无锡市无锡一中选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测题(包含答案解析)

一、填空题
1．已知F 是双曲线22
1412
x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则
PF PA +的最小值为________．
2．已知圆的方程为224x y +=，若抛物线过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________.
3．已知椭圆22
:143
x y C +=过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 位于x 轴上
方），若2AF FB =，则直线l 的斜率k 的值为__________．
4．与双曲线22
142x y -=有相同的渐近线，且过点(2,1)P 的双曲线标准方程为__________.
5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶
点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，满足
tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为__________.
6．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>与圆222
2:,C x y b +=若在椭圆1C 上存在点P ，过
P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得,3
BPA π
∠=则椭圆1C 的离心率的取值范围是
_____.
7．已知1F ，2F 分别为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P
是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为_______.
8．若点(,)x y 在双曲线2
214
x
y -=上，则232x y -的最小值是____________．
9．已知1F 为双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段
1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的
离心率为______.
10．已知椭圆的方程为22
12516
x y +=，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 点的坐标为
(2,1)，P 为椭圆上一点，则2||||PA PF +的最大值是___________.
11．若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
145
x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为
____．
12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||3||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值是________. 13．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1） 能使抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_____．
二、解答题
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分
别为1F ，2F ，焦距为2，点P 是椭圆上的动点，且12PF F △的面积的最大值为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且l 与直线2x =-相交于Q ．点T 是x 轴上一点，若总有0PT QT ⋅=，求T 点坐标．
15．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点A 作圆()2
22:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；
（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同
于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
16．已知椭圆M ：22
213
x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，
B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于
C ，
D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 方程；
（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；
（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．
17．已知双曲线1C 的方程为22
143x y -=，椭圆2C 与双曲线有相同的焦距，1F ，2F 是椭圆
的上、下两个焦点，已知P 为椭圆上一点，且满足12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9. （1）求椭圆2C 的标准方程；
（2）点A 为椭圆的上顶点，点B 是双曲线1C 右支上任意一点，点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.
18．设12,F F 为椭圆2
22:1(1)x C y a a
+=>的两个焦点，直线l 与C 交于,A B 两点．
（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F △是直角三角形，求a 的值； （2）若2a =，且1
4
OA OB k k ⋅=-，求证：OAB 的面积为定值．
19．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>过点(0,2)A -，且椭圆C 的右顶点B 到直线
20x y ++=的距离为4．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过点()20P ，
且与直线AB 平行的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，求OMN 的面积(O 为坐标原点)．
20．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>33,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上． （1）求椭圆的方程；
（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的上、下焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、
B ，求1F AB 的内切圆的半径的最大值．
21．已知命题p ：方程2
2112x y m m +
=-+表示双曲线；命题q ：方程22
212x y
m m
+=表示焦
点在x 轴上的椭圆.若,p q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.
22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 过点32⎛ ⎝⎭
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知O 为原点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB 的面积的最大值.
23．已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得
到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB 长为
5
，求直线l 的倾斜角．
24．已知圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(,0)(02)A n n <<的直线l 与
椭圆C 相交于P ，Q 两点，当1n =，l x ⊥轴时，||PQ =
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若l 不垂直于坐标轴，且在x 轴上存在一点(,0)B m ，使得PBA QBA ∠=∠成立，求m 的取值范围．
25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为2的一点P 到焦点的距离为3. （1）求抛物线C 的方程；
（2）设动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点， 直线OA ，OB 的斜率分别为12,k k ，且122k k ⋅=-，证明：直线l 经过定点，求出定点的坐标.
26．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求
m 的值.
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一、填空题
1．【分析】作出图形设双曲线的右焦点为根据双曲线的定义可得可得出利用三点共线时取得最小值即可得解【详解】对于双曲线则如下图所示：设双曲线的右焦点为则由双曲线的定义可得则所以当且仅当三点共线时等号成立因此
解析：9
【分析】
作出图形，设双曲线的右焦点为M ，根据双曲线的定义可得4PF PM =+，可得出
4PF PA PM PA +=++，利用A 、P 、M 三点共线时PF PA +取得最小值即可得
解. 【详解】
对于双曲线22
1412
x y -=，则2a =，23b =，4c =，如下图所示：
设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，
由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+， 所以，()
()2
2
44144049PF PA PM PA AM +=++≥+=-+-=，
当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立. 因此，PF PA +的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】
关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
2．【分析】根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍即所以焦点的轨迹方程是以和为焦
点的椭圆由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程【详解】解：设抛物线焦
解析：22
143
x y +=(0)y ≠
【分析】
根据题意可知：焦点到A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和；而距离之和为
A 和
B 的中点O 到准线的距离的二倍，即24r =，所以焦点的轨迹方程
C 是以A 和B 为
焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点F 的轨迹方程. 【详解】
解：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线1AA ，1BB ，1OO ， 则|有11124AA BB OO +==； 由抛物线定义得11AA BB FA FB +=+，
4FA FB ∴+=，
故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，
∴ 抛物线的焦点轨迹方程22143
x y +=(0)y ≠.
故答案为：22
143
x y +=(0)y ≠.
【点睛】
关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点F 的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．
3．【分析】由题可得联立直线与椭圆利用韦达定理建立关系即可求出【详解】由题点A 位于轴上方且则直线l 的斜率存在且不为0设则可得设直线l 方程为联立直线与椭圆可得解得则直线的斜率为故答案为：【点睛】方法点睛：
解析：2
±
【分析】
由题可得122y y -=，联立直线与椭圆，利用韦达定理建立关系即可求出. 【详解】
由题，点A 位于x 轴上方且2AF FB =，则直线l 的斜率存在且不为0，
()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，则可得122y y -=，
设直线l 方程为1x ty =+，
联立直线与椭圆22
143
1x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
可得()22
34690t y ty ++-=，
122122634934t y y t y y t ⎧
+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=
⎪+⎩
，2222269,23434t y y t t -∴=-=++，
2
22
6923434
t t t -⎛⎫∴-= ⎪++⎝⎭
，解得t =
则直线的斜率为±.
故答案为：. 【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.
4．【分析】设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为把点代入求出得解【详解】设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为把点代入得：∴所求双曲线方程为故答案为:【点睛】本题考查双曲线方程的求法考查双曲线的性质等基础
解析：2
212
x y -=
【分析】
设双曲线22142x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为22
42
x y λ-=，
0λ≠（），把点(2,1)P 代入，求出λ得解．
【详解】
设双曲线22142x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为22
42
x y λ-=0λ≠（）
把点(2,1)P 代入，得：1
2
λ=
∴所求双曲线方程为222
2114222x y x y -=⇒-=．
故答案为:2
212
x y -=
【点睛】
本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
5．或【分析】设出点坐标求得的表达式求得代入直线的斜率公式可得答案【详解】依题意设则即化简得由于是椭圆的左右顶点所以所以所以所以或所以当时当时所以直线的斜率为或故答案为：或【点睛】本小题主要考查椭圆的几
解析：
2
或12
- 【分析】
设出P 点坐标，求得tan +tan αβ的表达式，求得00x y ，，代入直线的斜率公式可得答案. 【详解】
依题意1,22c b a b a a ====.设()()000,0P x y x ≠，则2200221x y a b +=，即
22
002
214
x y a a +=，化简得222
004y x a -=-. 由于,A B 是椭圆的左右顶点，所以()(),0,,0A a B a -，所以
tan +tan αβ0000+y y x a x a =
+-0000022200022142x y x y x
x a
y y ===-=--，
所以002x y =-
，所以0024x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或002
4x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，
所以当0024x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，tan
α002y x a ===+，
当0
024x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
时，002y x a ===+PA
或12
，
故答案为：2
或
12
. 【点睛】
本小题主要考查椭圆的几何性质，直线的斜率公式，关键在于求得点P 的坐标，属于中档题.
6．【分析】根据得到得到根据得结合可解得结果【详解】因为所以（为坐标原点）所以因为所以所以又所以即所以又所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率的取值范围解题关键是找到关于的不等关系本题
解析：
12
e ≤< 【分析】 根据,3
BPA π
∠=
得到6
BPO π
∠=
得到||2OP b =，根据||b OP a <≤得2b a ≤，结合
222b a c =-可解得结果. 【详解】
因为3BPA π∠=
，所以6
BPO π
∠=
（O 为坐标原点），所以||2||2OP OB b ==，
因为||b OP a <≤，所以2b a ≤，所以2240a b -≥，又222b a c =-，
所以222430a a c -+≥，即2234a c ≤，所以c e a =≥
，又01e <<，
1e ≤<.
1e ≤< 【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率的取值范围，解题关键是找到关于,,a b c 的不等关系．本题中根据圆的切线的夹角求出||2||2OP OB b ==，根据||b OP a <≤得到所要求的不等关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
7．【分析】由题意可计算出由是腰长为4的等腰三角形且点在第二象限可得的值过作于点可得的值可得的面积【详解】解：由题意知则又∴由椭圆的定义得又是腰长为4的等腰三角形且点在第二象限∴过作于点则∴的面积为故答
【分析】
由题意可计算出2c =，3c =，由12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象
限，可得2PF 、1PF 的值，过2F 作21F D PF ⊥于点D ，可得PD ，2DF 的值，可得12PF F △的面积.
【详解】
解：由题意知24c =，则2c =， 又2
3
c e a =
=，∴3a =，由椭圆的定义得1226PF PF a +==， 又12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，∴24PF =，12=PF ，
过2F 作21F D PF ⊥于点D ，则1PD =，2DF =
∴12PF F △的面积为1
22
⨯=
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及简单的几何性质、三角形面积的计算，考查学生的逻辑推理能力、数学计算能力，属于中档题.
8．【分析】根据点在曲线上可以二元化一元得到再由二次函数的性质得到结果【详解】点在双曲线上故进而得到：二次函数对称轴为结合二次函数图像及性质可知最小值为时对应的值为故答案为【点睛】这个题目考查了双曲线的 解析：
143
12
【分析】
根据点在曲线上可以二元化一元得到(
)2
2
2
32314212212x y y y y
y -=+⨯-=-+再由
二次函数的性质得到结果. 【详解】
点(),x y 在双曲线22
14x y -=上，故2214
x y =+，
进而得到：(
)2
2
232314212212x y y
y y y -=+⨯-=-+，二次函数对称轴为1
12
y =
，结合二次函数图像及性质可知最小值为1
12y =
时对应的值为
14312
. 故答案为
143
12
. 【点睛】
这个题目考查了双曲线的几何意义的应用，根据点在曲线上可以二元化一元，最终转化为二次函数求最值的问题，结合图像性质即可得到结果.
9．【分析】先取的中点证明是的中点再设得到最后建立方程并求双曲线的离心率即可【详解】设为双曲线的右焦点取的中点则如图因为所以是的中点则设则因为所以则又因为所以即该双曲线的离心率故答案为：【点睛】本题考查
【分析】
先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65t a =
，1185
PF a =，285
PF a =，最后建立方程222
1212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.
【详解】
设2F 为双曲线22
221x y a b
-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.
因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，21
2
OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2
t AM =. 因为2
2
2
OM AM
OA =+，所以65t a =，则1185PF a =，285
PF a =.
又因为22
2
12
12PF PF F F +=，所以29725
e =
， 即该双曲线的离心率97
5
e =
.
97. 【点睛】
本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.
10．【分析】本题先根据已知求出再求最后转化即可解题【详解】解：∵椭圆的方程为∴则∵∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值椭圆的标准方程求是中档题 解析：1026+【分析】
本题先根据已知求出2a 、c ，再求1||AF 、12||||10PF PF +=，最后转化2||||PA PF +即可解题. 【详解】
解：∵椭圆的方程为22
12516x y +
=，∴225a =，2229c a b =-=，则210a =，3c =， ∵(2,1)A ，1(3,0)F -，∴221||(23)(10)26AF =++-=
∵12||||210PF PF a +==，
∴211||||10||||10||10PA PF PA PF AF +=+-≤+=
故答案为：10+【点睛】
本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值、椭圆的标准方程求a ，b ，c ，是中档题.
