广西南宁青秀区四校联考2024-2025学年九年级数学第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】

广西南宁青秀区四校联考2024-2025学年九年级数学第一学期开学学业水平测试模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列命题是真命题的是（）A ．如果a 2=b 2，那么a=b B ．如果两个角是同位角，那么这两个角相等C ．相等的两个角是对项角D ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行2、（4分）若1x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞-4B ．x≥-4C ．x ＞-4且x≠1D ．x≥-4且x≠-13、（4分）若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有（）A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个4、（4分）某中学46名女生体育中考立定跳远成绩如下表：跳远成绩()cm 160170180190200210人数3166984这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是()
A ．185，170
B ．180，170
C ．7.5，16
D ．185，16
5、（4分）下列命题中正确的是()
A ．对角线相等的四边形是菱形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．对角线相等的平行四边形是菱形
学校__________
___
__
_班级__
___
__
__
___姓名_
__
__
_____
__考场_
_____
___
__
_准考证号……
…
……
……
…
……
密…
…
…
…
封…
……
…
线
…
……
…内
…
……
…不
…
……
…
要
……
……
答
…
…
…
…
题
…
…
…
…
……
…
…
…
…D ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形6、（4分）某校男子足球队年龄分布条形图如图所示，该球队年龄的众数和中位数分别是A ．8,8B ．15,15C ．15,16D ．15,147、（4分）设三角形的三边长分别等于下列各组数，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，5B ．13，14，15C ．16，18，110D ．4，5，68、（4分）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（）A ．60B ．16C ．30D ．11二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）观察：①)23221-=，②(252632-=-，③(274323-=-，…，请你根据以上各式呈现的规律，写出第6个等式：__________．10、（4分）已知函数2y x =-x 取值范围是_____．
11、（4分）用反证法证明“如果a a >，那么0a <．”是真命题时，第一步应先假设________．
12、（4分）如图，如果要使ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________.
13、（4分）如图，四边形ACDF 是正方形，CEA ∠和ABF ∠都是直角，且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如下4个图中，不同的矩形ABCD ，若把D 点沿AE 对折，使D 点与BC 上的F 点重合；（1）图①中，若DE ︰EC=2︰1，求证：△ABF ∽△AFE ∽△FCE ；并计算BF ︰FC ；（2）图②中若DE ︰EC=3︰1，计算BF ︰FC=；图③中若DE ︰EC=4︰1，计算BF ︰FC=；（3）图④中若DE ︰EC=n ︰1，猜想BF ︰FC=；并证明你的结论15、（8分）如图，在▱ABCD 中，E 为边AB 上一点，连结DE ，将▱ABCD 沿DE 翻折，使点A 的对称点F 落在CD 上，连结EF ．
（1）求证：四边形ADFE 是菱形．
（1）若∠A =60°，AE =1BE =1．求四边形BCDE 的周长．
小强做第（1）题的步骤
解：①由翻折得，AD =FD ，AE =FE ．
②∵AB ∥CD ．
③∴∠AED =∠FDE ．
④∴∠AED =∠ADE ⑤∴AD =AE ⑥∴AD =AE =EF =FD ∴四边形ADFE 是菱形．（1）小强解答第（1）题的过程不完整，请将第（1）题的解答过程补充完整（说明在哪一步骤，补充什亻么条件或结论）（1）完成题目中的第（1）小题．16、（8分）如图，方格纸中每一个小方格的边长为1个单位，试解答下列问题：（1）ABC ∆的顶点都在方格纸的格点上，先将ABC ∆向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到111A B C ∆，其中点1A 、1B 、1C 分别是A 、B 、C 的对应点，试画出111A B C ∆；（2）连接11AA BB 、，则线段11AA BB 、的位置关系为____,线段11AA BB 、的数量关系为___；（3）平移过程中，线段AB 扫过部分的面积_____．（平方单位）17、（10分）已知：如图,一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y=m x (x>0)的图象交于点
P.PA ⊥x 轴于点A,PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C ．点D,且S △DBP=27,1
=2
OC CA
(1)求点D 的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的解析式18、（10分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．（1）写出与相反的向量______；（2）填空：++=______；（3）求作：+（保留作图痕迹，不要求写作法）．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）有一组数据：2,4,4,,5,5,6x 其众数为4，则x 的值为_____．20、（4分）已知正比例函数y =(k +5)x ，且y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是____.21、（4分）一组数据为0，1，2，3，4，则这组数据的方差是_____．
22、（4分）若0x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的一个根，则根的判别式24b ac ∆=-与平方式20(2)M ax b =+的大小比较∆_____M （填＞，＜或=）.
