艺术生高考数学专题讲义：考点39直线的交点与距离公式

考点三十九直线的交点与距离公式
知识梳理
1 .两直线相交
交点：直线l i ： A i x+ B i y+C i=0和12： A 2x+B 2y+C 2=0的公共点的坐标与方程组 A i x+ B i y+C i= 0 A 2x+ B 2y+C 2= 0
相交？方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行？方程组无解； 重合？方程组有无数个解. 2 .三种距离公式 (i)两点间距离公式
点 A(x i, y i ), B(x 2, y 2)间的距离：|AB|= 4 x 2 — x i 2+ y 2 — y i (2)点到直线的距离公式
说明：求解点到直线的距离时,直线方程要化为一般式. (3)两平行线间距离公式
两平行直线l i ： Ax+By+C i=0与12： Ax+By+C 2=0 (Ci^C z )间的距离为 说明：求解两平行线间距离公式时,两直线 x, y 前系数要化为相同. 3 .过两直线交点的直线系方程
过直线l i: A i x+B i y+C i=0与12： A 2x+ B 2y+C 2= 0的交点的直线系方程为 A i x+B i y+C i + XA 2x+B 2y+C 2)=0( R),其中入是待定系数,在这个方程中,无论但 入取何值,都得
不到A 2x+ B 2y+C 2=0,因此它不能表示直线 12.
4 .对称问题 (i)中央对称
x= 2a —x i,
①假设点M(xi, yi)及N(x, y)关于P(a, b)对称,那么由中点坐标公式得
,即对称点
y= 2b — y i .
N 坐标为(2a —x i, 2b — y i ).
②直线关于点的对称, 其主要方法是：在直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关
于点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两直线 平行,由点斜式得到所求直线方程. (2)轴对称
的解 --- 对应.
点P(x 0, y 0)到直线1: Ax+By+C=0的距离:
|Ax0+ By0+ C|
A 2+
B 2
d = JC2-Ci|
V A T^ .
①点关于直线的对称
假设两点P i (x i, y i )与P 2(x 2, y 2)关于直线l ： Ax+By+C=0对称,那么线段 P 1P 2的中点在l 上, 而且连接P 1P 2的直线垂直于1,由方程组 x i + x 2 y i+y 2、 入 -
A (-2—)+
B (-2—) +
C = 0,
可得到点P i 关于1对称的点P 2的坐标(x 2, y 2)(其中
一. (―A )=一,
x 2— x i
B
B w 0 , x i w x 2). ②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况：一是直线与对称轴相交； 二是直线与对称轴平行. 5.关于对称的几个结论
(i)点(x, y)关于x 轴的对称点为(x, — y); (2)点(x, y)关于y 轴的对称点为(—x, y); (3)点(x, y)关于原点的对称点为(-x, — y); (4)点(x, y)关于直线y=x 的对称点为(y, x); (5)点(x, y)关于直线y= —x 的对称点为(一y, — x);
典例剖析
题型一 求两直线的交点
例i 直线2x+ 3y+ 8= 0和直线x-y-i=0的交点坐标是 答案(一i, — 2)
变式练习 两条直线x+ my+i2= 0,2x+3y+m= 0的交点在y 轴上,那么m 的值是 答案於
解题要点 对于直线l i ： A i x+ B i y+C i= 0, 12： A 2x+B 2y+C 2=0,它们的交点可由
A i x+
B i y+
C i= 0, A 2x+ B 2y+C 2= 0
题型二过两直线交点的直线方程求法 例2 求经过两直线l i ： x —2y+4=0和12： x+y —2=0的交点P,且与直线13： 3x-4y+5 =0垂直的直线1的方程. …
,x —2y+ 4=0
1 x=0 r
解析 解方程组
2x+3y+8=0, x-y- i = 0,
x= — i, 得
即交点坐标是(一i, —2).
y=- 2,
解析 设交点坐标为 (0, b),那么有
mb+ i2= 0, 3b+ m= 0,
解得m=子.
求解.
解析法一：由方程组,得 ,即P(0, 2).
x+y—2=0 y= 2
4
• l -LI3, ki = — ~,
3
「•直线l的方程为y—2= —1x,即4x+ 3y—6 = 0. 3
法二：二.直线l过直线l i和12的交点,,可设直线l的方程为x-2y + 4+ ?(x+ y—2) = 0,
即(1+?x+(入—2)y+4—2入=0.
.・ l 与l3垂直,. . 3(1+?+ (—4)(a 2)=0, ..•入 =11,
・・・直线l 的方程为12x+9y— 18=0,即4x+ 3y— 6=0.
变式练习过两直线2x—y—5= 0和x+y+2 = 0的交点且与直线3x+ y—1=0平行的直线
方程为.
答案3x+y=0
〜、一…、2x— y—5=0,,门、,
解析联立得交点P(1, —3).
x+ y+2= 0,
设过点P且与直线3x+y—1 = 0平行的直线方程为3x+y+m=0,那么3X1 —3+m=0,解得
m= 0.