11．6【解析】因为双曲线的右焦点为所以
解析：6 【解析】
因为双曲线22145
x y -=的右焦点为(3,0) ，所以3,62p p ==
12．【分析】转化条件得点则利用基本不等式即可得解【详解】由题意可知点设由可得则点当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质平面向量的应用以及基本不等式的应用属于中档题
解析：
3
【分析】
转化条件得点2
003,884y y p M p ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，则001322OM k y p y p
=+
，利用基本不等式即可得解. 【详解】 由题意可知点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，0p >， 设()2000,02y P y y p ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，由||3||PM MF =可得4PF MF =， 则200,884y y p MF p ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭，∴点2
003,884y y p M p ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭,
∴020
014
3332288OM y k y p y p y p
p
=
=
≤
=++，当且仅当00322y p y p =
时等号成立.
【点睛】
本题考查了抛物线的性质、平面向量的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.
13．②⑤【分析】设抛物线方程为根据抛物线的定义焦半径公式直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论【详解】设抛物线方程为②③抛物线上
横坐标为1的点到焦点的距离等于6可得解得抛物线方程为舍去；②④抛物线的
解析：②⑤ 【分析】
设抛物线方程为2
2y px =．根据抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论． 【详解】
设抛物线方程为2
2y px =．
②③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6，可得162
p
+
=，解得10p =，抛物线方程为2
20y x =，舍去；
②④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5，可得25()222
p
p =⨯，解得52
p =
，可得抛物线方程为25y x =．
②⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)，可得：111
222
p ⨯=--
，解得5p =，可得抛物线方程为210y x =，因此正确．
能使抛物线方程为2
10y x =的条件是②⑤． 故答案为：②⑤． 【点睛】
本题考查了抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、解答题
14．（Ⅰ）2
212
x y +=；（Ⅱ）点T 的坐标为(1,0)-．
【分析】
（Ⅰ）根据题意得出2221
21222c b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
，解出,a b 即可得出椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线方程，联立直线与椭圆，利用0∆=得出2221m k =+，表示出
21,k P m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，(2,2)Q m k --，再利用0PT QT ⋅=即可得出. 【详解】
解：（Ⅰ）依题意得222
1
21
222c b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以椭圆的方程为2
212
x y +=．
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l 与直线2x =-无交点，不符合题意， 故直线l 的斜率一定存在，设其方程为y kx m =+，
由22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222
214220k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，
所以(
)(
)
2
2
2
2
1681210k m m k ∆=--+=，化简得2221m k =+， 所以214242=-=-
+P km k k x m ，2-=P
k x m ，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 因为直线l 与直线2x =-相交于Q ，所以(2,2)Q m k --，设(),0T t ， 所以22(2)10k k TP TQ t t m m ⎛⎫
⋅=----+-= ⎪⎝⎭
， 即21(1)0k t t m ⎛⎫
+++=
⎪⎝⎭
对任意的k ，m 恒成立， 所以10t +=，即1t =-，所以点T 的坐标为(1,0)-． 【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.
15．（1）2
212
x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析.
【分析】
（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法
一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值. 【详解】
（1）由已知可得，222
21
1122b b b a a
=⎧⎧=⎪⇒⎨⎨==
⎩⎪⎩，所求椭圆的方程为2
212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点
(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=
法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +⋅++⋅=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +⋅++⋅=，即111x y +=同理设另一个切点22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线方程为
0x y +=
法三 ,S T 在AM 为直径的圆：2
2
111
()()2
2
2
x y ++-=
上，由两圆相减得ST 的方程为0x y +=
（3）法一设切线方程为1y kx =+
r =，即222(1)210r k k r --+-=，
由0∆>
得(01)r r <<
≠
设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以 121k k ⋅=；
联立 22
1
22
y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 可得2212k )40x kx ++=（，设1122(:),(:)B x y D x y 则由韦达定理得124,12k x k -=+2
12
1212k y k
-=+； 由121k k ⋅=得22
4,2k x k -=+ 2222
2
k y k -=+， 直线BD 的斜率221211
y y k x x k
-+=-- ∴直线BD 的方程为2222
2114()2112k k k
y x k k k
-++=-+++ 整理得21
3k y x k
+=--，
故直线BD 过定点(0,3).-
法二设切线方程为1y kx =+
r =，即222(1)210r k k y --+-=，
设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以121k k ⋅=；
可设BD 的直线方程为y mx t =+ 22
22
y mx t x y =+⎧⎨
+=⎩ 可得222
12m )4220x tmx t +++-=（，设1122(:),(:)B x y D x y ，由韦达定理得
122412tm x x m ∴+=-+，21222t 2
12m x x -=+，
121212111y y k k x x --=
⨯= 代入1212
111mx t mx t x x +-+-⨯= 2212121)(1)()(1)0m x x m t x x t -+-++-=（
将韦达定理代入得
22
2
22
21)41)(1)(1)01212t tm m m t t m m
---+-+-=++（（ 化简得 3t =-或1t =(舍去)
故直线BD 的直线方程为3y mx =-，直线BD 经过定点(0,3)-. 【点睛】
关键点点睛：本题第三问求直线过定点问题，关键一点时利用切线方程1y kx =+与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求出121k k =，围绕着这个条件，利用坐标表示，得到直线所过的定点.