23、（4分）已知ABC ∆的顶点坐标分别是()0,1A ，()5,1B ，()5,6C -．过A 点的直线L :y ax b =+与BC 相交于点E ．若AE 分ABC ∆的面积比为1:2，则点E 的坐标为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）求不等式组()241235x x x
x ⎧+≤-⎪⎨+>⎪⎩的解集，并把解集在数轴上表示出来25、（10分）（1）计算：+-1（2）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，求证：四边形AEDF
是菱形．26、（12分）按照下列要求画图并作答：如图，已知ABC ．()1画出BC 边上的高线AD ；()2画ADC ∠的对顶角EDF ∠，使点E 在AD 的延长线上，DE AD =，点F 在CD 的延长线上，DF CD =，连接EF ，AF ；()3猜想线段AF 与EF 的大小关系是：______；直线AC 与EF 的位置关系是：______．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
利用平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A、如果a2=b2，那么a=±b，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同位角才相等，故错误，是假命题；
C、相等的两个角不一定是对项角，故错误，是假命题；
D、平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，
故选D．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系等知识，难度不大．
2、D
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件进行求解即可得.
【详解】
若
1
x+在实数范围内有意义，
则x+4≥0且x+1≠0，
解得：x≥-4且x≠-1，
故选D．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，正确把握相关知识是解题关键．3、B
【解析】
首先把分式转化为
6
3
21
x
+
-
，则原式的值是整数，即可转化为讨论
6
21
x-的整数值有几个的问题．
【详解】6363663212121x x x x x +-+==+---,当216x -=±或3±或2±或1±时，621x -是整数，即原式是整数．当216x -=±或2±时，x 的值不是整数，当等于3±或1±是满足条件．故使分式6321x x +-的值为整数的x 值有4个，是2，0和1±．故选B ．本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为6321x +-的形式是解决本题的关键．4、B 【解析】根据中位数和众数的定义求解即可．【详解】由上表可得中位数是180，众数是170故答案为：B ．本题考查了中位数和众数的问题，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．5、D 【解析】试题解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选D.点睛：菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.
6、B
【解析】
根据条形图，观察可得15岁的人数最多，因此可得众数是15，将岁数从大到小排列，根据最中间的那个数就是中位数.
【详解】
首先根据条形图可得15岁的人数最多，
因此可得众数是15;将岁数从大到小排列，根据条形图可知有人数：26832122+++++=，因此可得最中间的11和12个的平均值是中位数，11和12个人都是15岁，故可得中位数是15.本题主要考查众数和中位数的计算，是数据统计的基本知识，应当熟练掌握.7、A 【解析】分析：判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．详解：A.222+=，是直角三角形，故此选项正确；B.222111453⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，不是直角三角形，故此选项错误；C.2221118106⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不是直角三角形，故此选项错误；D.222456+≠，不是直角三角形，故此选项错误。

故选：A.点睛：考查勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.8、C 【解析】先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．【详解】
∵矩形的周长为10，
∴a+b=5，
∵矩形的面积为6，
∴ab=6，
∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=1．
故选：C ．本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、213-=【解析】第n 个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n （n+1），利用完全平方公式得到第n 个等式右边的式子为2（n ≥1的整数），直接利用已知数据得出数字变化规律，进而得出答案．【详解】解：∵①232111)-=⨯+-=，②25221-=⨯+-=，③7231-=⨯+-=-，……∴第n 个式子为：221n +-=，∴第6个等式为：213-=故答案为：213-=．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10、x≥1．
【解析】
试题解析：根据题意得，x-1≥0，解得x≥1．
考点：函数自变量的取值范围．11、a ≥0
【解析】
用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，本题结论0a <的反面应是0a ≥.【详解】解：“如果a a >，那么0a <．”是真命题时,用反证法证明第一步应假设0a ≥.故答案为：0a ≥本题考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键.12、A B ＝BC (答案不唯一)【解析】试题解析：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC 或AC ⊥BD ．13、8【解析】【分析】证明△AEC ≌△FBA ，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可.【详解】∵四边形ACDF 是正方形，∴AC=FA ，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠FAB=90°，∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠FAB ，又∵∠AEC=∠FBA=90°，∴△AEC ≌△FBA ，∴CE=AB=4，∴S 阴影=1·2AB CE =8，故答案为8.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB 是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）根据折叠的性质及矩形的性质可证得△ABF ∽△AFE ∽△FCE ，再根据相似三角形的性质求解即可，1:1；（2）1:2，1:3；（3）1︰（n-1）
【解析】
解：（1）∵∠BAF+∠AFB=90°，∠CFE+∠AFB=90°
∴∠BAF=∠CFE
∵∠B=∠C=90°
∴△ABF∽△FCE
∴BF︰CE=AB︰FC=AF︰FE
∴AB︰AF=BF︰FE
∵∠B=∠AFE=90°
∴△ABF∽△AFE
∴△ABF∽△AFE∽△FCE
∵DE︰EC=2︰1
∴FE︰EC=2︰1
∴BF︰FC=1︰1
（2）若DE︰EC=3︰1，则BF︰FC=1︰2；若DE︰EC=4︰1，计算BF︰FC=1︰3；（3）∵DE︰EC=n︰1
∴FE︰EC=n︰1
∴BF︰FC=1︰（n-1）.
