贵州省遵义市习水一中高三数学下学期期中试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市习水一中高三（下）期中数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则（∁R A）∩B=（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（3，5）D．（﹣1，5）
2．命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为（）
A．若x2+y2=0，则x≠0且y≠0 B．若x2+y2=0，则x≠0或y≠0
C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0 D．若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0
3．欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．函数f（x）=，则f[f（）]=（）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣5 D．
5．等差数列{a n}前n项和为S n，且=+1，则数列{a n}的公差为（）
A．1 B．2 C．2015 D．2016
6．若a=ln2，b=，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
7．2012年初，甲､乙两外商在某某各自兴办了一家大型独资企业．2015年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2012年和2014年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2015年企业缴纳地税的情况是（）
A．甲多 B．乙多 C．甲乙一样多D．不能确定
8．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，
四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（）两人说对了．
A．甲丙B．乙丁C．丙丁D．乙丙
9．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
10．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=（）
A．B．C．D．
11．已知函数是[1，∞]上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（）
A．（0，﹣3）B．（0，3）C．（0，﹣2）D．（0，2）
12．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g （x））=λ有6个解，则λ的取值X围为（）
A． B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．已知等比数列前n项和为S n，若S2=4，S4=16，则S6=．
14．已知x、y的取值如表所示：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=．
15．在△ABC中，A=30°，2=32，则△ABC的最大角的余弦值为．
16．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a n}满足a1=a（a＞0），a2=1，
a n+2=（n∈N），若a2015=4a，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015的值为．
三、解答题
17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
18．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．
（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．
20．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调区间；
（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），某某数a的取值X围．
选做题[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．
2015-2016学年某某省某某市习水一中高三（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则（∁R A）∩B=（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（3，5）D．（﹣1，5）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由已知可得∁R A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，解不等式求出∁R A，和集合B，结合集合交集运算的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，
∴∁R A={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），
又∵B={x|log2（x﹣1）＜2}={x|0＜x﹣1＜4}=（1，5），
∴（∁R A）∩B=（1，3），
故选：A
2．命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为（）
A．若x2+y2=0，则x≠0且y≠0 B．若x2+y2=0，则x≠0或y≠0
C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0 D．若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用四种命题的逆否关系，写出否定命题即可．
【解答】解：命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为：若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0．
故选：D．
3．欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算．
【分析】e2i=cos2+isin2，根据2∈，即可判断出．
【解答】解：e2i=cos2+isin2，
∵2∈，
∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），
∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．
故选：B．
4．函数f（x）=，则f[f（）]=（）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣5 D．
【考点】函数的值．
【分析】利用分段函数的性质，先求出f（），再求f[f（）]的值．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（）==，
∴f[f（）]=f（）=﹣2=．
故选：A．
5．等差数列{a n}前n项和为S n，且=+1，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．2015 D．2016
【考点】数列递推式．
【分析】设等差数列{a n}的公差为d．可得==d，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．
∵，
∴=﹣== d
又=+1，
∴等差数列{a n}的公差为2．
故选：B．
6．若a=ln2，b=，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【考点】定积分；不等关系与不等式．
【分析】利用定积分求解c，判断a，b与c的大小即可．
【解答】解：，，
，所以a＞c＞b，
故选：D．
7．2012年初，甲､乙两外商在某某各自兴办了一家大型独资企业．2015年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2012年和2014年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2015年企业缴纳地税的情况是（）
A．甲多 B．乙多 C．甲乙一样多D．不能确定
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】设2012年和2014年缴纳的地税，分别为a，b，甲年增长数相同，为x，企业乙年增长率相同，为y，则a+2x=b，a（1+y）2=b，可得2015年企业缴纳地税，甲b+x，乙b（1+y），作差，即可比较大小．
【解答】解：设2012年和2014年缴纳的地税，分别为a，b，
甲年增长数相同，为x，企业乙年增长率相同，为y，则a+2x=b，a（1+y）2=b，
2015年企业缴纳地税，甲b+x，乙b（1+y），
