高一数学 平面向量的综合应用 ppt

α
O x C

OA OB OC 0 ∴ cosα+ cos(α+120°)+cos (α+240°)=0
∵
sin α+ sin (α+120°)+sin (α+240°)=0
例3.已知|a|=2, |b|=1, a与 b的夹角为60º ,求
向量2 a+3 b与3 a–b的夹角.(精确到1')
y
A(b,c)
c
b
x
- c2
且
B
a (b – a) = - a b 2 3 a a ∴ b= , 代入ab-a2=-b2+ ab-c2 得c2= 4 2
3 a ，△ABC为等边三角形。 ∴c 2
a
C(a,0)
例 2．用向量证明公式 cos(α－β)= cosαcosβ+sinαsinβ
例 2．用向量证明公式 cos(α－β)= cosαcosβ+sinαsinβ y P(x,y)
平面向量的综合应用
复习要求:
(1)选择适当的方法解题
(2)解题时要有意识地运用“数形
结合”的思想分析问题
(3)注意运用多种数学的知识
(4)平时学习要多动脑钻研思考
例 1. 在 ΔABC 中,设 AB c , BC a , CA b , 证明: “ΔABC 为等边三角形”的充分必要条 件是“a· b=b· c=c· a”. A c B a b C
例 3．|a|=2,|b|=1,a 与 b 夹角 60° ,求 2a+3 b 与 3a－b 的夹角. 解:
cos
2 a 3b 3a b
2 a 3b 3a b
2 2 4 a 9 b 12a b 37 |2a+3 b |=
2 2 9 a b 6a b 31 |3a－b|=
(2a+3 b)· (3a－b)=6a2－3b2＋7 a· b=28
28 28 arccos 3414 cos . 37 31 37 31 ,夹角
x=2cos60°=1,
y
y=2sin60 °= 3
(1, 3 )
a
x
(1,0)
60° O b
另法:|a|=2,|b|=1,a 与 b 夹角 60° ,求 2a+3 b 与 3a－b 的夹角,可建立直角坐标系, 设 b=(1,0), a= 1, 3 , 则 2a+3 b=2 1, 3 +3(1,0)= 5,2 3 , 3a－b=3 1, 3 －(1,0)= 2 ,3 3 , |2a+3 b |= 37 , |3a－b |= 31
证明: 证“ ” ，若 ΔABC 为等边三角形，则 |a|=|b|=|c|, 并且 a 与 b、b 与 c、c 与 a 之间夹角 均为 120° ,所以 a· b=b· c=c· a=| a||b|cos120° ; 证“ ”, 若 a· b=b· c=c· a, 则 | a||b|cos（180°－C）=|b||c| cos（180°－A） ，
x y sinθ= r cosθ= r
x=r cosθ y= r sinθ
r O θ x P(x,y)可以记为 P(r cosθ, r sinθ)
证明：设向量a=(cosα, sin α),b=(cosβ, sin β), 则| a |=| b |=1, a •b= cosα cosβ+ sin α sin β
例 5. 若向量 AB =(2,3), AC =(1,k), k∈R ΔABC 为直角三角形,求 k 的值.
例 5. 若向量 AB =(2,3), AC =(1,k), k∈R ΔABC 为直角三角形,求 k 的值. 分析： 以 A 为原点建立 直角坐标系，应 该有四个解. x A y C B
解:向量 AB =(2,3), AC =(1,k), BC =(－1, k－3)
a tb
2

a t b 2ta b
2
2
2
t
2a b 2b
2
a cos b 时，模|a＋tb|为最小；
a b ba b 2 = b· a－ a· b (2) b· （ a ＋ tb ） = b
=0，所以 b 垂直于向量 a＋tb。
28 cos (2a+3 b)· (3a－b)=28, 37 31 ,




28 arccos 3414 夹角 . 37 31
例 4.已知两个非零向量 a 与 b,当向量 a＋tb (t∈R)的模|a＋tb|为最小时, (1)求 t 的值; (2)证明 b 垂直于向量 a＋tb.
cos B cos A cos A cos C 故 a a ，所以 c ，同理， b
cos A cos B cos C a b c a b c ，又 sin A sin B sin C ，从而
cotA=cotB=cotC, ∠A=∠B=∠C, ΔABC 等边.
另法：设a=(a,0),c=(-b,-c) 则b =(b – a, c) ∵a· b =b · c= c · a ∴ a (b – a) = -b (b – a)
AB ⊥ BC 时,－2＋3(k－3)=0,
BC ⊥ AC 时,
－1＋k(k－3)=0
3 13 k 2 k －3 k－1=0, 2
11零向量 a 与 b,当向量 a＋tb (t∈R)的模|a＋tb|为最小时, (1)求 t 的值; (2)证明 b 垂直于向量 a＋tb. 分析: b a ＋ tb a a ＋ tb tb
例 4.,当向量 a＋tb 的模|a＋tb|为最小时, (1)求 t 的值;证明 b 垂直于向量 a＋tb 解：(1) a tb 当
ab cos ab
所以
y a α β O 1 b x
cos(α–β)= cosα cos β +sin α sin β
y B
A
OB cos 120 , sin 120
OC cos 240 , sin 240

OA cos , sin