八年级上册杭州数学期末试卷测试卷 (word版,含解析)

八年级上册杭州数学期末试卷测试卷（word版，含解析）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42, ∠ACB=45˚，AO 是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.
(1) 求证：△ACD≌△BCE；
(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.
(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422
-
【解析】
试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE
≌；
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45
DAC
∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．
()3OE BQ
⊥时，OE取得最小值.
试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，
∴AC=BC,DC=EC,45
ACB DCE
∠=∠=，
45
ACD DCB ECB DCB
∴∠+∠=∠+∠=，
∴∠ACD=∠BCE；
在△ACD和△BCE中，
,
AC BC
ACD BCE
DC EC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
(SAS)
ACD BCE
∴≌；
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H，
(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，
∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高， 45DAC ∴∠=，
ACD BCE ≌，
45PBC DAC ∴∠=∠=，
∴在Rt BHC 中,2242422
CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，
3PH QH ∴==，
6.PQ ∴=
()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.
最小值为：42 2.OE =-
2．（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两动点，且
∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF .
（1）试说明：△AED ≌△AFD ；
（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；
（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长.
【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130
【解析】
试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即
45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，
从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌
得到ED FD =，再证明90DCF ∠=︒，
利用勾股定理即可得出结论. ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2
AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长，即可求得2DE .
试题解析：()1ABE AFC ≌，
AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=90,BAC ∠=
45,BAE CAD ∴∠+∠=
45,CAF CAD ∴∠+∠=
即45.DAF ∠=
在AED 和AFD 中，{AF AE
EAF DAE AD AD ，
=∠=∠=
.AED AFD ∴≌
()2AED AFD ≌，
ED FD ∴=，
,90.AB AC BAC =∠=︒
45B ACB ∴∠=∠=︒，
45ACF ，
∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒
设.DE x =
,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==
222,FC DC DF +=
()2
2239.x x ∴+-=
解得： 5.x =
故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，
1 4.2
AH BH BC ==
= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65.
22234DE AD ==或130.
点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.
3．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.
（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD
（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF =AB ，GD =CD .求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD =AB + 12
BC +CD .
【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；
（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；
（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；
（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=
12
BC ，即可得出结论． 【详解】
（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠FAE ，
在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△ABE ≌△AFE （SAS ），
（2）∵△ABE ≌△AFE ，
∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，
∵E 为BC 的中点，
∴BE=CE ，
∴FE=CE ，
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠DEF=∠DEC ，
在△DEF 和△DEC 中，
FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△DEF ≌△DEC （SAS ），
∴DF=DC ，
∵AD=AF+DF ，
∴AD=AB+CD ；
（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，
∴BE=CE=12
BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），
△DEG ≌△DEC （SAS ），
∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，
∵BE=CE ，
∴FE=GE ，
∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，
∴∠AEF+∠GED=60°，
∴∠GEF=60°，
∴△EFG 是等边三角形，
（2）∵△EFG 是等边三角形，
∴GF=EF=BE=12
BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+
12BC ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F .
（1）如图，连接AE ，
①AE 与AC 的数量关系是__________；
②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；
（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.
【答案】(1) ①AB=AE ；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF ，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）①根据轴对称性，即可得到答案；
②由轴对称性，得：AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α，由ABC 是等边三角形，得AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解； （2）作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，易证∆FCG 是等边三角形，得GF=FC ，再证∆ACG ≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF ，进而可得到结论.
【详解】
（1）①∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ，
∴AB 和AE 关于射线AD 的对称，
∴AB=AE.
故答案是：AB=AE ；
②∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ，
∴AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α， ∵ABC 是等边三角形，
∴AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠EAC=60°-2α，AE=AC ， ∴∠ACE=
1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣
⎦， ∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α. （2）AF-EF=CF ，理由如下：
作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，
∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，
∴∠ABC=∠AFC=60°，
∴∆FCG是等边三角形，
∴GF=FC，
∵ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠ACG=∠BCF=α.
在∆ACG和∆BCF中，
∵
CA CB
ACG BCF
CG CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，
∴AG=BF，
∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AG=BF=EF，
∵AF-AG=GF，
∴AF-EF=CF.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
5．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，
△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数
量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交
∠=︒,因此有BM⊥AN；
AN于点C，得出MCN90
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
【详解】
解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【点睛】
本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂
足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
2
；（3）CE＝2GH，理由见解析.
