河南省平顶山市叶县中考数学模拟试卷(含答案)

2021年河南省平顶山市叶县中考数学一模试卷〔 3月份〕
一．选择题〔共 10小题，总分值 30分，每题 3分〕
1．﹣8的相反数是〔
〕
A ．﹣8
B ．
C ．8 D
．﹣
2．中国倡议的“一带一路〞建设将促使我国与世界各国的互利合作，依据规划“一带一路〞地域覆
盖总人口44亿，这个数用科学记数法表示为〔
〕
A ．44×108
B ．×109
C ．×108
D ．×1010
3．第14届中国〔深圳〕国际茶家产展览会在深圳会展中心展出一只以以下图的紫沙壶，从不一样方
向看这只紫沙壶，你以为是从上边看到的成效图是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
4．以下各运算中，计算正确的选项是〔
〕
A ．a 12÷a 3＝a 4
B ．〔3a 2〕3＝9a 6
C ab 2
＝a 2
﹣ab+b 2
D 2a3a 2 〕 ＝
6a
．〔﹣ ．? 5．一组数据﹣ 3，2，2，0，2，1 的众数是〔 〕
A ．﹣3
B ．2
C ．0
D ．1
6．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游 泳帽同样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的 2倍，设男孩有 x 人，女孩有 y 人，
那么以下方程组正确的选项是〔
〕
A ．
B ．
C ．
D ．
7．一元二次方程x 2
﹣2kx+k
2
﹣k+2＝0
有两个不相等的实数根，那
么k的取值范围是〔〕
A．k＞﹣2B．k＜﹣2C．k＜2D．k＞2
8．将一副三角板〔∠A＝30°〕按以以下图方式摆放，使得AB∥EF，那么∠1等于〔〕
A．75°B．90°C．105°D．115°
9．如图，以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴成立直角坐标系，假定E是AD的中点，将△ABE
沿BE折叠后获得△GBE，延伸BG交OD于F点．假定OF＝I，FD＝2，那么G点的坐标为〔〕
A．〔，〕B．〔，〕C．〔，〕D．〔，〕
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥
BC，BD＝DE＝2，CE＝，BC＝．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D →E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P
的运动时间为t，那么S对于t的函数图象大概为〔〕
A．B．
C．D．
二．填空题〔共5小题，总分值15分，每题3分〕11．＝．
12．将抛物线y＝﹣
2
5个单位．再向下平移3个单位，能够获得新的抛物线是：5x先向左平移
13．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不一样的数相乘，积为正数的概率是．
14．如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰巧与CD相切于点C，交AD于点E，延伸BA与⊙A订交于点F．假定的长为，那么图中暗影局部的面积为．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连结EP，将△APE沿PE折叠获得△FPE，连结CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为
．
三．解答题〔共8小题，总分
值
75分〕
16．〔8分〕先化简再求值〔a+2b〕〔a﹣2b〕﹣〔a﹣b〕
2+5b〔a+b〕．此中a＝2﹣，b＝2+
．
17．〔9
分〕某品牌牛奶供给商供给A，B，C，D
四种不一样口胃的牛奶供学生饮用．某校为了认识
学生对不一样口胃的牛奶的爱好，对全校正牛奶的学生进行了随机检查，并依据检查结果绘制了以下两幅不完好的统计图．依据统计图的信息解决以下问题：
1〕本次检查的学生有多少人？
2〕补全上边的条形统计图；
〔3〕扇形统计图中C对应的中心角度数是；
〔4〕假定该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每日只订一盒牛奶，要使学生能喝到自
己喜爱的牛奶，那么该牛奶供给商送往该校的牛奶中，A，B口胃的牛奶共约多少盒？
18．〔9分〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的均分线交⊙O于点D，连结BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延伸线订交于点P．
1〕求证：PD是⊙O的切线；
2〕求证：AB?CP＝BD?CD；
3〕当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
19．〔9分〕某数学活动小组实地丈量湛河两岸相互平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸
边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，而后向北走20米抵达点
C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．〔结果精准到1米，参照数据：
sin33°＝，cos33°≈，tan33°＝，
≈〕
20．〔9分〕如图，校园有两条路
OA、OB，在交错口邻近有两块宣传牌
C、D，学校准备在这里安
装一盏路灯，要求灯柱的地点
P离两块宣传牌同样远，而且到两条路的距离也同样远，请你用尺
规作出灯柱的地点点
P．〔请保留作图印迹〕
21．〔10分〕小王是“新星厂〞的一名工人，请你阅读以下信息：
信息一：工人工作时间：每日上午
8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每个月工作 25天；
信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：
生产甲产品数〔件〕 生产乙产品数〔件〕 所用时间〔分钟〕
10 10 350
30
20
850 信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得
元，每生产一件乙种产品得
元．
信息四：该厂工人每个月收入由底薪和计酬薪资两局部构成，小王每个月的底薪为
1900元，请依据
以上信息，解答以下问题：
〔1〕小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；
〔2〕2021年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数许多于 60件，那么小王该月收入最多是多少元？
此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？
22．〔10分〕有两张完好重合的矩形纸片，将此中一张绕点 A 顺时针旋转 90°后获得矩形 A MEF
〔如图1〕，连结 BD ，MF ，假定BD ＝16cm ，∠ADB ＝30°．
〔1〕尝试究线段 BD 与线段MF 的数目关系和地点关系，并说明原因；
〔2〕把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△ AB 1D 1，边AD 1交FM 于点
K 〔如图2〕，设旋转角为 β〔0°＜β＜90°〕，当△AFK 为等腰三角形时，求 β的度数； 〔3〕假定将△AFM 沿AB 方向平移获得△ A 2F 2M 2〔如图3〕，F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD
交于点N ，当NP ∥AB 时，求平移的距离．
23．〔11分〕在平面直角坐标系
xOy 中抛物线y ＝﹣x 2
+bx+c 经过点A 、B 、C ，A 〔﹣1，0〕，
C〔0，3〕．
（〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最
大时，求点P的坐标；
3〕如图2，抛物线极点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M〔m，0〕是x轴上一动点，假定∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．
2021年河南省平顶山市叶县中考数学一模试卷〔
3月份〕
参照答案与试题分析
一．选择题〔共 10小题，总分值 30分，每题 3分〕
1．【剖析】依据相反数的观点：只有符号不一样的两个数叫做互为相反数可得答案．
【解答】解：﹣8的相反数是 8，
应选：C ．
【评论】本题主要考察了相反数，重点是掌握相反数的定义．
2．【剖析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为
a ×10n
，此中1≤|a|＜10，n 为整数，据此
判断即可．
【解答】解：44亿＝×109
．
应选：B ．
【评论】本题主要考察了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a ×10n
，此中1≤|a|＜10，确
定a 与n 的值是解题的重点．
3．【剖析】俯视图就是从物体的上边看物体，从而获得的图形．
【解答】解：由立体图形可得其俯视图为：
． 应选：C ．
【评论】本题主要考察了简单组合体的三视图，正确掌握三视图的察看角度是解题重点．
4．【剖析】各项计算获得结果，即可作出判断．
【解答】解：A 、原式＝a 9，不切合题意；
B 、原式＝27a 6，不切合题意；
C 、原式＝a 2﹣2ab+b 2，不切合题意；
D 、原式＝6a 2，切合题意．
应选：D ．
【评论】本题考察了整式的混淆运算，娴熟掌握运算法那么是解本题的重点．
5．【剖析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题依据众数的定义就能够求解．
【解答】解：这组数据中 2出现次数最多，有 3次，
因此众数为 2，
应选：B ．
【评论】本题主要考察众数，解题的重点是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
6．【剖析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽同样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多
倍，从而分别得出等式即可．
【解答】解：设男孩 x 人，女孩有
y 人，依据题意得出：
，
解得： ，
应选：C ．
【评论】本题主要考察了二元一次方程组的应用，依据题意利用得出正确等量关系是解题重点．
7．【剖析】依据方程的系数联合根的鉴别式，即可得出对于
k 的一元一次不等式，解之即可得出
k
的取值范围．
【解答】解：∵方程
x 2﹣2kx+k 2
﹣k+2＝0有两个不相等的实数根，
2
2
∴△＝〔﹣2k 〕﹣4〔k ﹣k+2〕＝4k ﹣8＞0，
应选：D ．
【评论】本题考察了根的鉴别式，解题的重点是切记“当△＞
0时，方程有两个不相等的实数根．
8．【剖析】依照
AB ∥EF ，即可得∠
BDE ＝∠E ＝45°，再依据∠
A ＝30°，可得∠
B ＝60°，利用
三角形外角性质，即可获得∠
1＝∠BDE+∠B ＝105°．
【解答】解：∵AB ∥EF ， ∴∠BDE ＝∠E ＝45°，
又∵∠A ＝30°， ∴∠B ＝60°，
∴∠1＝∠BDE+∠B ＝45°+60°＝105°，
应选：C ．
【评论】本题主要考察了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
9．【剖析】连结EF ，作GH ⊥x 轴于H ，依据矩形的性质得AB ＝OD ＝OF+FD ＝3，再依据折叠的性质得BA ＝BG ＝3，EA ＝EG ，∠BGE ＝∠A ＝90°，而AE ＝DE ，那么GE ＝DE ，于是可依据“HL 〞
证明Rt△DEF≌Rt△GEF，获得FD＝FG＝2，那么BF＝BG+GF＝5，在Rt△OBF中，利用勾股定
理计算出
OH OB＝2，而后依据△FGH∽△FBO，利用相像比计算出GH＝，FH＝，那
么
＝OF﹣HF＝
，因此G点坐标为〔，〕．
【解答】解：连结EF，作GH⊥x轴于H，如图，
∵四边形ABOD为矩形，
AB＝OD＝OF+FD＝1+2＝3，
∵△ABE沿BE折叠后获得△GBE，
BA＝BG＝3，EA＝EG，∠BGE＝∠A＝90°，∵点E为AD的中点，
AE＝DE，
GE＝DE，
Rt△DEF和Rt△GEF中
，
Rt△DEF≌Rt△GEF〔HL〕，
FD＝FG＝2，
BF＝BG+GF＝3+2＝5，
Rt△OBF中，OF＝1，BF＝5，
∴OB＝＝2，
GH∥OB，
∴△FGH∽△FBO，
∴＝＝，即＝＝，
∴GH＝，FH＝，
OH＝OF﹣HF＝1﹣＝，
〕．
∴G点坐标为〔，应
选：B．
【评论】本题考察了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．也考察了坐标与图形的性质和相像三角形的判断与
性质．
10．【剖析】依据题意易知道当 P在BD上由B向D运动时，△BPQ的高PQ和底BQ都跟着t的
增大而增大，那么S△BPQ就是PQ和BQ两个一次函数相乘再乘以二分之一，结果是一个二次
函数，而后依据它们的斜率乘积的正负性鉴别抛物线张口方向；当P在DE上有D向E运动时，
高PQ不变，底BQ跟着t的增大而增大，那么S△BPQ是一个一次函数，而后依据斜率的正负性鉴别图象上涨仍是降落；当P在EC上由E向C运动时高PQ渐渐减小，底BQ渐渐增大，S△BPQ
的图象会是一二次函数，再依据PQ和BQ两个一次函数的斜率乘积的正负性来判断抛物线张口
方向．
【解答】解：∵PQ⊥BQ
∴在P、Q运动过程中△BPQ一直是直角三角形．
S△BPQ＝PQ?BQ
①当点P在BD上，Q在BC上时〔即0s≤t≤2s〕
BP＝t，BQ＝PQ?cos60°＝t，PQ＝BP?sin60°＝t
S△BPQ＝ PQ?BQ＝ ? t?t＝t2
此时S△BPQ的图象是对于t〔0s≤t≤2s〕的二次函数．
∵＞0
∴抛物线张口向上；
②当P在DE上，Q在BC上时〔即2s＜t≤4s〕
PQ＝BD?sin60°＝×2＝，BQ＝BD?cos60°+〔t﹣2〕＝t﹣1
S△BPQ＝PQ?BQ＝??〔t﹣1〕＝t﹣
此时S △BPQ 的图象是对于 t 〔2s ＜t ≤4s 〕的一次函数．
∵斜率 ＞0
∴S △BPQ 随t 的增大而增大，直线由左向右挨次上涨．
③当 P 在DE 上， P 在EC 上时〔即 4s ＜t ≤ s 〕
PQ ＝ [CE t 4 ]sin45 °＝
t 4st
≤
sBQ BC ﹣ CQ ＝ BC ﹣ [CE t 4] ﹣〔 ﹣〕? ﹣〔＜ 〕，＝ ﹣〔 ﹣〕
cos45 ﹣〔
t
t+
? °＝
﹣〕＝
S △BPQ ＝ PQ?BQ
因为睁开二次项系数 a ＝ k 1?k 2＝ ?〔﹣ 〕?〔 〕＝﹣
抛物线张口向下，
应选：D ．
【评论】本道题考察了图形动点剖析能力与分段函数剖析能力．充足表达了数形联合的思想． 二．填空题〔共 5小题，总分值 15分，每题 3分〕
11．【剖析】依据算术平方根的定义、负整数指数幂计算可得．
【解答】解：原式＝2 ﹣4+4＝2 ，
故答案为：2 ．
【评论】本题主要考察实数的运算，解题的重点是娴熟掌握算术平方根的定义和负整数指数幂的
定义．
12．【剖析】依据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的极点坐标，再利用极点式
分析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线
y ＝﹣5x 2先向左平移
5个单位长度，再向下平移
3个单位长度，
∴新抛物线极点坐标为〔﹣ 5，﹣3〕，
∴所获得的新的抛物线的分析式为 y ＝﹣5〔x+5〕2
﹣3，
y ＝﹣5x 2
﹣50x ﹣128，
故答案为y ＝﹣5x 2
﹣50x ﹣128．
【评论】本题考察了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用极点的变化求解更简易．
13．【剖析】第一依据题意列出表格，而后由表格即可求得全部等可能的结果与积为正数的状况，
再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：列表以下：
积﹣2﹣12
﹣22﹣4
﹣12﹣2
2﹣4﹣2
由表可知，共有6种等可能结果，此中积为正数的有2种结果，
因此积为正数的概率为，
故答案为：．
【评论】本题考察的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法能够不重复不遗漏的列出全部可能的结果，合适于两步达成的事件；树状图法合适两步或两步以上达成的事件；注意概率＝所讨状况数与总状况数之比．
14．【剖析】求图中暗影局部的面积，就要从图中剖析暗影局部的面积是由哪几局部构成的．很显
然图中暗影局部的面积＝△ACD的面积﹣扇形ACE的面积，而后按各图形的面积公式计算即可．【解答】解：连结AC，DC是⊙A的切线，∴AC⊥CD，
又∵AB＝AC＝CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝45°，又∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，∴∠FAD＝∠B＝45°，
的长为，
∴，
解得：r＝2，
∴S
暗影
＝S
△ACD
﹣S
扇形ACE
＝
．
故答案为：
．
【评论】本题主要考察了扇形的面积计算方法，不规那么图形的面积往常转变为规那么图形的面积的和差．
15．【剖析】分两种状况进行议论：当∠ CFE ＝90°时，△ECF 是直角三角形；当∠ CEF ＝90°时，
ECF 是直角三角形，分别依据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．【解答】解：以以下图，当∠CFE ＝90°时，△ECF 是直角三角形，
由折叠可得，∠
PFE ＝∠A ＝90°，AE ＝FE ＝DE ，
∴∠CFP ＝180°，即点
P ，F ，C 在一条直线上， Rt △CDE 和Rt △CFE 中， ，
Rt △CDE ≌Rt △CFE 〔HL 〕， CF ＝CD ＝4， AP ＝FP ＝x ，那么BP ＝4﹣x ，CP ＝x+4，
Rt △BCP 中，BP 2+BC 2＝PC 2，即〔4﹣x 〕2+62＝〔x+4〕2
，
解得x ＝，即AP ＝；
以以下图，当∠ CEF ＝90°时，△ECF 是直角三角形，
F 作FH ⊥AB 于H ，作FQ ⊥AD 于Q ，那么∠FQE ＝∠D ＝90°，又∵∠FEQ+∠CED ＝90°＝∠ECD+∠CED ，
∴∠FEQ ＝∠ECD ，∴△FEQ ∽△ECD ，
∴
＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得FQ ＝
，QE ＝
，
AQ ＝HF ＝，AH ＝，
AP ＝FP ＝x ，那么HP ＝﹣x ，
∵Rt △PFH 中，HP 2+HF 2＝PF 2
，即〔 ﹣x 〕2
+〔 〕2＝x 2，
解得x ＝1，即AP ＝1．
综上所述，AP 的长为1或 ．
【评论】本题考察了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判断与性质，相像三角形的判断与性
质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两
种状况，需要分类议论，防备漏解． 三．解答题〔共 8小题，总分值 75分〕
16．【剖析】先依据整式的混淆运算次序和运算法那么化简原式，再将 a 、b 的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝a 2﹣4b 2﹣〔a 2﹣2ab+b 2〕+5ab+5b 2
a 2﹣4
b 2﹣a 2+2ab ﹣b 2+5ab+5b 2
7ab ，
当a ＝2﹣ ，b ＝2+ 时，
原式＝7 ×〔
2﹣〕×〔2+ 〕
＝7×〔 4﹣3 〕
7．
【评论】本题主要考察整式的混淆运算﹣化简求值，解题的重点是娴熟掌握整式的混淆运算次序和运算法那么．
17．【剖析】〔1〕利用A类型人数及其百分比可得总人数；
2〕总人数减去A、B、D类型人数，求得C的人数即可补全图形；
3〕360°×C类型人数所占比率可得；
4〕总人数乘以样本中A、B人数占总人数的比率即可．
【解答】解：〔1〕本次检查的学生有30÷20%＝150人；
2〕C类型人数为150﹣〔30+45+15〕＝60人，补全条形图以下：
〔3〕扇形统计图中C对应的中心角度数是360°×＝144°
故答案为：144°
〔4〕600×〔〕＝300〔人〕，
答：该牛奶供给商送往该校的牛奶中，A，B口胃的牛奶共约300盒．
（【评论】本题考察条形统计图、扇形统计图等知识．联合生活实质，绘制条形
统计图，扇形统计图或从统计图中获得实用的信息，是最近几年中考的热门．只需
能仔细正确读图，并作简单的计算，一般难度不大．
18．【剖析】〔1〕想方法证明OD⊥PD即可．
2〕证明△BAD∽△CDP，即可解决问题．
3〕利用勾股定理求出BC，BD，CD，再利用〔2〕中结论即可解决问题．【解答】
〔1〕证明：连结OD．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
BC∥PA，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
OD⊥PA，
PD是⊙O的切线．
2〕证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△BAD∽△CDP，
∴＝，
∴AB?CP＝BD?CD．
3〕解：∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∴BD＝CD＝，
∵
AB?CP＝BD?CD．
∴PC＝＝．
【评论】本题属于圆综合题，考察了切线的判断，相像三角形的判断和性质，勾股定理等知识，解题的重点是正确找寻相像三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．【剖析】延伸CA交BE于点D，得CD⊥BE，设AD＝x，得BD＝x米，CD＝〔20+x〕米，根
据＝tan∠DCB列方程求出x的值即可得．
【解答】解：如图，延伸CA交BE于点D，
CD⊥BE，
由题意知，∠DAB＝45°，∠DCB＝33°，
则AD＝x米，
BD＝x米，CD＝〔20+x〕米，
在Rt△CDB
中，＝tan∠DCB，
∴
≈，
解得
x≈37，
答：这段河的宽约为37米．
【评论】本题考察认识直角三角形的应用﹣方向角问题，作出协助线结构直角三角形是解题的重点．
20．【剖析】分别作线段 CD的垂直均分线和∠AOB的角均分线，它们的交点即为点P．
【解答】解；如图，点P为所作．
【评论】本题考察了作图﹣应用与设计作图，熟知角均分线的性质与线段垂直均分线的性质是解
答本题的重点．
21．【剖析】〔1〕设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，
的值．
2〕设生产甲种产品用x分，那么生产乙种产品用〔25×8×60﹣x〕分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．【解答】解：〔1〕设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．
由题意得：，
解这个方程组得：，
答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．
〔2〕设生产甲种产品共用x分，那么生产乙种产品用〔25×8×60﹣x〕分．
那么生产甲种产品件，生产乙种产品件．
∴w总数＝××
＝0.1x+×
0.1x+1680﹣
＝﹣0.04x+1680，
又≥60，得x≥900，
由一次函数的增减性，当x＝900时w获得最大值，此时w＝﹣×900+1680＝1644〔元〕，
那么小王该月收入最多是1644+1900＝3544〔元〕，
此时甲有＝60〔件〕，
乙有：＝555〔件〕，
答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．
【评论】本题考察了一次函数和二元一次方程组的应用．解题重点是要读懂题目的意思，依据题
目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程组，再求解．
22．【剖析】〔1〕有两张完好重合的矩形纸片，将此中一张绕点A顺时针旋转90°后获得矩形A MEF 〔如图1〕，得BD＝MF，△BAD≌△MAF，推出BD＝MF，∠ADB＝∠AFM＝30°，从而可得
∠DNM的大小．
〔2〕分两种情况议论①当AK＝FK时，②当AF＝FK时，依据旋转的性质得出结论．
