【压轴题】高一数学下期中一模试题附答案

【压轴题】高一数学下期中一模试题附答案
一、选择题
1．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A ．
2732
B ．
1086
3
+ C ．
166
3
+ D ．
322166
3
+
2．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
3．设圆C ：2
2
3x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．60,5
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,1
D ．16,25⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ 4．对于平面
、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )
A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥
B ．若//,a b b α⊂,则//a α
C ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a b
D ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα
5．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为
A ．20π
B ．
125
6
π C ．25π D ．100π
6．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．32
D ．32
-
7．已知圆截直线
所得线段的长度是
，则圆与
圆的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积
为（ ） A ．
814
π
B ．16π
C ．9π
D ．
274
π
9．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．13
B ．
12
C ．
16
D ．1
11．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．
2
a C ．2a
D ．
22
a 12．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
二、填空题
13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 14．给出下面四个命题：
①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；
④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________
15．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：
①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．
16．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________
17．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线
段PQ 的长度的最小值为______.
18．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 19．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.
20．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三
点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10
B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆
C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数 ①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．
22．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.
（1）求证：EF P 平面ABD ；
（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .
23．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．
（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值．
24．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；
（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．
25．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .
（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)
26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，
1AC BC CC ==，M ､N 分别是1A B ､11B C 的中点.
（1）求证：MN ⊥平面1A BC ；
（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成角的大小.
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一、选择题 1．D 解析：D
【解析】 【分析】
先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】
设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =
设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=， 设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+= 所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(11322166
442642323
⨯⨯⨯⨯=
. 故选：D. 【点睛】
几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．
2．B
解析：B 【解析】
A 中，,αβ也可能相交；
B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；
C 中，,αβ也可能相交；
D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变
长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO
OPQ PO
∠=
，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π
∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得
知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO „，即满足2PO „，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】
由分析可得：22200PO x y =+
又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--
要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO „
故2222
000103634PO x y y y ==+-+„ 解得0825y 剟，0605
x 剟 即0x 的取值范围是6
[0,]5
， 故选：B ． 【点睛】
解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO „，从而得到不等式求出参数的取值范围．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当
和
为相交
线时,才有
错误；
若
此时由线面平行的判定定理可知,只有当
在平面
外时,才有
错误；
由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若
//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确；
若
此时由面面平行的判定定理可知,只有当
、
为相
交线时,才有//,D βα错误. 故选C.
考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.
5．C
解析：C 【解析】
【详解】
由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点， 则O 为外接球球心，
半径长度为
1522
AD =， 所以表面积为25π.
6．A
解析：A 【解析】
如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，
则,MN BD NP AC P P ，
∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11
,22
PQ AB MQ CD =
=. 设2AB BC CD ===，则2PM =
又11
2,222
MN BD NP AC =
=== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，
∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为
1
2
．选A ．
用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．
7．B
解析：B 【解析】 化简圆
到直线
的距离
，
又
两圆相交. 选B
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =
，
由勾股定理()2
224R R =+-得94
R =， ∴球的表面积81
4
S π=
，故选A.
考点：球的体积和表面积
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】
对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以
MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ . 故选：A.
【点睛】
本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积． 【详解】
由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111
211323
⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求
HI 的长度即可.
【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
1122HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是
2a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=， 又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12
x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =，
所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题
13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案
解析：
3
3
【解析】
【分析】
棱11111
,,
A A A
B A D与平面
11
AB D所成的角相等，所以平面
11
AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sinθ.
【详解】
因为棱11111
,,
A A A
B A D与平面
11
AB D所成的角相等，
所以平面11
AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，
1
A AOθ
∠=，
设棱长为：1，
1
26
,
22
AO AO
==，易知
2
3
2
sin
3
6
θ==.
3
【点睛】
本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.
14．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行
解析：①④
【解析】
【分析】
利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论．
【详解】
解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确； 对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错；
对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错；
对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；
α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确
故答案为：①④
【点睛】
本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．
15．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直 解析：③④
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．
考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．
16．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平 解析：①③
【解析】
【分析】
对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；
②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；
③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；
④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
17．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平
面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上 解析：2 【解析】
【分析】
首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值.
【详解】
当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，
当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度， ∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，
点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，
∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，
连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，
∴点C 到BD 的距离的最小值22
CO =.
故答案为：
22
【点睛】 本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.
18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl ⊥m 所以l ⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl ⊥α
解析：②④
【解析】
【分析】
对每一个选项分析判断得解.
【详解】
根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．
故答案为②④
【点睛】
本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为 解析：(,)62
ππ 【解析】
若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：
则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(033303k -==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
20．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题
解析：()1,4,1--
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.
