初三数学助学试卷答案

一、选择题（每题3分，共30分）
1. 已知a，b是实数，且a² + b² = 1，则下列说法正确的是（）
A. a和b都是正数
B. a和b都是负数
C. a和b中至少有一个是正数
D. a和b中至少有一个是负数
答案：C
2. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的大小是（）
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 105°
答案：B
3. 已知x² - 5x + 6 = 0，则x的值是（）
A. 2或3
B. 1或4
C. 2或-3
D. 1或-4
答案：A
4. 若|a| = 3，则a的值是（）
A. ±3
B. ±2
C. ±1
答案：A
5. 在平面直角坐标系中，点A（2，3），点B（-4，5），则线段AB的中点坐标是（）
A. （-1，4）
B. （-1，2）
C. （0，3）
D. （0，4）
答案：C
6. 已知函数f(x) = 2x + 1，则f(3)的值是（）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
答案：A
7. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）
A. a² > b²
B. a - b > 0
C. a + b > 0
D. a - b < 0
答案：B
8. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项的值是（）
A. 29
B. 28
D. 26
答案：A
9. 若m + n = 5，mn = 6，则m² + n²的值是（）
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
答案：A
10. 在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则BC的长度是（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案：A
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，则f(2)的值是______。

12. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C的大小是______。

13. 已知方程2x² - 5x + 3 = 0的解为x₁和x₂，则x₁ + x₂的值是______。

14. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3），点B（4，-1），则线段AB的长度是______。

15. 已知函数f(x) = 2x + 1，则f(-3)的值是______。

三、解答题（每题10分，共30分）
16. 已知函数f(x) = x² - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

解答：令f(x) = 0，得x² - 4x + 3 = 0。

通过因式分解或求根公式可得x₁ = 1，x₂ = 3。

因此，f(x)的图像与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）。

17. 已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求第10项的值。

解答：由等差数列的通项公式an = a₁ + (n - 1)d，代入a₁ = 3，d = 2，n = 10，得a₁₀ = 3 + (10 - 1) × 2 = 21。

18. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，∠C=105°，求BC的长度。

解答：由正弦定理，得BC/ sinC = AB/ sinA。

由题意知，AB = AC = 1（假设），sinC = sin105° = sin(180° - 75°) = sin75° = sin(45° + 30°) =
sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2) × (√3/2) + (√2/2) × (1/2) = (√6 + √2)/4。

代入正弦定理，得BC = AB × sinC = 1 × ((√6 + √2)/4) = (√6 + √2)/4。

以上为初三数学助学试卷的答案，希望对同学们有所帮助。