【解析】【分析】
（1）根据题意可得∠CBD＝1
2
∠ABC＝
1
2
∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝
1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝
1
2
∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角
形；
（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值；
（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣
（HE﹣CE）＝1
2
BC﹣
1
2
BE+CE＝
1
2
CE，即CE=2GH
【详解】
证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝1
2
∠ABC＝
1
2
∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝1
2
∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝1
2
∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形（2）
∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，
∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE2+1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1
∴GH＝
2 2
（3）CE＝2GH
理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1
2
BC﹣
1
2
BE+CE＝
1
2
CE，
∴CE＝2GH
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
7．如图，在△ABC中，AB=BC=AC=20 cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2 cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）∠A=______度；
（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值；
（3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．
【答案】（1）60；（2）
103或203；（3）5或20 【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质即可解答；
（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；
（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形.
【详解】
解：（1）60°．
（2）∵∠A=60°，
当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．
∴QA=2PA ．
即2022 2.t t -=⨯ 解得 10.3
t = 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．
∴PA=2QA ．
即2(202)2.t t -= 解得 20.3
t = ∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为
102033或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t
∵∠A=60°
∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形
∴2t=20-2t ，解得t=5
②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20
综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20．
【点睛】
本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.
8．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点
E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E为BC
上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，
求ABF
ACF
S
S的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；
②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MBN＝30°，
∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，
∴∠1＝∠2
②证明：如图2中，
在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，
∴BF＝2DF，
∵BF＝2AF，
∴BF＝AD，
∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，
∴△BFC≌△ADB，
∴∠BFC＝∠ADB＝90°，
∴BF⊥CF
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．
∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，
∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，
∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，
∴∠1+∠4＝∠2+∠4
∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，
∴△ABK≌CAF，
∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，
∴AF＝FK＝BK，
∴S△ABK＝S△AFK，
∴ABF
AFC
S
2
S
∆
∆
=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．
【解析】
【分析】
（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；
（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．
【详解】
(1)如图：
（2）在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，
∴AB＝AD
∴∠ABD＝∠D
∵∠PAC＝20°
∴∠PAD＝20°
∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°
()
1
18040
2
D BAD
︒︒
∴∠=-∠=.
∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°
（3）CE＋AE＝BE．
在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，
在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，
设∠EAC＝∠DAE＝x．
∵AD＝AC＝AB，
∴()
1
180260
2
D BAC x x
︒︒
∠=-∠-=-
∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．
∴△AME为等边三角形．
∴AM=AE，∠MAE=60°，
∴∠BAC=∠MAE=60°，
即可得∠BAM=∠CAE.
在△AMB和△AEC中，
AB AC
BAM CAE
AM AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AMB≌△AEC.
∴CE＝BM.
∴CE＋AE＝BE．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE
上，再证明CE ＝BM 即可得结论．
10．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点F ．
(1)求证：2FAD ABD ∠=∠；
(2)如图2，若AC CE =，点D 为AC 的中点，求证：AB AC =；
(3)在(2)的条件下，如图3，若3EF =，求线段DF 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠，90EFG CED ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；
（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠，进而可得AF AD =，BFA CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆，可得AB CE =，进一步即可证得结论；
（3）连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒，进而可得AE AH =，然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ，进一步即可推出90CHD ∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，易证△AKD ≌△CHD ，可得DK DH =，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ，问题即得解决．
【详解】
（1）证明：如图1，90BAC ∠=︒，90ADB ABD ∴∠=︒-∠，
AG CE ⊥，90FGE ∴∠=︒，90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠，
180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠，
CED ABD ∠=∠，2FAD ABD ∴∠=∠；
（2）证明：如图2，90AFD CED ∠=︒-∠，90ADB ABD ∠=︒-∠，
CED ABD ∠=∠，
AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=，BFA CDE ∠=∠，
∵点D 为AC 的中点，∴AD=CD ，AF CD ∴=，
ABF ∴∆≌CED ∆（AAS ），AB CE ∴=，
CE AC =，AB AC ∴=；
（3）解：连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4． 90BAC ∠=︒，BAE CAH ∴∠=∠，
设ABD CED α∠=∠=，则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-，
CA CE =，45AEC EAC α∴∠=∠=︒+，
45AED ∴∠=︒，45AHE ∴∠=︒，AE AH ∴=，
AB AC =，∴△ABE ≌△ACH （SAS ），
135AEB AHC ∴∠=∠=︒，90CHD ∴∠=︒，
过点A 作AK ED ⊥于K ，90AKD CHD ∴∠=∠=︒，
AD CD =，ADK CDH ∠=∠，
∴△AKD ≌△CHD （AAS ），DK DH ∴=，
∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==，
,FK DK EK HK ∴==，
3DH EF ∴==，6DF ∴=．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：3245x x +-.
