(易错题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．1cos 2
ρθ=
B ．sin 2ρθ=
C ．cos 2ρθ=
D ．1sin 2
ρθ=
2．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-
D ．8sin ρθ=-
3．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )
A ．10cos ρ=-π-6θ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭ B ．10cos ρ=π-
6θ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+
⎪⎝
⎭
D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+
⎪⎝
⎭
4．极坐标方程cos ρθ=与1
cos 2
ρθ=
的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．
5．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫
⎪⎝
⎭
，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=
B ．ρsin θ=
C ．1ρsin θ
=-
D ．1ρsin θ
=
6．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是 A ．(1,)2
π
B ．(1,)2
π
-
C ．(1,0)
D ．(1，π)
7．在极坐标系中，点到直线
的距离是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 8．直线πsin 44ρθ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的位置关系是（ ）． A ．相交但不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切 D ．相离 9．圆心在(0,1)且过极点的圆的极坐标方程为（ ）
A ．1ρ=
B ．cos ρθ=
C ．2cos ρθ=
D ．2sin ρθ=
10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'5'3x x
y y
=⎧⎨
=⎩后，曲线C 变为曲线
22281x y '+'=，则曲线C 的方程为
A ．50x 2＋72y 2＝1
B ．9x 2＋100y 2＝1
C ．10x 2＋24y 2＝1
D ．
225x 2＋89
y 2
＝1 11．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan 1θ=与4
π
θ=
表示同一条曲线；③3ρ=与3ρ=-表示同一条曲
线．在这三个结论中正确的是（ ） A ．①③ B ．③
C ．②③
D ．①
12．
0x y -=的极坐标方程(限定0ρ≥)为 A ．6π
θ= B ．76θπ=
C ．6π
θ=
或76
θπ=
D ．56
πθ=
二、填空题
13．在极坐标系下，点π
(1,)2
P 与曲线2cos ρθ=上的动点Q 距离的最小值为_________．
14．在极坐标系中，已知(2,)6
A π
，5(4,
)6
B π
，则A ，B 两点之间的距离AB 为__________．
15．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为:cos 4l πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭C
的参数方程12
2x y θθ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.
16．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为_____（结果用反三角函数值表示）.
17．在极坐标下，定义两个点()11,ρθ和()22,ρθ（1ρ，20ρ>，10θ≤，22θπ≤）的“极坐标中点“为1212,2
2ρρθθ++⎛⎫
⎪⎝⎭，设点A 、B 的极坐标为4,100π⎛⎫ ⎪⎝⎭与518,100π⎛⎫
⎪⎝⎭，设M 为线段AB 的中点，N 为点A 、B 的”极坐标中点“，则线段MN 的长度的平方为______ 18．点C 的极坐标是(2,
)4
π
,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中，直线cos 10ρθ+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为__________． 20．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1
的参数方程为2x cosa
y =⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在极坐标系(与
直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参
数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为
sin 13πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6
MON π
∠=
，求面积
MON ∆的最大值.
22．
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,
2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程.
23．已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点(1,0)M ，倾斜角为
34
π. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||MA MB +的值.
24．在直角坐标系xOy 中，圆C :22(1)1x y -+=,以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是(sin )θθρ=OM :3
π
θ=
与圆C 的交点为O 、
P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
25．在直角坐标系xOy 中，曲线()22
1:24C x y -+=，曲线22cos :sin x C y φφ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参
数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线l 的极坐标方程为004π
θααρ⎛⎫
=≤≤
> ⎪⎝
⎭
，，若l 分别与1C ，2C 交于异于极点的M ，N 两点．求OM ON ⋅的取值范围．
26．直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方程为
cos
1sin x t
y t
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋＝0. （1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB|＝2时，求△ABC 2的面积．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
把极坐标方程化为直角坐标方程，再判断是否相切． 【详解】
由题意圆的直角坐标方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，圆心上(0,2)C ，半径为
2r ，
A 中直线方程是1
2
x =
，B 中直线方程是2y =，C 中直线方程是2x =，D 中直线方程是1
2
y =
，只有直线2x =与圆相切． 故选：C ． 【点睛】
方法点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系．在极坐标系中两者位置关系的差别是不方便的，解题方法是把极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系中判断直线与圆的位置关系．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
设出B 点坐标，得出A 点坐标，将A 点坐标代入曲线方程8sin ρθ=，化简后得到曲线C 的极坐标方程. 【详解】
设点(),B ρθ，则点,2A πρθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，代入8sin ρθ=，得8sin 8cos 2πρθρθ⎛⎫
=+
⇒= ⎪⎝
⎭
.故选A.