16．（Ⅰ）22
143
x y +=；（Ⅱ）247；（Ⅲ）12||S S -
【分析】
（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果； （Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；
（Ⅲ）设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立直线l 与椭圆M 的方程，利用韦达定理求出12y y +，12||S S -=2
12||
34
t t +，变形后利用基本不等式可求得最大值. 【详解】
（Ⅰ）因为椭圆的焦点为()1,0F -，所以1c =且23b =，所以222314a b c =+=+=，
所以椭圆M 方程为22
143
x y +=.
（Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l 的方程为1y x =+，
联立22114
3y x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得27880x x +-=，
设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1287
x x +=-
，1287x x =-，
所以||CD =247=. （Ⅲ）由（Ⅰ）知(2,0),(2,0)A B -，
设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，
联立221
14
3x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22
(34)690t y ty +--=，
则122634t
y y t +=
+，123
934
y y t =-+0<，所以12,y y 异号， 所以121211|||
4||4|||22S S y y -=⨯-⨯⨯122||||||y y =-122||y y =+212||
34
t t =+ 1243||||
t t =
+
≤
=
=
当且仅当||t =.
所以12||S S -
. 【点睛】
关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用,C D 两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.
17．（1）221169y x +=；（2）()2
22413
y x --=（1≥x ）. 【分析】
（1）根据条件先求解出双曲线的半焦距c ，然后结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义求解出椭圆方程中2a 的值，从而椭圆方程可求；
（2）设(),M x y ，()00,B x y ，根据条件用M 点的坐标表示出B 点的坐标，再根据B 在双曲线上求解出,x y 满足的等式即为轨迹方程. 【详解】
（1）设双曲线的半焦距为c ，由题2
437c =+=，设椭圆方程22
221y x
a b
+=（0a b >>）.
∴12222
1212
1
924282PF PF PF PF c PF PF a
⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪+=⎪⎪⎩
，∴2221212142+4=64a PF PF PF PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+
∴2
16a =，∴2
2
2
1679b a c =-=-=，∴2:C 221169
y x +=；
（2）由题点()0,4A .设双曲线右支上任意一点B 的坐标为()00,x y ，AB 中点M 的坐标为(),x y ，
则00
242x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，∴00224x x y y =⎧⎨=-⎩，
又点B 在双曲线上，∴22
00
143
x y -=
∴
()2
22413
y x --
=（1≥x ）.
【点睛】
结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P ，焦点为12,F F ，且12F PF θ∠=，则有：
（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2
tan
2
b θ
（b 为短轴长度一半）；
（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2
tan 2
b θ（b 为虚轴长度一半）.
18．（1
）a =2）证明见解析 .
【分析】
（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，则短轴与焦距相等，即1b c ==，结合
222a b c =+即可求得a 的值；
（2）讨论l 存在与不存在：
a.当直线l 斜率存在，通过条件解出点A 坐标，将OAB 的面积用点A 坐标算出来；
b.当直线l 斜率不存在，设出直线:l y kx m =+方程，联立椭圆方程消去y ，用设而不求法将弦长AB 表示出来，将点O 到直线l 的距离d 用距离公式表示出来，根据面积公式
1||2
S AB d =
⋅，结合1
4OA OB k k ⋅=-化简即可.
