为
Botsch于1967年证明了可以构造大量的V子空间或V的扩张空间，对于1—16之间的每一个数K，都存在K维 方阵构成的线性空间。
2.向量在的调整气象观测站问题中应用
某地区有12个气象观测站，10年来各观测站的年降水量如下表。
X1
X2
X3
的线性组合来表示Durer魔方，例如
改变对Durer魔方数字和的要求，我们可以利用线性子空间的定义，构造V的子空间或者包含V的子空间。例如求行和，列和及两条对角线上的元素和相等，得到8维线性空间Q，基向量为 ，其中 是V的基，而
例如： R=C=D=30
V是Q的7维子空间。例如要求列和、行和及每条主、次对角上数字和都相等，得5维向量空间B
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为了节省开支 ，想要适当减少气象观测站。
问题：减少哪些气象观测站可以使所得降水量的信息仍然足够大？
解：用 分别表示气象观测站在1981-1990年内的降水量的列向量，
由于 是含有12个向量的十维向量组，所以该向量组必然相关。
若能求出一个最大无关组，则最大无关组所对应的气象站就可以将其他气象站的资料表示出来，因而其他气象站就是可以减少的。因此，最多只需要10个气象观测站。
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下面通过用0，1数字组合的方法构成R=C=D=S=1的所有魔方（这里R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和），称之为基本魔方 。
若我们把每一个Durer魔方看成是一个矩阵，那么Durer可实行矩阵的数乘、加法运算。因此，可以通过已知的Durer魔方进行线性组合，构成新的Durer魔方，所有Durer魔方构成一个线性空间，记为V。V显然是一个有限维的线性空间。我们容易证明 是其一组基，这样我们就可以用
3. 向量在基因的“距离”中的应用
在ABO血型的人们中，对各种群体的基因频率进行了研究。如果把四种等位基因A1,A2,B,O区别开，有人报告了如下的相对频率：
爱斯基摩人f1k
班图人f2k
英国人f3k
朝鲜人f4k
A1
0.2914
0.1034
0.2090
0.2208
A2
0.0000
0.0866
0.0696
由 为列向量组作矩阵A，可以求出一个最大无关组：
故可以减少第11和12个观测站，可以使得到的降水量信息仍然足够大。当然，也可以减少另外两个观测站，只要这两个列向量可以由其他列线性表示。
注：如果确定只需要8个观测站，那么我们可以从上表中取某8年的数据（比如，最近8年的数据），组成含12个向量的向量组，然后求其最大无关组，则必有4个向量可由其他向量线性表示。这4个向量所对应的气象观测站就可以减少。
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X5
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X7X8X9源自X10X11x12
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由此可见最小的基因“距离”是爱斯基摩人和英国人之间，最大的基因“距离”是爱斯基摩人和班图人之间。
另一种度量方法是考虑在四维向量空间中，这些向量（ ）都是单位向量，它们的终点都位于一个球心在原点半径为1的球面上，现在用两个向量的夹角来表示对应的群体间的基因“距离”是合理的。
以上两种度量方法的结果是一致的。
此魔方中，每行、每列、对角线上的数字加在一起其和为34，若用水平线盒垂直线把它四个小方块每个小方块的数字和也是34，若把四个角上的数字相加，其和仍是34。另外15，14排在最后一行，正好是铜币的铸造时间。
我们可以经过一些换行、列的交换，通过旋转，通过中间轴和对角线的映射，得到一些新的Durer魔方，那么有多少个可定义的Durer魔方？是否有构成所有魔方的方法？我们说有。
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B
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现在的问题是：一个群体与另一个群体的接近程度如何？换句话说，就是要找到一个表示基因距离的合适的度量。
解：解决这个问题可以用向量的方法。首先我们用单位向量表示每一个群体，为此对各个群体向量单位化：
线性空间的应用
1.Durer 魔方
1514年，德国著名的艺术家Albrecht Durer（1471-1521）曾铸造过一枚名为的铜币，这枚铜币的画面充满了数学符号、数字及几何图像。这里，我们可以看一下铜币右上角的数字问题，这是一个自然数组成的方块（可以看作一个矩阵），称之为Durer魔方（如果一个 数字矩阵，它的每一行，每一列，每一对角线以每小方块上的数字相加）。其形式为
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H=N=R=C=46
其中H为主对角线和，N为次对角线和，B的基为
Botsch于1967年证明了可以构造大量的V子空间或V的扩张空间，对于1—16之间的每一个数K，都存在K维 方阵构成的线性空间。
2.向量在的调整气象观测站问题中应用
某地区有12个气象观测站，10年来各观测站的年降水量如下表。
X1
X2
X3
的线性组合来表示Durer魔方，例如
改变对Durer魔方数字和的要求，我们可以利用线性子空间的定义，构造V的子空间或者包含V的子空间。例如求行和，列和及两条对角线上的元素和相等，得到8维线性空间Q，基向量为 ，其中 是V的基，而
例如： R=C=D=30
V是Q的7维子空间。例如要求列和、行和及每条主、次对角上数字和都相等，得5维向量空间B