本小题主要考查曲线的极坐标方程的求法，考查的是代入法求轨迹方程，属于基础题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
将方程5sin ρθθ=-化为直角坐标方程，然后求出该方程关于极轴对称的方程，再转化为极坐标方程即可． 【详解】
∵5sin ρθθ=-，
∴
2cos 5sin ρθρθ=-，
将222,?,?x y cos x sin y ρρθρθ=+==代入上式，得225x y y +=-， ∴曲线
关于极轴对称的曲线C 的直角坐标方程为225x y y +=+，
化为极坐标方程为5sin ρθθ=+，
即ρ=θ+5sin θ=10co πs 6θ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
． 故选B ． 【点睛】
（1）进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，y
tan x
θ=
(x ≠0)． （2）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．
4．B
解析：B 【解析】
分析：先化为直角坐标方程，再根据方程判断选项.
详解：因为cos ρθ=，所以2222
11,(),24
x y x x y +=-+=
因为1
cos 2ρθ=，所以12
x = 因此选B.
点睛：研究极坐标方程的性质，往往先化直角坐标方程，再根据直角坐标方程研究对应曲线性质.
5．D
解析：D
分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程． 详解：把点P 的极坐标π2,
6⎛⎫
⎪⎝
⎭
化为直角坐标为
31（，）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ， 化为极坐标方程为1sin ρθ=， 故选D ．
点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题．
6．B
解析：B 【详解】
由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,
22sin ρρθ=-，222x y y +=-，
2220x y y =++，
圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.
7．C
解析：C 【解析】 点到直线分别化为直角坐标系下的坐标与方程：，直线
点
到直线
的距离
，
点
到直线
的距离是，故
选C.
8．C
解析：C 【解析】
分析：直线πsin 44ρθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，求出圆心到直线距离，与半径比较即可得结论. 详解：直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭可化成
22
cos 422
sin ρθρθ+= , 22
4x y =,420y x +-=，
圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
可化成2
cos sin ρθθ=+,
22((4x y +=，
圆心
到直线的距离2d r =
==，
所以圆与直线相切．故选C ．
点睛：利用关系式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
可以把极坐标与直角坐标互化，这类问题一般我们可以先
把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 9．D
解析：D 【详解】
分析：先根据圆心与半径写出圆标准方程，再化为极坐标方程.
详解：因为圆心在()0,1且过极点，所以半径为1，圆方程为22(0)(1)1x y -+-= 所以22220,2sin 0,2sin x y y ρρθρθ+-=-=∴= 因此选D.
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如
2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两
边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
10．A
解析：A 【解析】
将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将'5'3x x
y y
=⎧⎨
=⎩直接代入2x ′2＋8y ′2＝1，
得2·
(5x )2＋8(3y )2＝1，则50x 2＋72y 2＝1即所求曲线C 的方程．故选A ． 11．B
解析：B 【解析】
在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上任意一点的极坐标不一定都适合其极坐标方程，故①是错误的；tan 1θ=不仅表示4
π
θ=这条
射线，还表示54
π
θ=
这条射线，故②是错误的；3ρ=与3ρ=-的差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．故选B ．
12．C
解析：C 【解析】
0x y -=sin 0cos θρθ-=，即tan θ=
又0ρ≥，所以6
π
θ=
或76
π
θ=
．故选C ． 二、填空题
13．【解析】【分析】先求出点P 的直角坐标和曲线的普通方程再利用数形结合和圆的知识求距离的最小值【详解】由题得点P 的直角坐标为（01）所以曲线是以点（10）为圆心以1为半径的圆所以点P 到圆上动点的最小距离
1
【解析】 【分析】
先求出点P 的直角坐标和曲线的普通方程，再利用数形结合和圆的知识求距离的最小值. 【详解】
由题得点P 的直角坐标为（0,1），
222222cos 2cos +201)1x y x x y ρθρρθ=∴=∴-=∴-+=，，，（，
所以曲线是以点（1，0）为圆心，以1为半径的圆，
所以点P 11=.
1 【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系即利用ρcosθ=xρsinθ=y 进行代换将极坐标化成直角坐标再在直角坐标系中算出两点间的距离即可【详解】根据x=ρcosθy=ρsinθ点的直角坐标为：故答案
解析：【分析】
先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，进行代换将极坐标化成直角坐标，再在直角坐标系中算出两点间的距离即可． 【详解】
根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点52,
,4,66
A B ππ⎛
⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，的直角坐标为：
A B AB -∴==），（）， ，
故答案为 【点睛】
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，本题解题的关键是能进行极坐标和直角坐标的互化．
15．【分析】把参数方程设极坐标化为直角坐标方程求出弦心距则即为所求得到答案【详解】直线的极坐标方程为即为化为直角坐标方程把曲线的参数方程（为参数）可得普通方程表示以为圆心半径为的圆则圆心到直线的距离为所
解析：【分析】
把参数方程，设极坐标化为直角坐标方程，求出弦心距d ，则d r -即为所求，得到答案． 【详解】
直线l
的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
cos sin 22
ρθρθ+= 化为直角坐标方程80x y +-=，
把曲线C
的参数方程12sin 2
x y θθ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（θ为参数），可得普通方程
221(1)(2)2
x y -+-=
， 表示以(1,2)
为圆心，半径为
2
的圆，
则圆心到直线的距离为2
d =
=
， 所以曲线C 上的点到直线l
的距离的最小值为22
d r -=-= 【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用圆的性质求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．【分析】利用直角坐标与极坐标之间的关系把极坐标方程转化为直角坐标方程再利用直线的直角坐标方程以及图形求出它们的夹角即可【详解】解：把极坐标方程与化为普通方程即为与如图所示直线的倾斜角的余弦值为故直线
解析：arccos
5
【分析】
利用直角坐标与极坐标之间的关系，把极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用直线的直角坐标方程以及图形求出它们的夹角即可。

【详解】
解：把极坐标方程(cos 2sin )1ρθθ+=与sin 1ρθ=化为普通方程 即为21x y +=与1y =，如图所示
直线21x y +=的倾斜角的余弦值为25
， 故直线21x y +=与直线1y =25
， 所以直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小25。

【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标之间的互化问题，能熟练进行极坐标与直角坐标之间的互化，是解题的关键。

17．【分析】先求出AB 的直角坐标然后求出MN 的直角坐标由两点之间的距离公式化简即可得解【详解】A 的直角坐标为B 的直角坐标为即所以AB 的中点坐标为N 的直角坐标为所以故答案为：【点睛】本题考查极坐标与直角坐 解析：56362-【分析】
先求出A ，B 的直角坐标，然后求出M ，N 的直角坐标，由两点之间的距离公式化简即可得解. 【详解】
A 的直角坐标为4cos
,4sin
100
100A π
π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，B 的直角坐标为51518cos
,8sin 100100B ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
即(8sin
,8cos
)100
100
B π
π
-，
所以AB 的中点坐标为(2cos 4sin
,2sin
4cos
)100
100
100
100
M π
π
π
π
-+，
N 的直角坐标为1313(6cos
,6sin )5050
N ππ
.
所以2221313(2cos 4sin
6cos )(2sin 4cos 6sin )1001005010010050MN π
πππππ=--++- 131********cos
sin 24cos cos 48sin cos 1001001005010050ππππππ=++--+ 131316cos sin 24sin sin 48cos sin 1001001005010050
π
π
π
πππ+--
5624cos 48sin()5644ππ
=-+-=-
故答案为：56-【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，两点间的距离公式，二倍角公式，属于中档题. 18．【解析】【分析】根据得结果【详解】因为点C 的极坐标是所以点C 的直角坐标为【点睛】本题考查极坐标化直角坐标属于基础题
解析：
【解析】
【分析】
根据cos ,sin x y ρθρθ==得结果.
【详解】
因为点C 的极坐标是2,4π⎛
⎫ ⎪⎝⎭,所以ππ2cos 2sin 44
x y ==C 的直角坐标为
. 【点睛】
本题考查极坐标化直角坐标. 属于基础题.
19．1【解析】极坐标系中直线在直角坐标系中为圆两边同乘得：在直角坐标系中变为即圆心到直线的距离即圆与直线相切两者只有个公共点故答案为：1 解析：1
【解析】
极坐标系中，直线cos 1ρθ=-，在直角坐标系中为1x =-，
圆2sin ρθ=，两边同乘ρ得：22sin ρρθ=，
在直角坐标系中变为222x y y +=，即22(1)1y x +-=，
圆心(0,1)到直线1x =-的距离d r =，
即圆与直线相切，两者只有1个公共点．
故答案为：1.
20．2【解析】由曲线C2的方程为p （cosθ﹣sinθ）+1=0∴x ﹣y+1=0即y=x+1；将曲线C1的参数方程化为普通方程为∴消去y 整理得：7x2+8x ﹣8=0△＞0∴此方程有两个不同的实根故C1与
解析：2
【解析】
由曲线C 2的方程为p （cosθ﹣sinθ）+1=0，∴x ﹣y+1=0．即y=x+1；
将曲线C 1的参数方程化为普通方程为22
143
x y +=． ∴消去y 整理得：7x 2+8x ﹣8=0．
△＞0，∴此方程有两个不同的实根，
故C 1与C 2的交点个数为2．
故答案为2．
点睛：这个题目考查的是直线和曲线的交点个数的判断问题；一般直线和椭圆，直接联立判△>0则由两个交点，△<0无交点，△=0，只有一个交点．直线和双曲线则数形结合的情况较多，比较直线和双曲线的渐近线的斜率，从而得到交点个数．
三、解答题
21．（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭； （2）2 【分析】
（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C 1），半径为r
的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．
（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6π
θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由
1
26MON S OM ON sin π==2sin （23πθ+）△MON 面积的最大值． 【详解】
（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y +，
曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：
2r ==；
可知曲线C 的方程为(()22
14x y +-=，
∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，
即4sin 3πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
，()120,0ρρ>>
21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 23cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin23cos232sin 233πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭. 当12π
θ=时，23MON S ∆≤+，
MON ∴∆面积的最大值为23+.
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
22．（1）4cos ρθ=；（2）2cos ρθ=
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，代入（1）中的结论即可得结果.
【详解】
（1）圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数）， 转换为直角坐标方程为：()2
224x y -+=， 转换为极坐标方程为：4cos ρθ=.
（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，
设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，
所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，
所以OA 中点所在的曲线的极坐标方程为2cos ρθ=．
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
23．（1）()2224x y +-=；（2）32
【解析】
分析：（1）根据极坐标和参数方程的定义进行求解即可；（2）设,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立方程求出结合12MA MB t t +=+进行计算即可．
详解：（1）因为
，所以. 所以，即曲线的直角坐标方程为：
.
直线的参数方程(为参数)，即 (为参数).
（2）设点对应的参数分别为，. 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，整理，得，所以
. ∵， ∴.
点睛：本题主要考查参数方程，极坐标方程的应用，根据相应的转换公式进行化简是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力．
24．（1）2cos ρθ= （2）2
【分析】
(1)利用cos ,sin x y ρθρθ==可化得;
(2)联立射线OM :3π
θ=与圆C 的极坐标方程,可解得P 点的极径, 联立射线OM :3π
θ=与
直线l 的极坐标方程可解得Q 点的极径,再用两个极径作差可得答案.
【详解】
解：（1）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，
即2220x y x +-= ,化为极坐标方程为2cos ρθ=
（2）由2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得13ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
,所以1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 由(sin 3)333ρθθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得33ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩,所以3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 从而||312PQ =-=
【点睛】
本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程,考查了利用点的极径求弦长,属于基础题.
25．（Ⅰ）4cos ρθ=，22413sin ρθ=+；（Ⅱ）8585⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据互化公式可得1C 的极坐标方程，消去参数ϕ得曲线2C 的直角坐标方程，再根
据互化公式可得2C 的极坐标方程.（Ⅱ）联立射线l 与1C ，2C 的极坐标方程，利用极径的几何意义以及三角函数的性质可得．
【详解】
（Ⅰ）由曲线()2
21:24C x y -+=得2240x y x +-=，得24cos ρρθ=，得4cos ρθ=；
由曲线22:x cos C y sin φφ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）消去参数ϕ可得2214x y +=， 得2222cos sin 14ρθ
ρθ+=，即22413sin ρθ
=+； （Ⅱ）联立4cos θαρθ
=⎧⎨=⎩解得4cos OM α=， 联立22413sin θαρθ=⎧⎪⎨=⎪+⎩
，解得ON =，
4cos OM ON α∴==
88 04πα≤≤，210sin 2α∴≤≤
，
设21sin =t,())2
f t t α∴==≤≤， 由于函数f(t)是减函数，
1t 2∴=时，OM ON
，t 0=时，OM ON 取得最大值8， 所以OM ON
的取值范围是8⎤⎥⎣⎦
． 【点睛】 本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程法互化，考查了函数的最值的求法，考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
26．（1）2sin ρθ=为1C
的极坐标方程，ρθ=-为2C 的极坐标方程；（2
）2
. 【解析】
【分析】
（1）先将曲线C 1的参数方程化为普通方程，再根据直角坐标方程可将C 1，C 2化为极坐标方程；
（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为()2sin ,A αα
，()
,B αα-
，得2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，[)0,απ∈，由条件2AB =解方程得直线l ，再由点到直线距离可得三角形的高，进而可求得面积.
【详解】
（1）由1C ：1x cost y sint =⎧⎨
=+⎩（t 为参数）得 ()2211x y +-=，
即2220x y y +-=，
∴22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=为1C 的极坐标方程，
由圆2C
：220x y ++=得
2cos 0ρθ+=
，即ρθ=-为2C 的极坐标方程．
（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为()2sin ,A αα
，(),B αα-.
∴2sin 4sin 3AB πααα⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭
，[)0,απ∈， 由2AB =得1sin 32πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，∴2πα=或56πα=. 当2π
α=时，B 点极坐标0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭与0ρ≠矛盾，∴56
πα=， 此时l 的方程为5tan (0)6
y x x π=⋅<，
30y +=，由圆2C
：220x y ++=知圆心2C
的直角坐标为()， ∴2C 到l 的距离
d ==
∴2ABC ∆
的面积为11222S AB d
=⋅=⨯= 即2ABC ∆的面积为
2
. 【点睛】 本题主要考查了极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，以及极坐标系下两点的距离公式，属于中档题.。