解题要点求过两直线交点的直线方程, 既可先联立方程组求出交点坐标然后再求方程, 也可以利用过两直线交点的直线系求解,需注意,利用直线系方程
A〔x+ B〔y+C+ NA2x+B2y + C2) = 0(衣R)求解时,要注意检验直线A2x+ B2y + 02=0是否符合题意,以免漏求直线.
题型三距离公式的应用
例3正方形的中央为点0( —1,0), 一条边所在的直线方程是x+3y—5 = 0,求其他三边所
在直线的方程.
解析点C到直线x+ 3y-5= 0的距离d =匕/三旦=3胆
\1 + 9 5
设与x+3y —5= 0平行的一边所在直线的方程是x+ 3y+m= 0(m w — 5),
那么点C到直线x+ 3y+m=0的距离d= | lim1=350, \1 + 9 5
解得m= — 5(舍去)或m= 7,
所以与x+3y—5=0平行的边所在直线的方程是x+ 3y+7=0.
设与x+3y —5=0垂直的边所在直线的方程是3x- y+ n=0,
那么点C到直线3x —y+n=0的距离d= |占』=3坦,
,1+9 5
解得n= — 3或n= 9,
所以与x+3y—5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x—y —3= 0和3x—y+9= 0. 变式练习直线l i的方程为3x+4y-7=0,直线12的方程为6x+ 8y+1 = 0,那么直线l i 与12的距离为.
答案2
1 一解析直线l i的万程为3x+4y—7=0,直线12的万程为6x+8y+1=0,即3x+4y+/=0,
吉在…g 一2+73
..直线l1与12的距离为 -；=== = -.
432 + 42 2
解题要点正方形的四条边两两平行和垂直,设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解
决,解题时要结合图形进行有效取舍. 这个解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直
线的方程.
运用点到直线的距离公式时, 需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时, 需先把两平行线方程中x, y的系数化为相同的形式.
题型四简单的对称问题
例4光线从A( -4, — 2)点射出,至ij直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(—1,6),求BC所在的直线方程.
解：作出草图,如下图,
设A关于直线y=x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D那么易得A'+ 2, — 4), D ' (1,6)由入射角等于反射角可得 A D所在直线经过点B与C.
y 6 x— 1
故BC所在的直线方程为t,即10x—3y+8=0.
46 2 1
变式练习如图,A(4,0)、B(0,4),从点P(2, 0)射出的光线经直线AB反射后再射到直
线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,那么光线所经过的路程是 .
答案 2 ,10
解析由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为0(-2,0),那么光线所经过的路程PMN的长为|0D |= 2^/10.
解题要点对称问题的核心是“垂直平分〞,由“垂直〞列出一个方程,由“平分〞列出一
个方程,联立求解.
当堂练习
1 .假设三条直线2x+3y+ 8=0, x-y=1,和x+ky= 0相交于一点,那么k的值等于
答案—1
2
x — y = 1 1
解析由得交点(一1, — 2),代入x+ ky= 0得k=
2x+ 3y+8= 0 2
2 .两条直线l1：2x+ y—m=0与l2：x— my+ 3=0的交点在y轴上,那么m的值为
答案於
解析2x+y—m=0在y轴上的截距为；,直线x—my+ 3 = 0在y轴上的截距为：,
由3=,得m=七.
m 3
3 . P点在直线3x+y —5=0上,且P到直线x—y—1 = 0的距离为血,那么P点坐标为
答案(1,2)或(2, - 1)
解析设P(x,5 — 3x),那么d=与5 + 3x 11= g2 |4x- 6| = 2,4x— 6=立,,x= 1 或x= 2, 412+ -1 2• .P(1,2)或(2, — 1).
4.直线l1：y=2x+3,直线12与|1关于直线y=- x对称,那么直线|2的斜率为
, 1
答案2
1 3 2斛析由于l i, I2关于直线y= — x对称,所以12的方程为一x=—2y+3,即y=/x+ 2,即
1
直线12的斜率k为
5.与直线1: 5x—12y+6=0平行且到1的距离为2的直线的方程为 .
答案5x—12y+32 = 0 和5x- 12y—20=0
解析设所求直线的方程为5x- 12y+c=0.
1 ..................... ............................................... 在直线1: 5x—12y+6=0上取一点P0(0,力那么点P0到直线1：5x- 12y+c=0的距离为
1 ..
d
X 12X2+c1 3
7h+- 12 2 13
由题意,得2,解得c= 32或c= 一20.
13
所以,所求直线的方程为5x- 12y+32 = 0和5x-12y-20=0.
课后作业
一、填空题
1 .点(1, — 1)到直线x—y+1 = 0的距离是.
答案詈
解析d= |1 ( 1)1」=呼.