考点：相似三角形的综合题
点评：相似三角形的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
15、（1）见解析；（1）四边形BCDE的周长为8.
【解析】
（1）由题意可知，第一步补充∠ADE=∠FDE．
（1）由平行四边形的性质和菱形的性质可得，BE，BC，CD，DE的长度，即可求四边形BCDE的周长
【详解】
解：（1）①由翻折得，AD=FD，AE=FE．（补充∠ADE=∠FDE）
②∵AB∥CD
③∴∠AED=∠FDE ．④∴∠AED=∠ADE ⑤∴AD=AE ⑥∴AD=AE=EF=FD ∴四边形ADFE 是菱形．（1）∵AE=1BE=1∴BE=1∴AB=CD=3∵AD=AE ，∠A=60°∴△ADE 是等边三角形∴AD=DE=1∴AD=BC=1∴四边形BCDE 的周长=BE+DE+CD+BC=1+1+3+1=8.本题考查了折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．16、（1）见解析；（2）平行，相等；（3）1．【解析】（1）直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；（2）利用平移的性质得出线段AA 1、BB 1的位置与数量关系；（3）利用三角形面积求法进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；
（2）线段AA 1、BB 1的位置关系为平行，线段AA 1、BB 1的数量关系为：相等．
故答案为：平行，相等；
（3）平移过程中，线段AB 扫过部分的面积为：2×12×3×5=1．故答案为：1．此题考查平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．17、（1）（0，3）；（2）y=−32x+3，y=−36x 【解析】（1）根据一次函数与y 轴的交点，从而得出D 点的坐标．（2）根据在Rt △COD 和Rt △CAP 中，1=2OC CA ，OD=3，再根据S △DBP=27，从而得【详解】(1)∵一次函数y=kx+3与y 轴相交，∴令x=0,解得y=3,得D 的坐标为(0,3)；(2)∵OD ⊥OA ，AP ⊥OA ，∠DCO=∠ACP ，∠DOC=∠CAP=90°，∴Rt △COD ∽Rt △CAP,则1==2OC O CA D AP ，OD=3，∴AP=OB=6，∴DB=OD+OB=9，在Rt △DBP 中,∴2DB BP =27，即9=272BP ，∴BP=6,故P(6,−6)，把P 坐标代入y=kx+3,得到k=−32，则一次函数的解析式为：y=−32x+3；
把P 坐标代入反比例函数解析式得m=−36，
则反比例解析式为：y=−36x ；
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于根据一次函数与y 轴的交点进行求解
18、(1),;(2)；（3）见解析.
(1)观察图形直接得到结果；(2)由+=，+=即可得到答案；(3)根据平行四边形法则即可求解.【详解】解：（1）与相反的向量有，.（2）∵+=，+=，∴++=.（3）如图，作平行四边形OBEC ，连接AE ，即为所求.故答案为(1),;(2)；（3）见解析.本题考查了平面向量，平面向量知识在初中数学教材中只有沪教版等极少数版本中出现.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1.【解析】根据众数的定义进行求解即可，即众数是指一组数据中出现次数最多的数据．【详解】解：∵数据：2，1，1，x ，5，5，6其众数为1，∴x=1，故答案为：1．
本题考查了众数的知识．解题的关键是熟练掌握众数的定义．
20、k<-5
【解析】
根据当k ＜0时，y 随x 的增大而减小解答即可.