解答：把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，由此确定多项式
3245x x +-中有因式()1x -，于是可设()()322451x x x x mx n +-=-++，分别求出
m ，n 的值.再代入()()322451x x x x mx n +-=-++，就容易分解多项式
3245x x +-，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中m ，n 的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：3299x x x +--.
【答案】（1）5m =，5n =；（2）()()()133x x x ++-
【解析】
【分析】
（1）先找出一个x 的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．
【详解】
解：（1）把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，
∴多项式3245x x +-中有因式()1x -，
于是可设322451x
x x x mx n ， 得出：3232451x x x m x n m x n ，
∴14m ，0n m
，
∴5m =，5n =， （2）把1x =-代入3299x x x +--，多项式的值为0，
∴多项式3299x x x +--中有因式()1x +，
于是可设322329911x x x x x mx n x m x n m x n ，
∴11m +=，9n m
，9n =- ∴0m =，9n =-，
∴3229133991x x x x x x x x
【点睛】
此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．
12．先阅读下列材料，然后解后面的问题． 材料：一个三位自然数abc （百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ），若满足a+c=b ，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F （abc ）=ac ．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F （374）=3×4=12． （1）对于“欢喜数abc ”，若满足b 能被9整除，求证：“欢喜数abc ”能被99整除； （2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m ，n （m ＞n ），若F （m ）﹣F （n ）=3，求m ﹣n 的值．
【答案】（1）详见解析；（2）99或297．
【解析】
【分析】
（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；
（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.
【详解】
（1）证明：∵abc 为欢喜数，
∴a +c =b ． ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除，
∴11b 能被99整除，99a 能被99整除，
∴“欢喜数abc ”能被99整除；
（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），
∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数，
∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．
∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2），
∴m ﹣n =99或m ﹣n =297．
∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或297．
【点睛】
做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.
13．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]
=(1+x )2(1+x )
=(1+x )3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).
【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x ＋1）2005；(3) (x ＋1)1n +
【解析】
【分析】
（1）根据已知材料直接回答即可；
（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x ），进而得出答案；
（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．
【详解】
（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．
故答案为提公因式法，2次；
（2）1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，
=（1+x ）[1+x+x （1+x ）+…+ x (x +1)2003]
⋯
=22003(1)(1)(1)(1)
(1)x x x x x +++++个
=（1+x ）2005，
故分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．
（3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2…+x （x+1）n （n 为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
故答案为（x+1）n+1．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
14．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来
解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三
项式进行因式分解．
（1）图B 可以解释的代数恒等式是 ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．
一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对
2223a ab b ++进行因式分解．
【答案】（1）2222()a ab a a b +=+；（2）()()22
232a ab b a b a b ++=++ 【解析】
试题分析：（1）根据图所示，可以得到长方形长为2a ，宽为a+b ，面积为：2a （a+b ），或四个小长方形和正方形面积之和；
（2）①根据题意，可以画出相应的图形然后完成因式分解.
试题解析：（1）()2
222a ab a a b +=+ （2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示
②因式分解为：()()22
232a ab b a b a b ++=++
15．对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当0a b ->时，一定有a b >；当0a b -=时，一定有a b =；当0a b -<时，一定有a b <．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：
（1）已知：228A x y y =+，8B xy =，且A B >，试判断y 的符号；
（2）已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较222a c b +-和2ac 的大小．
【答案】（1）y ＞0；（2）222a c b +-＜2ac
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到22880x y y xy +->，因式分解得到22(2)0y x ->，进而得到y 的符
号即可；
（2）将222a c b +-和2ac 作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求．
【详解】
解：（1）因为A ＞B ，
所以A-B ＞0，
即2
2880x y y xy +->，
∴222(44)2(2)0y x x y x +-=->，
因为2(2)0x -≥，
∴y ＞0
（2）因为a 2−b 2＋c 2−2ac ＝a 2＋c 2−2ac−b 2＝（a−c ）2−b 2＝（a−c−b ）（a−c ＋b ）， ∵a ＋b ＞c ，a ＜b ＋c ，
所以（a−c−b ）（a−c ＋b ）＜0，
所以a 2−b 2＋c 2−2ac 的符号为负．
∴222a c b +-＜2ac
【点睛】
本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法．
四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?