〔3〕求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A＝PN，只需求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比率，即可获得A2A的大小．
【解答】解：〔1〕结论：BD＝MF，BD⊥MF．原因：
如图1，延伸FM交BD于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．
又∵∠DMN＝∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，∴∠DNM＝90°，
BD⊥MF．
〔2〕如图2，
①当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°，
那么∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，即β＝60°；
②当AF＝FK时，∠FAK＝〔180°﹣∠F〕＝75°，
∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°，
即β＝15°；
综上所述，β的度数为60°或15°；
〔3〕如图3，
由题意得矩形PNA2A．设A2A＝x，那么PN＝x，
Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝16，∠F＝∠ADB＝30°，
∴A2M2＝8，A2F2＝8，
AF2＝8﹣x．
∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°，
∴AP＝AF2?tan30°＝8﹣x，
∴PD＝AD﹣AP＝8﹣8+x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP＝∠B．
∵∠D＝∠D，
∴△DPN∽△DAB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝12﹣4，即A2A＝12﹣4，
∴平移的距离是〔 12﹣4 〕cm ．
【评论】本题属于四边形综合题，主要考察了旋转的性质，相像三角形的判断与性质，勾股定理
的运用，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相像三角形的性质时注意使用相等线段的代换以
及注意分类思想的运用． 23．【剖析】〔1〕由y ＝﹣x 2
+bx+c 经过点A 、B 、C ，A 〔﹣1，0〕，C 〔0，3〕，利用待定系数法
即可求得此抛物线的分析式；
〔2〕第一令﹣x 2
+2x+3＝0，求得点B 的坐标，而后设直线
BC 的分析式为y ＝kx+b ′，由待定系
数法即可求得直线
BC 的分析式，再设 P 〔a ，3﹣a 〕，即可得
D 〔a ，﹣a 2
+2a+3〕，即可求得 PD 的长，由 △
＝S △
△
PDB
，即可得S △
BDC
＝﹣ 〔a ﹣
〕2
，利用二次函数的性质，
S BDC PDC +S
+ 即可求适当△BDC 的面积最大时，求点 P 的坐标；
〔3〕直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式 m ＝〔n ﹣
〕2﹣
，而后依据n 的取
值获得最小值．
【解答】解：〔1〕由题意得：
，
解得：
，
∴抛物线分析式为
y ＝﹣x 2
+2x+3；
2〕令﹣x 2
+2x+3＝0，
∴x 1＝﹣1，x 2＝3，即B 〔3，0〕， 设直线BC 的分析式为y ＝kx+b ′，
∴
，
解得：
，
∴直线BC 的分析式为 y ＝﹣x+3，
P 〔a ，3﹣a 〕，那么D 〔a ，﹣a 2+2a+3〕，∴PD ＝〔﹣a 2+2a+3〕﹣〔3﹣a 〕＝﹣a 2
+3a ，
∴S △BDC ＝S △PDC +S △PDB
＝ PD?a+ PD?〔3﹣a 〕
PD?3
2
＝ 〔﹣a+3a 〕
＝﹣ 〔a ﹣ 〕2+ ，
∴当a ＝
时，△BDC 的面积最大，此时 P 〔 ，
〕；
3〕由〔1〕，y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣〔x ﹣1〕2
+4，
∴E 〔1，4〕，
设N 〔1，n 〕，那么0≤n ≤4，
取CM 的中点Q 〔，〕，∵∠MNC ＝90°，
NQ ＝CM ，
4NQ 2＝CM 2，
∵NQ 2＝〔1﹣ 〕2+〔n ﹣ 〕2， 4[＝〔1﹣〕2+〔n ﹣〕2]＝m 2
+9，
整理得，m ＝n 2﹣3n+1，即m ＝〔n ﹣〕2
﹣，∵0≤n ≤4，
当n ＝
上，M 最小值＝﹣ ，n ＝4时，M 最小值＝5，
综上，m 的取值范围为：﹣
≤m ≤5．
【评论】本题考察了待定系数法求函数的分析式、相像三角形的判断与性质、二次函数的最值问题、鉴别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．本题综合性很强，难度较大，注意掌握数
形联合思想、分类议论思想与方程思想的应用．。