∴b（1+y）﹣（b+x）=by﹣x=b（﹣1）﹣=＞0，
∴2015年企业缴纳地税，乙比甲多，
故选：B．
8．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，
四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（）两人说对了．
A．甲丙B．乙丁C．丙丁D．乙丙
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】判断甲与乙的关系，通过对立事件判断分析即可．
【解答】解：甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确．
故答案为：乙、丙．
9．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】由可得到①，②，
③，这三个式子的两边分别平方即可求出cos∠AOB，cos∠BOC，cos∠AOC，
从而可以得出sin∠AOB，sin∠BOC，sin∠AOC，这样根据三角形的面积公式即可分别求出△AOB，△BOC，△AOC的面积，从而得到△ABC的面积．
【解答】解：如图，；
∴由得：
①，②，③；
①两边平方得：；
∴；
∴；
∴OA⊥OB；
同理②③两边分别平方得：，
；
∴；
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC==．
故选：C．
10．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=（）
A．B．C．D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．
【解答】解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，cosα=．
∵函数的图象关于直线x=1对称，
∴π+φ﹣α=+kπ，
即φ=α﹣+kπ，
则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣
2sinαcosα
=﹣2××=﹣，
故选：A．
11．已知函数是[1，∞]上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（）
A．（0，﹣3）B．（0，3）C．（0，﹣2）D．（0，2）
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：由得g′（x）=x2+1﹣．
∵g（x）是[1，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+1﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．
设x2=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+1﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．设y=t+1﹣，t∈[1，+∞），
∵y′=1+＞0，
∴函数y=t+1﹣在[1，+∞）上单调递增，因此y min=2﹣m．
∵y min≥0，∴2﹣m≥0，即m≤2．又m＞0，故0＜m≤2．m的最大值为2．
故得g（x）=x3+x﹣2+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
将函数g（x）的图象向上平移2个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φ（x）
=x3+2x+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
由于φ（﹣x）=﹣φ（x），
∴φ（x）为奇函数，
故φ（x）的图象关于坐标原点成中心对称．
由此即得函数g（x）的图象关于点Q（0，﹣2）成中心对称．
这表明存在点Q（0，﹣2），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
故选：C．
12．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g （x））=λ有6个解，则λ的取值X围为（）
A． B．C．D．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】令g（x）=t，画出y=f（t）与y=λ的图象，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．
【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．
且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，
则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，
x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，
则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，
即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，
当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，
故λ的取值X围为（0，）．
故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．已知等比数列前n项和为S n，若S2=4，S4=16，则S6= 52 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，解关于S6的方程可得．【解答】解：∵等比数列前n项和为S n，S2=4，S4=16，
又∵S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
∴（S4﹣S2）2=S2（S6﹣S4），
∴（16﹣4）2=4（S6﹣16），
解得S6=52
故答案为：52
14．已知x、y的取值如表所示：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a= 2.6 ．
【考点】线性回归方程．
【分析】根据表中的数据可以分别求出变量x，y的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a．
【解答】解：根据表中数据得：；
又由回归方程知回归方程的斜率为0.95；
∴．
故答案为：2.6．
15．在△ABC中，A=30°，2=32，则△ABC的最大角的余弦值为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】A=30°，利用数量积运算性质可得：2=2cos30°=bc，又2=32，可得bc=．利用正弦定理可得：sinBsinC=sin2A=．于是sinB=，化简整理可得：tan2B=，由于，即可得出．【解答】解：∵A=30°，2=2cos30°=bc，2=32，
∴bc=3a2，
∴bc=．
∴sinBsinC=sin2A=．
∴sinB=，
sinB=，
化为+=，
化为tan2B=，
∵，∴2B∈．
∴2B=，或2B=，
∴B=，或B=．
∴A=B=，C=．或A=C=，B=．
∴△ABC的最大角的余弦值==﹣．
故答案为：﹣．
16．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a n}满足a1=a（a＞0），a2=1，a n+2=（n∈N），若a2015=4a，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015的值为7254 ．
【考点】数列递推式．
【分析】当0＜a＜2时，利用递推公式分别求出数列的前8项，得到数列{a n}是以5为周期的周期数列，a2015=a5=4=4a，解得a=1，求出S2015的值；当a≥2时，利用递推公式分别求出数列的前8项，得到数列{a n}是以5为周期的周期数列，a2015=a5=2a=4a，解得a=0，不合题意．
【解答】解：当0＜a＜2时，
∵a1=a（a＞0），a2=1，
a n+2=（n∈N），
∴a3=•2max{1，2}=＞2，
a4=2max{，2}=，
a5=•2max{，2}=4，
a6=•2max{4，2}=a，
a7=•2max{a，2}=1，
a8=•2max{1，2}=，
…
∴数列{a n}是以5为周期的周期数列，
∵2015=403×5，
∴a2015=a5=4=4a，
解得a=1，
∴S2015=403（a+1+）=403（1+1+4+8+4）=7254；
当a≥2时，
∵a1=a（a＞0），a2=1，
a n+2=（n∈N），
∴a3=•2max{1，2}=＜2，
a4=2max{，2}=4，
a5=•2max{4，2}=2a≥4，
a6=•2max{2a，2}=a＞2，
a7=•2max{a，2}=1，
a8=•2max{1，2}=，
…
∴数列{a n}是以5为周期的周期数列，
∵2015=403×5，
∴a2015=a5=2a=4a，解得a=0，不合题意．
故答案为：7254．