【详解】
设B (),,x y z ,则1230,1,2222
x y z +++=
-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．
【点睛】
本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 三、解答题
21．（1）4340x y --=；（2）①4
. 【解析】
【分析】
（1）求出圆的标准方程，设直线2l 的方程(1)y k x =-，利用6PQ =，结合圆心到直线的
1=，解可得k 的值，验证直线与y 轴有无交点，即可得答
案；
（2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，得220x ty t +-=，由2AM BM ≤，得
224220()()339x y -++…，结合题意，线段AD 与圆224220()()339
x y -++=至多有一个公共
88||t -t 的值，
②由①的结论，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，用k 表示三角形EPQ 的面积，结合二次函数的性质分析可得答案．
【详解】
解：（1）由题意可知，圆C 的直径为AD ，
所以圆C 方程为：()()22
3110x y -+-=，设2l 方程为：()1y k x =-，则()
222213101k k -+=+，
解得10k =，243k =
，当0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合题意，舍去. 所以，43
k =时直线2l 的方程为4340x y --=. （2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，则有
12
x y t +=，即220x ty t +-=． 由2AM BM „，则有224220()()339x y -++…
依题意知，线段AD 与圆224220()()339
x y -++=至多有一个公共点，
88||t -
t „
或1611t +…， 因为t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，所以4t =；
②由①的结论，圆C 的方程为22
(2)(1)5x y -+-=．
分2种情况讨论： a 当直线2:1l x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ；
b 当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，
则1l 的方程为1(1)y x k
=--， 点1(0,)E k
，所以BE = 又圆心到2l
，
所以PQ =
故1122EPQ
S BE PQ ===V g
又由22
<， 故求三角形EPQ
的面积的最小值为
2． 【点睛】
本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及三角形面积的最小值的求法，（2）的关键是确定三角形面积的表达式，属于中档题．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理，在平面ABD 中找EF 的平行线，转化为线线平行的证明；
（2）根据面面垂直的判定定理，转化为CD ⊥平面AEF .
【详解】
（1）E Q ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF ∴P BD ；
又Q EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，
EF ∴P 平面ABD .
（2）BD CD ⊥Q ，EF P BD ，EF CD ∴⊥；
AE ^Q 平面BCD ，AE CD ∴⊥；
又EF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，
CD \^平面AEF ，又CD ⊂平面ACD ，
∴平面AEF ⊥平面ACD .
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个面.
23．（1）证明见解析；（2）15. 【解析】 【分析】
（1）平面AOB ⊥平面AOC ，OC OA ⊥，可证OC ⊥平面AOB ，即可证明结论； （2）取OB 中点E ，连DE ，则//DE AO ，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，解Rt CDE ∆，即可求出结论.
【详解】
（1）平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB I 平面AOC OA =， ,OC OA OC ⊥⊂平面,AOC OC ∴⊥平面AOB ，
OC ⊂Q 平面,COD ∴平面COD ⊥平面AOB ；
（2）取OB 中点E ，连DE ，D 为AB 的中点，
//DE AO ∴，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，
,,,OA OB OA OC OB OC O OA ⊥⊥=∴⊥Q I 平面BOC ，
DE ∴⊥平面BOC ，CE ⊂平面,BOC DE CE ∴⊥，
在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，
2223,2,3,(
)52
OB OA OB OC DE CE OC ∴===∴==+=， 15tan CE CDE DE ∴∠==， 所以异面直线AO 与CD 所成角的正切值为15.
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.
24．（1）750x y +-=（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）求直线CD 的方程，只需确定C ，D 坐标即可：34(,)
55
C -，(5,0)
D ，直线CD 的斜率4
0153755-
=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD 的方程为750x y +-=． （2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：
22+0x y Dx Ey F +++=设(3,4)(01)C m m m -<≤，则D (5+4,0)m ，从而
()()222
0,
{916340,54540.
F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．
试题解析：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 1分
又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55
C -， 3分
由4BD =，得(5,0)D ， 4分 所以直线CD 的斜率4
0153755-
=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分 所以直线CD 的方程为1(5)7
y x =-
-，即750x y +-=． 6分 （2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =． 7分 则55AC OA OC m =-=-，
因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，
所以D 点的坐标为(5+4,0)m 8分
又设OCD ∆的外接圆的方程为22
+0x y Dx Ey F +++=， 则有()()222
0,
{916340,54540.
F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=10分
解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,
所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分
整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=， 令2243=0,{+2=0
x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==- 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分
考点：直线与圆方程
25．（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=I ；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，作出示意图即可；
（2）根据题意，作出示意图即可.
【详解】
（1）l α⊂；m α⊄；m A α=I ；A l ∉；示意图如下：
（2）如图，直线IL 即为所求.
【点睛】
本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.
26．（1）证明见解析.（2）6
π 【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定和性质可证得1AC ⊥平面1A BC ，由三角形中位线的性质可证得结论；
（2）以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果.
【详解】
（1）连接11,AC AB ，
1CC ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，
又BC AC ⊥，1AC CC C =I ，1,AC CC ⊂平面11ACC A ，BC ∴⊥平面11ACC A ， 1AC ⊂Q 平面11ACC A ，1BC AC ∴⊥，
由题意知侧面11ACC A 为正方形，11
AC AC ⊥∴， 又1,A C BC ⊂平面1A BC ，1
AC BC C =I ，1AC ∴⊥平面1A BC . ,M N Q 分别为111,AB B C 中点，1//MN AC ∴，MN ∴⊥平面1A BC .
（2）以C 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
MN ⊥Q 平面1A BC ，MN →∴为平面1A BC 的法向量，
设12AC BC CC ===，则()0,2,0B ，()10,0,2C ，()1,1,1M ，()0,1,2N ，
()10,2,2BC →∴=-，()1,0,1MN →=-，
设直线1BC 和平面1A BC 所成角为θ
，则111sin 2
BC MN
BC MN θ→→
→→⋅===⋅， 又0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，6πθ∴=，即直线1BC 和平面1A BC 所成角为6π. 【点睛】
本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题；涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.。