【详解】
由题意得
∴k<-5.故答案为：k<-5.本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y =kx （k 为常数，k ≠0），当k ＞0时，y =kx 的图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y =kx 的图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小.21、1．【解析】先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．【详解】这组数据的平均数是：()123452+++÷=，则方差()()()()()2222221021222324225s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；故答案为：1．此题考查方差，解题关键在于掌握运算法则22、=【解析】首先把（2ax 0+b ）2展开，然后把x 0代入方程ax 2+bx+c=0中得ax 02+bx 0=-c ，再代入前面的展开式中即可得到△与M 的关系．【详解】把x 0代入方程ax 2+bx+c=0中得ax 02+bx 0=-c ，∵（2ax 0+b ）2=4a 2x 02+4abx 0+b 2，∴（2ax 0+b ）2=4a （ax 02+bx 0）+b 2=-4ac+b 2=△，∴M=△．
故答案为=．
本题是一元二次方程的根与根的判别式的结合试题，既利用了方程的根的定义，也利用了完全平方公式，有一定的难度．
23、（5，-43）或（5，-113）．
【解析】
由AE 分△ABC 的面积比为1：2，可得出BE ：CE=1：2或BE ：CE=2：1，由点B ，C 的坐标可得出线段BC 的长度，再由BE ：CE=1：2或BE ：CE=2：1结合点B 的坐标可得出点E 的坐标，此题得解．【详解】∵AE 分△ABC 的面积比为1：2，点E 在线段BC 上，∴BE ：CE=1：2或BE ：CE=2：1．∵B （5，1），C （5，-6），∴BC=1-（-6）=2．当BE ：CE=1：2时，点E 的坐标为（5，1-13×2），即（5，-43）；当BE ：CE=2：1时，点E 的坐标为（5，1-23×2），即（5，-113）．故答案为：（5，-43）或（5，-113）．本题考查了比例的性质以及三角形的面积，由三角形的面积比找出BE ：CE 的比值是解题的关键．二、解答题（本大题共
3个小题，共30分）24、不等式组的解集为x ＞3，在数轴上表示见解析.【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来．【详解】()241235x x x x ⎧+≤-⎪⎨+>⎪⎩①②∵由不等式①得：x≥2，由不等式②得：x ＞3，
∴不等式组的解集为x ＞3，
在数轴上表示为：．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
25、(1)（2）详见解析
【解析】（1）首先计算绝对值、化简二次根式、立方根，然后再计算加减即可；（2）利用中位线定理可得ED ∥AC ，ED=12AC ，DF ∥AB ，DF=12AB ，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF 是平行四边形，再证明ED=FD 可得结论．【详解】（1）+-11+32--（2）证明：∵D ，E ，F 分別是BC ，AB ，AC 的中点，∴ED ∥AC ，ED=12AC ，DF ∥AB ，DF=12AB ，∵ED ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AB=AC ，∴ED=FD ，∴四边形AEDF 是菱形．此题主要考查了实数的计算和菱形的判定，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；一组邻边相等的平行四边形是菱形．26、()1画图见解析；()2画图见解析；()3AF EF =；AC //EF ．【解析】(1)直接利用钝角三角形高线的作法得出答案；(2)利用圆规与直尺截取得出E ，F 位置进而得出答案；
(3)利用已知线段和角的度数利用全等三角形的判定与性质分析得出答案．
【详解】
()1如图所示：高线AD 即为所求；
()2如图所示：()3猜想线段AF 与EF 的大小关系是：AF EF =；理由：在ADF 和EDF 中90AD DE ADF EDF DF DF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，ADF ∴≌()EDF SAS ，AF EF ∴=；直线AC 与EF 的位置关系是：AC //EF ．理由：在ADC 和EDF 中AD ED ADC EDF DC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADC ∴≌()EDF SAS ，ACD EFD ∠∠∴=，AC //EF ∴．故答案为AF EF =；AC //EF ．本题考查了作图，三角形全等的判定与性质等，正确作出钝角三角形的高线是解题关键．。