游仙区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

游仙区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不能确定
2． lgx ，lgy ，lgz 成等差数列是由y 2=zx 成立的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断：
①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≠0；②a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 不能同时成立，下列说法正确的是（ ）
A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①对②对
D ．①错②错
4． 棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（
）
2O O A ．
B ．
C ．
D ．π4π6π8π
105． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶+段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ）A ．10 B ．20 C ．30
D ．40
6． 设a ，b 为实数，若复数，则a ﹣b=（
）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
7． 已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点， 111ABC A B C -1A ABC BC 则异面直线与所成的角的余弦值为（
）
AB 1CC
A B D ．
34
8． 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于
（
）
A ．
B ．
C ．24
D ．48
9． 若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（ ）
y x ,⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x 31++x y y x +A ． B ． C ． D ．1-3-3
10．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
i 21i
i
-A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限11．在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（
）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也非必要条件12．如图，正六边形ABCDEF 中，AB=2，则（
﹣）•（
+
）=（
）
A ．﹣6
B ．﹣2
C ．2
D ．6
二、填空题
13．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p
是q 的 条件．　
14
．已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中{}n a 223n n a a =-2
6121
a a a =∙12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的最大值为_________.15．设函数
则
______；若
，
，则
的大小关
系是______．
16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC=5，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．
17．设函数f （x ）=
，则f （f （﹣2））的值为 ．18．已知i 是虚数单位，复数的模为 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0
（1）求实数m的值．
（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间
（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．
20．等差数列{a n} 中，a1=1，前n项和S n满足条件，
（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式和S n；
（Ⅱ）记b n=a n2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．
21．如图，正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E．
（Ⅰ）求证：AE=EB；
（Ⅱ）若EF•FC=，求正方形ABCD的面积．
22．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a=，求A∩B．
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
23．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示；
（1）求ω，φ；
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（，0），求θ的最小值．
（3）对任意的x∈[，]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．
24．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T：+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示．
（Ⅰ）若点A横坐标为，且BD∥AE，求m的值；
（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆+y2=（）2上．
游仙区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，
求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，
故直线和圆C相交，
故选：C．
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．　
2．【答案】A
【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y2=zx，∴充分性成立，
因为y2=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：
①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，
故①正确；
但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，
故②错．
故选A．
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．
4．【答案】B
【解析】
考
点：球与几何体5． 【答案】B 【解析】
试题分析：设从青年人抽取的人数为，故选B ．800,,2050600600800
x x x ∴=∴=++考点：分层抽样．6． 【答案】C 【解析】解：，因此
．a ﹣b=1．
故选：C ．　
7． 【答案】D 【解析】
考
点：异面直线所成的角.8． 【答案】C
【解析】解：F 1（﹣5，0），F 2（5，0），|F 1F 2|=10，∵3|PF 1|=4|PF 2|，∴设|PF 2|=x ，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF 1|=8，|PF 2|=6，∴∠F 1PF 2=90°，∴△PF 1F 2的面积=
．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
9．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
10．【答案】B
【解析】因为
所以，对应的点位于第二象限
故答案为：B
【答案】B
11．【答案】A
【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），
∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=2cosAsinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=，
∴A=，
∴sinA=，
当sinA=，
∴A=或A=，
故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，
故选：A
12．【答案】D
【解析】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：
===2+4﹣2+2=6．
故选：D．
【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式．
二、填空题
13．【答案】　必要不充分　
【解析】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，
∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5
∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
14．【答案】
【解析】
考
点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
1,,,,n n a a d n S 式在解题中起到变量代换作用,而是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
1,a d 15．【答案】，
【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】，因为，所以
又若，结合图像知：所以：。

故答案为：，
16．【答案】　5　．
【解析】解：如图所示：延长BC ，过A 做AE ⊥BC ，垂足为E ，
∵CD ⊥BC ，∴CD ∥AE ，
∵CD=5，BD=2AD ，∴
，解得AE=，
在RT △ACE ，CE===，
由得BC=2CE=5，
在RT△BCD中，BD===10，
则AD=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．　
17．【答案】　﹣4　．
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=4﹣2=，
f（f（﹣2））=f（）==﹣4．
故答案为：﹣4．
18．【答案】 ．
【解析】解：∵复数==i﹣1的模为=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f（4）=0，
∴4|4﹣m|=0
∴m=4，
（2）f（x）=x|x﹣4|=图象如图所示：
由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．
（3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数，
由图可知k∈（0，4）．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由=4得=4，
所以a2=3a1=3且d=a2﹣a1=2，
所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，
=
（Ⅱ）由b n=a n2n﹣1，得b n=（2n﹣1）2n﹣1．
所以T n=1+321+522+…+（2n﹣1）2n﹣1①
2T n=2+322+523+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n②
①﹣②得：﹣T n=1+22+222+…+22n﹣1﹣（2n﹣1）2n
=2（1+2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n﹣1
=2×﹣（2n﹣1）2n﹣1
=2n（3﹣2n）﹣3．
∴T n=（2n﹣3）2n+3．
【点评】本题主要考查数列求和的错位相减，错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．
21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，
且四边形ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，
由切割线定理得EA2=EF•EC，
故AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，
∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
22．【答案】
【解析】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）若A∩B=∅
当A=∅时，有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠∅时，有
∴﹣2＜a≤或a≥2
综上可得，或a≥2
【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．
23．【答案】
【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象，可得•
=，
求得ω=2．
再根据五点法作图可得2•+φ=，求得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）．
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ﹣）的图象，
∵y=g（x）图象的一个对称点为（，0），∴2•+2θ﹣=kπ，k∈Z，∴θ=﹣，故θ的最小正值为．
（3）对任意的x∈[，]时，2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈，即f（x）∈，
∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[，]时的图象可得，1≤m＜2．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，
∴BD⊥AC，可知A（），
故，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，
设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则
，
由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，
显然x1≠x0，从而=，
∵AE⊥AC，∴k AE•k AC=﹣1，
∴，
解得，
代入椭圆方程，知．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．。