三、解答题
17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…
即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，
所以sinA+cosA=0，即，…
又因为A∈（0，π），所以．…
（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…即，解得或，…
又，所以．…
18．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．
（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i，则
，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．
（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P（A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，
设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i（i=0，1，2，3，4），
则，（i=0，1，2，3，4），
这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=．
（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，
P（X=0）=P（A0）+P（A4）==，
P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，
P（X=4）=P（A2）==，
∴X的分布列为：
X 0 3 4
P
∴EX==．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．
【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量
和的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为，又可求得平面MBQ法向量为，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．
【解答】解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ
又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，C（﹣1，，0）∵M是PC中点，∴，
∴
设异面直线AP与BM所成角为θ
则cosθ==，
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，
由，且0≤λ≤1，得，又，∴平面MBQ法向量为．
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，
∴．∴|QM|=
20．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．
【解答】解：（1）由题意，c=1
∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=
∴b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立
当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①
当直线l的斜率不存在时，，，则
•=﹣，
∴
∴m=或m=②
由①②可得m=．
下面证明m=时，恒成立
当直线l的斜率为0时，结论成立；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）
直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣
∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣
综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．
21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调区间；
（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），某某数a的取值X围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）先求f′（x），再计算f′（0），和f（0），即可得到切线方程；
（2）先求函数的导数f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，并且f′（0）=0，判断零点两侧的正负，得到单调区间；
（3）将存在性问题转化为|f（x1）﹣f（x2）|max≥e﹣1，即f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，
根据上一问的单调性得到最小值f（0），再计算端点值f（﹣1）和f（1）比较大小．因为
，再令令
，
求其导数，分情况比较大小，计算a的取值X围．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1），
所以f′（x）=a x lna+2x﹣lna，f′（0）=0，
又因为f（0）=1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）由（1），f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．
当a＞1时，lna＞0，（a x﹣1）lna在R上递增；
当0＜a＜1时，lna＜0，（a x﹣1）lna在R上递增；
故当a＞0，a≠1时，总有f′（x）在R上是增函数，
又f′（0）=0，所以不等式f′（x）＞0的解集为（0，+∞），
故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）；
（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，
而当x∈[﹣1，1]时，|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，
所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1即可．
又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x （﹣∞，0）0 （0，+∞）
f′（x）﹣0 +
f（x）减函数极小值增函数
可得f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，
所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，
f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在a∈（0，1）、（1，+∞）上是增函数．
而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；
当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）．
所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，
函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；
当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即，
函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．
综上可知，所求a的取值X围为．
选做题[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．
【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．
【分析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．
（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．
【解答】解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：
证明：∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∴BE平分∠ABC；…
（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，∴E是弧AC的中点，
∴AE=EC=6，
又∠EBC=∠CAD=∠ADC，
∴ED=BD=8…
∵A、B、C、E四点共圆，
∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF
∴△AEF∽△DEC
∴，
∴EF==…。