【详解】 解：（1）由题知12MF F △是等腰直角三角形，且1b =，
∴1b c ==，
所以2222a b c =+=，解得
2a =，
故2
a =
．
（2）证明：当2a =时，椭圆方程22
44x y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，
由1
4
OA OB k k ⋅=-知121214y y x x ⋅=-即12124x x y y =-，
①若直线l 垂直于x 轴，则OA OB k k =-，不妨设110,0x y >> 此时，2
111,24OA k x y =
=又221144x y +=解得1122,2
x y == 1222122
OAB
S
=⨯⨯⨯=
②若直线l 斜率存在，设方程为y kx m =+ 由22
,44,
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩整理得()222
148440k x kmx m +++-=， 22Δ6416160k m =-+>，
所以2121222
844
,1414km m x x x x k k
--+==++， 所以()()()2
2
12121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++
2222
2
222
4484141414m km m k k km m k k k
---=++=+++， 所以22222
44441414m m k k k
--=-⨯++，所以22
241m k -=，即22214m k =+ 所以()
2
2
1212||14AB k x x x x =++-
2
22222
222
844412114141414||km m k m k k k k k m --++⎛⎫=+-⨯== ⎪+++⎝⎭
因为O 到直线y kx m =+的距离2
1d k
=
+，
所以221121||1221OAB
k S
AB d k
+=⨯⨯=⨯⨯=+，
综上，AOB 面积为定值1．
【点睛】
直线与椭圆相交问题求解策略：
（1）解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；
（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
19．（1）22
182
x y +=；（23
【分析】
（1）根据点(0,2)A 得2b =
B 到直线220x y ++=的距离为4得
22a =
（2）求出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设()11,M x y ，()22,N x y ，求出12||y y -，利用1212111
222
S OP y OP y OP y y =
+=⨯⨯-可求出面积.
【详解】 （1
）由题得b =
因为椭圆C 的右顶点(,0)B a
到直线0x y ++=的距离为4．
4=
，解得a =
故椭圆C 的标准方程为22
182
x y +=．
（2
）由题意知1
(0,2
AB A B k ∴= 所以直线l 的方程为220x y --=
联立22220182x y x y --=⎧⎪⎨+
=⎪⎩
，消去x 并整理得2
2210y y +-=，
设()11,M x y ，()22,N x y ，则121y y +=-，121
2
y y =- 从而
12y y -=
=
=故OMN
的面积12121111
22222
S OP y OP y OP y y =+=⨯⨯-=⨯． 【点睛】
关键点点睛：将OMN 的面积化为OMP 和ONP △的面积之和，再利用12||y y -进行计算时解题关键.
20．（1）2
214
y x +=；（2）12.
【分析】
（1）根据椭圆离心率以及点在椭圆上，结合222a b c =+得到关于,,a b c 的方程组，求解出,,a b c 的值，则椭圆方程可求；
（2）根据等面积法将内切圆的半径与12x x -联系在一起，采用联立方程思想并结合韦达定理以及基本不等式求解出12x x -的最大值，从而内切圆的半径的最大值可求. 【详解】
（
1）因为c a
=P ⎫⎪⎪⎝
⎭
在椭圆上，所以222
22
1
314c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，所以2241a b ⎧=⎨=⎩，
所以椭圆方程为：2
214
y x +=；
（2）设()()1122,,,A x y B x y ，内切圆的半径为R ，由条件可知直线AB 的斜率存在，故
设直线:AB y kx =-
因为()112121111
22
F AB
S
F F x x F A F B AB R =
⋅-=++⋅，且1148F A F B AB a ++==
，122F F c ==
124x x R -=
R =，所以当12x x -取最大值时R 有最大值，
又22
44
y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，所以(
)22
410k x +--=
，所以1212
21
4
x x x x k +=
=-+， 所以
12244
x x k -=
=
=+，
所以
1243+3x x -==
≤
=
，
=
，即
k =
所以1432
R =≤⋅=
，所以内切圆的半径最大值为12. 【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：
（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合1
2
⨯底⨯高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为
1212AB x x ⋅⋅-或121
2
EF y y ⋅⋅-； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()1
2
a b c R ⋅++⋅（,,a b c 为三角形三边长度，R 为内切圆半径）.
21．()2-∞-
【分析】
先根据方程为双曲线以及椭圆条件得,p q 为真命题时实数m 的取值范围，再根据,p q 有且
只有一个为真命题，进而根据集合关系即可得答案. 【详解】 由题设可知：
命题p ：方程2
2
112
x y m m +
=-+表示双曲线， 则有()()120m m -+<， 即解得2m <-或1m ，
命题q ：方程22212x y
m m
+=表示焦点在x 轴上的椭圆，
则22220m m
m m ⎧>⇒>⎨
>⎩
， 由,p q 且只有一个真命题，
则p 真q 假或p 假q 真，
①当p 真q 假时，即2m <-或1m 且2m ≤， 则2m <-； ②当p 假q 真时，即21
2
m m -≤≤⎧⎨>⎩，
无解，
综上所述：实数m 的取值范围为(),2-∞-. 【点睛】
关键点睛：本题考查复合命题的真假求参数的取值范围，考查双曲线与椭圆的标准方程，分p 真q 假或p 假q 真两种情况讨论是解决本题的关键.
22．（1）22132x y +=；（2）
3
. 【分析】
（1）根据离心率c e a =
=
，将点坐标代入曲线方程，结合222a b c =+，即可求得a ，b ，c 的值，即可求得答案；
（2）由题意得右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，与椭圆联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的表达式，即可求得12y y -的表达式，根据m 的范围，即可求得12y y -的最大值，代入面积公式，即可求得OAB 的面积的最大值. 【详解】
（1
）由题意得222
2
292144c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得a =
b =1
c =. 故椭圆方程为：22
132
x y +=.
（2）易知椭圆的右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，
联立直线l 方程代入椭圆方程22
132
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，整理可得：()22
23440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2
2
2
(4)4(23)(4)48(+1)0m m m ∆=-+-=>
122423m y y m -+=
+，122
4
23
y y m -=+， 所以
12y y -=
==，
因为20m ≥，所以21
10,233m ⎛⎤
∈ ⎥+⎝⎦
，
易知当0m =，即
2
11
233
m =+时，原式12y y
-
取得最大值3=.
此时AOB
S
的最大值为
121112233
y F y O ⨯⨯=⨯⨯=
-.
即三角形OAB . 【点睛】
解题的技巧为：设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，可联立消去x ，得到关于y 的一元二次方程，进而可直接求得12y y -的表达式，即可得12y y -的最大值，即可求得面积的最大值，考查分析理解，计算求值的能力属中档题.
23．（1）2
214
x y +=；（2）4π或34π．
【分析】
（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.
（2）设直线l 方程，代入椭圆方程得关于x 的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程. 【详解】
(1)由题意可知2
22
22212242b a a b a b c ⨯=⎧⎪⎪
⨯⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩
， 2a = ，1b =
，c =。

椭圆方程为：2
214
x y +=
(2)由题可知直线l 斜率存在，设直线l 方程为:()2y k x =+代入椭圆方程得：
()
2
22241161640k
x k x k +++-= ，16∆=，
2
2
1642
141
AB
k k ，解得1k =± ， 直线l 的倾斜角为4π或
34
π
. 【点睛】
本题是椭圆与直线相交弦长问题，是高考解析几何中的常见题型. 注意点点睛：
①在设直线时要注意直线斜率是否存在，做必要的交代；
②代入消元后要交代∆的符号，确定交点是否存在及存在时的个数； ③所得解回代检验合理性，以确保答案的正确性.
24．（1）2
214
x y +=；（2）(2,)+∞．
【分析】
（1）根据条件构建方程求解即可
（2）设直线l 的方程为()y k x n =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆的方程消
元，然后韦达定理可得221224414k n x x k -=+，2122
814k n
x x k +=+，然后由PBA QBA ∠=∠，得0PB QB k k +=，即
12
120y y x m x m
+=--，即()12122()20x x m n x x mn -+++=，然后得出4
m n
=即可. 【详解】。