2020年新高考数学一轮复习考点题型深度剖析专题32等比数列及其前n项和课下层级训练课后层级训练含解析

课下层级训练(三十二) 等比数列及其前n 项和
[A 级 基础强化训练]
1．(2019·山东济南检测)在数列{a n }中，a 1＝1，数列{a n }是以3为公比的等比数列，则log 3a 2 019等于( ) A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019
D ．2 020
【答案】B [∵a 1＝1，数列{a n }是以3为公比的等比数列，∴a 2 019＝1×32 019－
1＝32 018，∴log 3a 2 019＝log 332 018＝2 018.]
2．(2019·山东滨州检测)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 1－a 3＝34，则a 4＝( )
A ．－1
8
B ．18
C ．－4
D ．4
【答案】A [∵等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 1－a 3＝3
4，∴
⎩⎨⎧
a 1＋a 1q ＝12
，
a 1
－a 1q 2
＝34
，
解得a 1＝1，q ＝－12，∴a 4＝a 1q 3＝1×⎝⎛⎭⎫－123＝－18
.] 3．(2019·山东德州检测)已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，点M (2，log 2a 2)、N (5，log 2a 5)都在直线y ＝x －1上，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n －2 B ．2n ＋
1－2
C ．2n －1
D ．2n ＋
1－1
【答案】C [由题意可得：log 2a 2＝2－1＝1，log 2a 5＝5－1＝4，则a 2＝2，a 5＝16，数列的公比q ＝3
a 5a 2
＝3
8＝2，数列的首项a 1＝a 2q ＝2
2＝1，其前n 项和S n ＝1×－2n 1－2
＝2n －1.]
4．(2019·山东潍坊月考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·3n －
1＋b ，则a b ＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
【答案】A [∵S n ＝a ·3n －
1＋b ，∴a 1＝S 1＝a ＋b ，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a ·3n －
2，因为数列是等比数列，∴a ＋b ＝2a ×13，即b ＝－13
a .]
5．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．1
2
D ．2
【答案】D [由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2
λ＝1，得λ＝2.]
6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.
【答案】6 [因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又因为S n ＝126，所以－2n
1－2
＝126，所以n ＝6.]
7．(2019·山东曲阜月考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝2，S 8＝10，则S 16＝________.
【答案】170 [因为数列是等比数列，S 4
＝2，S 8
＝10，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1
－q 4
1－q ＝2，
a
1
－q 8
1－q
＝10，
两式相除得1＋q 4＝5，∴
q 4
＝4.所以S 16＝
a 1
－q 161－q ＝
a 1
－q 8＋q 8
1－q
＝10(1＋42)＝170.]
8．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6
S 4
＝________.
【答案】7
3 [设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∵S 2＝k ，S 4－S 2
＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝7
3
.]
9．(2018·山东临沂期中)已知数列{a n }为等差数列，数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝2，b 2＝6，且a n ＋1b n ＝a n b n ＋b n
＋1
.
(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和S n .
【答案】解 (1)数列{a n }为公差为d 的等差数列， a n ＋1b n ＝a n b n ＋b n ＋1，
可得a 2 b 1＝a 1 b 1＋b 2，即2a 2＝4＋6， 解得a 2＝5，可得d ＝a 2－a 1＝3， 可得a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1. (2)a n ＋1b n ＝a n b n ＋b n ＋1，
即为(3n ＋2)b n ＝(3n －1)b n ＋b n ＋1， 可得b n ＋1＝3b n ，
即有数列{b n }为首项为2，公比为3的等比数列， 则前n 项和S n ＝
－3n
1－3
＝3n －1.
10．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.
(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.
【答案】解 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)·d ，b n ＝q n －
1.
由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②
联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩
⎪⎨⎪⎧
d ＝1，q ＝2.
因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －
1.
(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.
当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.
[B 级 能力提升训练]
11．(2019·山东邹城检测)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前2 018项之和S 2 018＝( ) A ．22 018 B ．22 017－1 C ．22 018－1
D ．22 019－1
【答案】C [由题意，{a n }是递增的等比数列，则q ＞1，a 1＞0.由a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，即a 1＋a 1q 3＝9，a 21q
3
＝8，解得a 1＝1，q ＝2.那么前n 项和S n ＝2n －1，则S 2 018＝22 018－1.]
12．(2019·山东日照检测)我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为( ) A ．1031
B ．2031
C ．54
D ．52
【答案】B [设这女子每天分别织布形成数列{a n }．则该数列{a n }为等比数列，公比q ＝2，其前5项和S 5＝5.∴5＝
a 1
5
－2－1
，解得a 1＝531.∴a 3＝531×22＝20
31
.]
13．(2019·山东聊城模拟)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1
a n .若
b 10b 11＝2，则a 21＝( )
A ．29
B ．210
C ．211
D ．212
【答案】C [数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n ，∴b 1＝a 2a 1＝a 22，b 2＝a 3
a 2，∴a 3＝2
b 1b 2，
b 3＝a 4
a 3.∴a 4＝2
b 1b 2b 3.…a n ＝2b 1b 2…b n －1，∵b 10b 11＝2，∴a 21＝2b 1b 2…b 20＝2(b 1b 20)×(b 2b 19)×…×(b 10b 11)＝211.]
14．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1
2n
a n (n ∈N *)．
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n
4n －a n ，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.
【答案】证明 (1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n
，又a 1
1＝2，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是首项为2，公比为1
2的等比数列，
所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n ＝4n 2n . (2)b n ＝a n
4n －a n
＝
4n 2n
4n －4n 2
n
＝1
2n －1， 因为对任意n ∈N *,2n －1≥2n －
1， 所以b n ≤1
2
n －1.
所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋1
2
n －1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n <2. 15．(2019·湖南长沙模拟)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值．
【答案】解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由条件得q 3,3q 2，q 4成等差数列，所以6q 2＝q 3＋q 4， 解得q ＝－3，或q ＝2.
由数列{a n }的所有项均为正数，则q ＝2， 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1(n ∈N *)．
(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，
则b n ＝2n －λ·2n －
1＝(2－λ)2n －
1，
若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0不符合条件；
若λ≠2，则b n ＋1b n ＝2，数列{b n }为等比数列，首项为2－λ，公比为2.此时S n ＝2－λ
1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)．
又S n ＝2n －1(n ∈N *)，所以λ＝1.。