一12 ( 1)2 2
2 .过点A(-2, m)和B(m, 4)的直线与直线2x+y—1=0平行,那么两平行线间的距离是
、-4-m
解析依题意得am_ 2,
m 2
,m=—8, •,.直线AB 方程为：2x+ y+12=0.
3 .直线3x+4y—3=0与直线6x+my+ 1
4 = 0平行,那么它们之间的距离是
答案2
解析.-6= mw —14, m=8,直线6x+ my+14=0.
3 4 3
可化为3x+ 4y+7=0,两平行线之间的距离| 二3 二
7|
^32 + 42
=2.
4 .与直线3x —4y+
5 = 0关于x 轴对称的直线方程为 . 答案 3x+4y+5=0
解析 与直线3x —4y + 5= 0关于x 轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5= 0,
即 3x+4y+5=0.
5 .假设A(—3, —4), B(6,3)两点到直线l: ax+ y+1=0的距离相等,那么 a 等于
答塞 —7曲_ 3
|—3a —4+ 1|_ |6a+3+ 1|
,1a 2+ 1 ;a 2+ 1 '
a=」
3. a,直线y= ax —3a+2所经过的定点是 .
解析 直线 y=ax —3a+ 2 变为 a(x- 3) + (2 —y)= 0.又 a C R ,
x= 3. 解得 得定点为〔3,2〕. y=2,
7 .直线x-2y+1 = 0关于直线y-x=1对称的直线方程是 . 答案 2x-y+2=0
解析 设所求直线上任一点的坐标为 〔x1,y 1〕,它关于y -x= 1对称点的坐标为〔XO , y 0〕,那
么
,得对称点的坐标为〔y 1一 1, XI +1〕,且点〔y 1一 1, XI +1〕在直线x — 2y y 〔+ y o XI + x o 〔
+ 1 = 0 上,所以 y 1-1-2〔x 1 + 1〕+1=0,化简得 2XI —y 〔+2=0.
8 .曲线x1— ?= 1与直线y=2x+m 有两个交点,那么 m 的取值范围是 . 2 3 答案 m>4或m< — 4
解析 曲线•一手=1的草图如下图.与直线y=2x+m 有两个交点,令y=0,那么*= —m, 2
3 2
m m
所以—2<—2或—2>2 ,所以 m>4或m< —4.
9 .直线11过点( — 2, 0)且倾斜角为30°,直线12过点(2, 0)且与直线11垂直,那么直线11与直 线12的交点坐标为. 答案 (1,取
3 .....................................
解析 直线11的方程为y= t3(x+2),由12,11得直线12的斜率为一 小,直线12的方程是y
3 一曲X —2).由片得X =1厂
y=-V3x-2, 尸弧
10.过两直线7x+5y —24=0与x —y=0的交点,且与点 P(5,1)的距离为国的直线的方程 为.
9
解析依题意,
解得a = — 7或 9 6.对任意实数 答案 〔3,2〕
x- 3=0, 2-y=0,
J =-1 XI — xo
因此直线11与12的交点坐标是(1,立).
答案3x-y-4=0
解析设所求的直线方程为7x+ 5y—24+ Xx— y)= 0,即(7+ »x+ (5- ?)y-24=0.
.I 7 +入X 5+ 5—入一24| 7八总力/曰、A A
•.1 -- ■~~・50,解得自11.
7+ 入2+ 5 -入2V
故所求直线方程为3x— y- 4= 0.
11 .点P(—1,3)到直线1: y=k(x- 2)的距离的最大值等于 .
答案 3 2
解析P( —1,3)到直线1: y=k(x—2)的距离为d= 3k坐 =3%,1+ 奢；,由于*7^1,所 1 + k2,,k2+ 1k2+
1
以dW3\2,即距离的最大值等于 3 2.
二、解做题
12 .过点P(0,1)作直线1使它被直线11：2x+y—8= 0和12：x- 3y+10=0截得的线段被点P 平分,求直线1的方程.
解析设11与1的交点为A(a,8— 2a),
那么由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在12上,
代入12的方程得一a-3(2a-6)+ 10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线1上,
所以由两点式得直线1的方程为x + 4y-4=0.
13 .点P(2, —1).
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线1的方程.
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线1的方程,最大距离是多少？
解析(1)过点P的直线1与原点的距离为2,而点P的坐标为(2, —1),显然,
过P(2, — 1)且垂直于x轴的直线满足条件,
此时1的斜率不存在,其方程为x = 2.
假设斜率存在,设1的方程为y+1=k(x —2),
即kx— y- 2k— 1 = 0.
由得二2k=1=2,解得k=3.
Jk2+1 4
此时1的方程为3x— 4y-10=0.
综上,可得直线1的方程为x=2或3x— 4y- 10=0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.
1 一
由 1 LOP,得k1k op= —1,所以k1= - 7~= 2. > k op
由直线方程的点斜式得y+1 = 2(x-2),
即2x-y- 5=0.
所以直线2x—y—5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为g = 45.。