2015北京各区中考数学二模 几何综合 汇编 26 27.28

(丰台)28． 已知△ABC 是锐角三角形，BA =BC ，点E 为AC 边的中点，点D 为AB 边上一点，且∠ABC =∠AED =α． （1）如图1，当α=40°时，∠ADE = °；
（2） 如图2，取BC 边的中点F ，联结FD ，将∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN ，EM
与BA 的延长线交于点M ， EN 与FD 的延长线交于点N ． ①依题意补全图形；
②猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论．
A B E
C
D D C
E
B
A
图1 图2
（昌平）27．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；
（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．
y
x
图1
B
A
C
D O
y
x
图2
C
D O
（朝阳）28．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB =BC ,∠ABC =60°,∠APC =30°,连接
PB ，那么P A 、PB 、PC 之间会有怎样的等量关系呢？ 经过思考后，部分同学进行了如下的交流：
小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P 在BA 延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A 2+PC 2=PB 2 .
小东：我假设点P 在∠ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB 错误！未找到引用源。

后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP ′ 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P 在∠ABC 的内部，
①P A =4，PC =23，PB= .
②用等式表示P A 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明.
（2）对于点P 的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.
26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=13
，求sin2α的值．
小娟是这样解决的：
如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α=
BC AC =1
3
． 易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则AB =10x ．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CD
OC
= ． 【问题解决】
已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =
1
2
，求sin2β的值.
图1
2α
α
O
A
D C B
图2
β
M
N
P
O
图1
图2
（门头沟）26．阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图1，在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果
3AF EF =，求
CD
CG
的值． 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，那么可以得到△BAF ∽△HEF ． 请回答：
（1）AB 和EH 之间的数量关系是 ，CG 和EH 之间的数量关系是 ，
CD
CG
的值为 ． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．如果2AB CD =，2
3
BC BE =，求
AF
EF
的值． H
G F E
C
D
B
A
F
E
C
B A
D
图1 图2
（门头沟）28．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线段CD 绕
点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形；
② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理
由．
（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB =2，如果PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．
D
A
B C
P
D
C A
B
图1 图2
（顺义）27．已知关于x 的方程()2230x m x m +-+-=． （1）求证：方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根； （2）求证：抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的
一个定点；
（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A ，
抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B ， 与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的 取值范围．
28．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结P A ，PC ，过点P 作
PD ⊥AC 于点D ．
（1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；
（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．
图3
P
C
A
B D
D
图2
图1
A
B
P
C
B
C
P
A
x
y
O。