【答案】规定期限20天；方案（3）最节省
【解析】
【分析】
设这项工程的工期是x 天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
【详解】
解：设规定期限x 天完成，则有：
415
x x x +=+，
解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：规定期限20天．
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
17．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点27km ，他乘坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9km .他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的
37. （1）小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？
（2）上周五，小王上班时先步行了6km ，然后乘公交车前往，共用
43小时到达.求他步行的速度.
【答案】（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）小王步行的速度为每小时6km .
【解析】
【分析】
（1））设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.再利用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾SS 式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米和乘公交车所用时间是自驾车方式所用时间的
37，列方程求解即可；
（2）设小王步行的速度为每小时ykm ，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.
【详解】
解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.根据题意得：
27327297x x
=⋅+ 解得：27x =
经检验，27x =是原方程的解且符合题意.
所以小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；
（2）由（1）知：小王乘坐公交车上班平均每小时行驶29227963x +=⨯+=（km ）； 设小王步行的速度为每小时ykm ，根据题意得：
62764633
y -+= 解得：6y =.
经检验：6y =是原方程的解且符合题意
所以小王步行的速度为每小时6km .
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答的关键在于弄清题意、找到等量关系、列出分式方程并解答.
18．某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？
(2)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品？
【答案】
(1)甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件；(2)乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.
【解析】
【分析】
(1)此题的等量关系为：乙工厂每天加工产品的件数=甲工厂每天加工产品的件数+8；甲工厂单独加工48件产品的时间=乙工厂单独加工72件产品的时间，设未知数，列方程求出方程的解即可；(2)先分别求出甲乙两工厂单独加工这批新产品所需时间，再求出甲工厂所需费用，然后根据乙工厂所需费用要小于甲工厂所需费用，设未知数，列不等式，再求出不等式的最大整数解即可.
【详解】
(1)设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工(x+8)件产品， 根据题意得：48728
x x =+， 解得：x=16，
检验：x(x+8)=16(16+8)≠0，
∴x=16是原方程的解，
∴x+8=16+8=24，
答：甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件.
(2)解：甲工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷16=60，
所需费用为：60×800+50×60=51000，
乙工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷24=40，
解：设乙工厂向公司报加工费用每天最多为y 元时，有望加工这批产品
则：40y+40×50≤51000
解之y≤1225
∴y 的最大整数解为：y=1225
答：乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，涉及到的公式：工作总量=工作效率×工作时间；分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的1
3
后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的
13
时，已修建道路多少米？ （2）求原计划每小时修建道路多少米？ 【答案】（1）已修建道路600米；（2）原计划每小时抢修道路140米．
【解析】
【分析】
（1）全长1800，原计划已经完成13，单位“1”已知用乘法，已修道路=118003⨯=600米
（2）本题可以采用直接设，设原计划每小时修路为x 米，加快后每小时变为1.5x 米，等量关系为：原计划修路时间+提高后修路时间=总时间，列方程即可解出．
【详解】
解：（1）已修建道路600米；
（2）设原计划每小时抢修道路x 米， 根据题意得：()6001800600x 150x -++%＝10
解得：x ＝140，
经检验：x ＝140是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路140米．
【点睛】
方程的应用题是中考常考的类型题，设未知数一般有直接设和间接设两种，做题时找好等量关系尤为重要，分式方程解出后要检验增根的情况，排除不合适的解．
20．杨梅是漳州的特色时令水果.杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很
快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价每件比第一批多了5元.
（1）第一批杨梅每件进价多少元？
（2）老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销.要使得第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折（利润-售价-进价）？
【答案】（1）120元（2）至少打7折．
【解析】
【分析】
（1）设第一批杨梅每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的2倍；
（2）设剩余的杨梅每件售价y元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于320元，可列不等式求解．
【详解】
解：(1)设第一批杨梅每件进价是x元，
则12002500
2,
5 x x
⨯=
+
解得120.
x=
经检验，x=120是原方程的解且符合题意．答：第一批杨梅每件进价为120元．(2)设剩余的杨梅每件售价打y折．
则25002500
15080%150(180%)0.12?500320. 125125
y
⨯⨯+⨯⨯-⨯-≥
解得y≥7.
答：剩余的杨梅每件售价至少打7折．
【点睛】
考查分式方程的应用, 一元一次不等式的应用，读懂题目，从题目中找出等量关系以及不等关系是解题的关键.
五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
21．（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
（简单应用）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
求∠P的度数；
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．。