2013年北京市通州区初三数学二模试题和答案

北京市通州区2013年初三二模试卷
数 学 2013. 5.27
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的 字母按规定要求填在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．5-的绝对值是
A ．-5
B ．5
C ．1
5
- D ．15
2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．将数350000000用科学记数法表示为
A ．35 ⨯ 107
B ．3.5⨯ 108
C ．0.35⨯ 109
D ． 3.5 ⨯ 109
3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ∶DB=2∶1，则AE ∶EC 的值是
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．2∶3
D ． 2∶1
4. 下列运算中，正确的是
A ．43a a -=
B ．2
3
6
a a a = C ．2
2
a a a ÷= D ．()
3
26
a
a =
5． ⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，若O 1O 2=8cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是
A ．外切
B ．相交
C ．内切
D ．内含 6．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是
A ．6
B ．8
C ．3
D ．10 7. 一个盒子中装有四张完全相同的卡片，分别写着2cm ，3cm ，4cm 和5cm ，现随机从盒中任取出三张卡片，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，则这三条线段能构成直角三角形的概率是
A ．
2
1
B ．
3
1
C ．41
D ．
51
8．如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为3和4，∠A =120°，则图中阴影部分的
面积是
A
B ．34
9
C ．32
D ．
E D
C
A
G F D
A
二、填空题（本题共12分，每小题3分）
9．分解因式：2
312m - = ______．
10．已知a b >，则
12a c +_________1
2b c +．(填“>”
、“<”或“=”) 11
()210y += ，则y
x = .
12. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点P 为BC 上一动点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为 .
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13
()0
1 3.142cos 45π---︒．
14．已知：如图点C E B F ，，，在同一直线上，AC DF ∥,AC DF =，CB FE =．
求证：△ABC ≌△DEF .
15.已知2
21a a +=-，求()()()2122a a a a +--+的值．
16．用配方法解方程：2
410x x -+=.
17.如图，在□ABCD 中，E 是对角线AC 的中点，EF ⊥AD 于F ，∠B=60°，AB=4，
∠ACB=45°，求DF 的长．
F
E
D
C
B
A
F
E
D
B
A
Q
P C
18. 如图，在直角坐标系xoy 中，点A 是反比例函数y 1=
x
k
的图象上一点，AB ⊥x 轴的正 半轴于点B ，C 是OB 的中点，一次函数y 2=ax +b 的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于 点D (0,－2)，若S △AO D =4. （1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当y 1＞y 2时x 的取值范围.
四、解答题（本题共19分，第19题7分,第20题6分,第21题6分）
19. 小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良
好、一般”三选一投票.如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图.
(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数； (2)求小明的综合得分是多少？
(3)在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？
20．如图，AB 是⊙O
的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，DE ＝3，连接BD ，过
点E 作EM ∥BD ，交BA 的延长线于点M ． (1) 求证：EM 是⊙O 的切线；
(2) 若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当∠APD ＝45º时，求图中阴影部分的面积．
y x
O D
C B A
民主测评票数统计图
良好
优秀70％
一般10％演讲答辩评委评分统计图
21. 已知关于x 的一元二次方程2
(3)3=0mx m x +++. （1）求证：方程有两个实数根；
（2）当此方程有一个根是3时，求关于x 的二次函数2
(3)3y mx m x =+++的表达式； （3）在（2）的条件下，若点A 1()x n ，与点B 2()x n ，(12x x ≠)在关于x 的二次函数
2(3)3y mx m x =+++的图象上，将此二次函数的图象在AB 上方的部分沿AB 翻
折，图象的其它部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与x 轴恰好只有两
个公共点时，n 的取值范围是_________________________________________.
五、解答题（本题共15分，第22题7分,第23题8分）
22. 如图，点O 是等边ABC △内一点，β=∠AOB , α=∠BOC ．将B O C △绕点C 按
顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ．
（1）当=110β,150α=时，试判断AOD △
（2）请写出AOD △是等边三角形时α 、β的度数.
α= 度； β= 度.
（3）探究：若=110β，则α为多少度时，AOD △是等腰三角形？
（只要写出探究结果）α= ；
23.已知抛物线y =a （x ﹣m ）2
+n 与y 轴交于点A ，它的顶点为点B ，点A 、B 关于原点O
的对称点分别为C 、D ．若A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线．
（1）如图1，求抛物线y =（x ﹣2）2
+1的伴随直线的表达式．
（2）如图2，若抛物线y =a （x ﹣m ）2
+n （m ＞0）的伴随直线是y =x ﹣3，伴随四边形的面
积为12，求此抛物线的表达式．
（3）如图3，若抛物线y =a （x ﹣m ）2
+n 的伴随直线是y =﹣2x +b （b ＞0），且伴随四边形
ABCD 是矩形．用含b 的代数式表示m 、n 的值.
图3O
x y y x O 图2图1A
B
C D O x y
通州区初三数学毕业考试参考答案及评分标准
2013．5 一、选择题：
1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．C 二、填空题：
9.()()322m m +-； 10.>； 11. 12； 12. 12
5
；
三、解答题：
()0
1 3.142cos 45π---︒
13. 解：原式=
1122
--⨯
， ……………… 4分； =
11-，
=2- . ……………… 5分. 14. 证明： ∵AC DF ∥，
∴C F ∠=∠， ……………… 1分；
在△ABC 和△DEF 中
∵ .AC DF C F CB FE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
， ……………… 4分；
∴△ABC ≌△DEF . ……………… 5分. 15． 解：原式=()()()2122a a a a +--+，
=(
)
2
2
224a a a +--， ……………… 2分； =2
2
224a a a +-+，
=224a a ++. ……………… 3分；
F
E
C
B
A
由2
21a a +=-，
∴原式=143-+=. ……………… 5分.
16. 解：2
41x x -=-， .................. 1分； 24414x x -+=-+， (2)
分；
()2
23x -=， (3)
分；
2x -= ……………… 4分；
2x =， (5)
分.
∴12x =
22x =17. 解:过点C 作CG AD ⊥于点G . ……………… 1分；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴60D B ∠=∠=，4CD AB ==，AD ∥BC ，
∴45CAD ACB ∠=∠=，
在Rt △CGD 中，90CGD ∠=o
，4CD =， ∴ sin GC
CDG CD
∠=
， ∴
sin 604GC =
=o
， ∴
GC = ……………… 2分； ∴ 2GD =，
在Rt △CGA 中，90CGA ∠=o
，45CAD ∠=o
，
∴
AG CG == ……………… 3分； ∵ E 是AC 的中点，EF ⊥AD ，CG AD ⊥
G
F
E D
B
A
∴
AF FG == ……………… 4分；
∴
2DF FG GD =+=+ ……………… 5分.
18.
解：（1）过点A 作AE y ⊥轴于点E .
∵S △AO D =4，D (0,－2)
∴1
42OD AE ⨯⨯=， ∴1
242
AE ⨯⨯=， ∴4AE =， ……………… 1分；
∵AB ⊥x 轴，y 轴⊥x 轴， ∴四边形AEOB 是矩形，
∴4OB AE ==，
∵C 是OB 的中点， ∴2OC =，
∴C (2，0)， ……………… 2分； ∵一次函数y 2=ax +b 的图象经过C 、D 两点， ∴202a b b +=⎧⎨
=-⎩，
，
解得：1
2a b ⎧⎨=-⎩
=，，
∴一次函数的表达式为22y x =-. ……………… 3分； 当4x =时，2422y =-=， ∴A (4，2)，
∵点A 是反比例函数y 1=x
k
的图象上一点， ∴8k =，
E
y
x
O D
C B A
∴反比例函数的表达式为18
y x
=
. ……………… 4分； (2)当y 1＞y 2时，x 的取值范围为04x <<. ……………… 5分. 四、解答题
19. （1）94，72o
……………… 2分； （2）
()1
9594929094935
++++=，. ……………… 3分；
70％×50×2+20％×50×1=80， ……………… 4分； 小明的综合得分是93×0.4+80×0.6=85.2 . ……………… 5分； (3) 设小亮的演讲答辩得分为x 分，
根据题意得：0.4820.685.2x +⨯≥， ……………… 6分； 解得：90x ≥，
演讲答辩得分至少要90分. ……………… 7分.
20．
(1)证明：连接OD 、OE .
∵AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，
∴»
»AD AE =，11
22OC OD OE ==， ∴ 60DOC EOC ∠=∠=，
………………
1分；
∴1302
B DO
C ∠=∠=， ∵EM ∥B
D ，
∴30M B ∠=∠=， ……………… 2分； ∴306090M EOC ∠+∠=+=，
∴90MEO ∠=，
∴EM 是⊙O 的切线. ……………… 3分； (2) 连接OF .
∵AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，
∴13
22
DC CE DE ===， 在Rt △COE 中，sin CE
EOC OE ∠=，
sin 3
260OE ==
∴OE = ……………… 4分；
∵∠APD ＝45º，∠DCP ＝90º， ∴∠CDP ＝45º，
∵»»EF
EF =， ∴∠EOF ＝90º， ……………… 5分；
∴图中阴影部分的面积是
2
1133
4
242
EOF
EOF S S
ππ-=-=-扇形. ……………… 6分.
21. 已知关于x 的一元二次方程2
(3)3=0mx m x +++. （1）求证：方程有两个实数根；
证明：△=()2
343m m +-⨯， ……………… 1分； =2
6912m m m ++-，
=()2
30m -≥. ……………… 2分； ∴方程有两个实数根.
（2）当此方程有一个根是3时，求关于x 的二次函数2
(3)3y mx m x =+++的表达式； 解：当3x =时，()93330m m +++=，
∴1m =-. ……………… 3分； ∴2
23y x x =-++. ……………… 4分； （3）n 的取值范围是24n <<，0n =. ……………… 6分.
22. （1）
结论：AOD △是直角三角形，
证明：由题意可得：△ACD ≌△BCO , 60OCD ∠=， ∴CO =CD ，150ADC α∠=∠=，
∴△OCD 是等边三角形， ……………… 1分；
∴60CDO ∠=，
∴1506090ADO ADC CDO ∠=∠-∠=-=， ……………… 2分； ∴AOD △是直角三角形.
（2）α= 120 度； β= 120 度. ……………… 4分； （3） （只要写出探究结果）α= 125 或110或 140； ……………… 7分. 23.
解：（1）由题意可知：A (0，5)，B (2，1)， ……………… 1分； 设伴随直线AB 的表达式为y kx b =+，
∴21
5k b b +=⎧⎨
=⎩，，
解得25k b =-⎧⎨
=⎩
，
，
∴抛物线y =（x ﹣2）2
+1的伴随直线的表达式为25y x =-+. …… 2分； （2）令0x =，得3y =-，∴A (0，-3)，
由题意可知：顶点B (m ，n )在伴随直线y =x ﹣3上， ∴n =m -3，
∴B (m ，m-3)， ……………… 3分； ∵点A 、B 关于原点O 的对称点分别为C 、D ， ∴C (0，3) ，D (-m ，-m+3)， 过点B 作BE y ⊥轴于点E . ∵ m ＞0， ∴ BE m =，
∵伴随四边形ABCD 的面积为12， ∴12122
AC BE ⨯⨯⨯=，
y=x-3
E y
x
O
D
C
B
A
图2
∴612m =，
∴2m =， ……………… 4分； ∴B (2，-1)，
∴ ()2
21y a x =--，
把A (0，-3)代入()2
21y a x =--中， 得：1
2
a =-
， ∴抛物线的表达式为()2
1212
y x =-
--. ……………… 5分；
（3）∴伴随直线AB ；y =﹣2x +b （b ＞0）与x 轴、y 轴分别交于点F (2b
，0) ，
A (0，b )， ∴C (0，-b )
∵伴随四边形ABCD 是矩形，
∴顶点B (m ，n )在y 轴右侧的直线y =﹣2x +b 上， ∠ABC ＝90º，
∴B (m ，-2m+b )，
过点B 作BE y ⊥轴于点E . ∴E (0，-2m+b )， ∴tan OF BAE OA ∠=
=tan CE
CBE BE
∠=，或证△ABE ∽△BCE … 6分； ∴222b
m b b m
-+=， ∴4
5
m b =， ……………… 7分；
∴43
255
n b b b =-⨯+=-. ……………… 8分.
注：出现其他解法酌情给分.
F
E 图3
O x
y
D
C
B
A。