题型一、求椭圆的标准方程

题型一、求椭圆的标准方程

例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35

(,)22

-； （3）焦距为6，1a b -=； （4）椭圆经过两点

35

(,)

22

-

，。 例2、（1）与圆C 1：(x ＋3)2

＋y 2

＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2

＋y 2

＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为______________．

（2）已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与

2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为

题型二、椭圆的几何性质的应用

例3、（1）椭圆3

122

2y x +

=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）

A.7倍

B.5倍

C.4倍

D.3倍

（2）如图，A 、B 、C 分别为椭圆22

221x y a b

+=（a>b>0）的顶点

和焦点，若∠ABC=900

，则该椭圆的离心率为

例4、已知点P 是椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）上一点，1F 、

2F 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使

1260F PF ∠=︒.()1求椭圆离心率e 的取值范围；()2求

12PF F △的面积 答案：

（1）)1,21[ （2）2

3

3b

题型三、直线与椭圆的综合应用

例5．设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，

，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF

例6、已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22

221(0)y x a b a b

+=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物

线2

2:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3

MF =(1)求椭圆1C 的方程;

(2)已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=,过点P 的动 直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ,在线段AB 上取一点

Q ,满足:AP PB λ=-,AQ QB λ=,(0λ≠且1λ≠±). 求证:点Q 总在某定直线上.

例7、已知动点P 与双曲线x 2－y 2=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－

3

1。 （1）求动点P 的轨迹方程; （2）设M （0,－1），若斜率为k(k≠0)的直线与P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，试求k 的取值范围，使|MA|=|MB|；

（3）若直线l :y=x+m 与P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，且3=

AB ，M （0，－1）

，求M 到直线l 的距离。

例8、椭圆12222=+b

y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求

2

211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足

33≤e ≤2

2，求椭圆长轴的取值范围. 例9. 如图，设椭圆22

221(0)y x a b a b

+=>>的右顶点与上顶点分别为A 、B ，以A 为圆心，OA

为半径的圆与以B 为圆心，OB 为半径的圆相交于点O 、P ．

（1）求点P 的坐标；

(2) 若点P

在直线y x =

上，求椭圆的离心率； (3) 在（2）的条件下，设M 是椭圆上的一动点，且点N （

到椭圆上点的最近距离为3，求椭圆的方程．

例10、在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出C 的方程；

（Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值；

（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |