人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标提优专项训练试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标提优专项训练试卷
一、选择题
1．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=︒，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当
BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=︒；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④
2．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 为CD 上一动点，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH ⊥AE 于F ，过H 作HG ⊥BD 于 G ．则下列结论：①AF ＝FH ；②∠HAE ＝45°；③BD ＝2FG ；④△CEH 的周长为 8．其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，四边形ABCD 中，,,,AC a BD b AC BD ==⊥顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形
2222A B C D ...如此进行下去，得到四边形.n n n n A B C D 则下列结论正确的个数有（ ）
①四边形1111D C B A 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长为
4a b
+； ④四边形n n n n A B C D 的面积是12
n ab +．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
4．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，点M 为BC 上异于B 、C 的一定点，点N 为AB 上的一动点，E 、F 分别为DM 、MN 的中点，当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积为 ( )
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．6
5．如图，在
ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是
AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：
①1
2
DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC
CEF
S
S
=；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正
确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为边，在AB 的同侧作正方形ABHI ，ACFG ，BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对
1S ，2S 的大小判断正确的是（ ）
A ．12S S >
B ．12S S
C ．12S S <
D ．无法确定
7．如图，在ABC 中，AB =AC =6，∠B =45°，D 是BC 上一个动点，连接AD ，以AD 为边向右侧作等腰ADE ，其中AD =AE ，∠ADE =45°，连接CE ．在点D 从点B 向点C 运动过程中，CDE △周长的最小值是（ ）
A ．62
B ．626
C ．92
D ．926+
8．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点
F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）
A ．30
B ．15
C ．40
D ．20
9．如图，矩形ABCD 和矩形CEFG ，AB ＝1，BC ＝CG ＝2，CE ＝4，点P 在边GF 上，点Q 在边CE 上，且PF ＝CQ ，连结AC 和PQ ，M ，N 分别是AC ，PQ 的中点，则MN 的长为（ ）
A ．3
B ．6
C ．
372
D ．
172
10．如图，己知正方形ABCD 的边长为4， P 是对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ， PF ⊥CD 于点F ，连接AP ， EF ，给出下列结论：①PD=2EC ；②四边形PECF 的周长为8；③△APD 一定是等腰三角形；④AP=EF ；⑤EF 的最小值为22；⑥AP ⊥EF ，其中正确结论的序号为（ ）
A ．①②④⑤⑥
B ．①②④⑤
C ．②④⑤
D ．②④
二、填空题
11．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接
BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．
13．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、
P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积
依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．
14．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0) ，顶点D 坐标为
(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．
15．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论： ①可以得到无数个平行四边形EGFH ； ②可以得到无数个矩形EGFH ； ③可以得到无数个菱形EGFH ； ④至少得到一个正方形EGFH ．
所有正确结论的序号是__．
16．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．
17．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．
18．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．
19．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________
20．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F （1）求证：四边形ADCF 是菱形
（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积
22．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．
（1）如图（1），当90GOD ∠=︒， ①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>
；
（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长． 23．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他
条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =13
2
，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）
24．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .
（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；
（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.
25．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =； （2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .
26．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过
点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．
（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形；
②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．27．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC 的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC中，AB=
AC=2
，
∠BAC=90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
28．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，
(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；
(2)如图1，若DF=3，求AE的长；
(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转α（090
α
<<）,点C,F的对应点分别为1C、1F，
连接
1
AF、
1
BC，点G是
1
BC的中点,连接AG，试探索
1
AG
AF是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.
29．如图，在正方形ABCD中，点E、F是正方形内两点，BE DF
∥，EF BE
⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：
（1）在图1中，连接BD ，且BE DF = ①求证：EF 与BD 互相平分； ②求证：222()2BE DF EF AB ++=；
（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222
()2BE DF EF AB ++=是否成
立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.
（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.
30．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．
（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．
（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．
（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值．
【详解】
解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°
∴△ABD，△BCD为等边三角形，
∴∠A=∠BDC=60°，
∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，
∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，
∴△ABE≌△BFD，
∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，
∴∠BED+∠BFD=180°，
故①正确，③错误；
∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=60°，
故②正确
∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，
∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．
∵∠EBF=60°，BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，
∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，
∴EB=23，
∴△DEF的周长最小值为4+23，
故④正确，
综上所述：①②④说法正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．
2．D
解析：D
【分析】
①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；
②由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据
△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG；
④作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CE=IM，故△CEH的周长为边AM的长．
【详解】
①连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=AF．
②∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
③连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
④连接EM，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，
∵HL⊥AE，CI∥HL，
∴AE⊥CI，
∴∠DIC+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠DIC=∠AED，
∵ED⊥AM，AD=DM，
∴EA=EM，
∴∠AED=∠MED，
∴∠DIC=∠DEM，
∴∠CIM=∠CEM，
∵CM=MC，∠ECM=∠CMI=45°，
∴△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8，为定值．
故①②③④结论都正确．
故选D．
【点睛】
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．
3．A
解析：A
【分析】
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形A n B n C n D n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
【详解】
解：如下图，连接连接A1C1，B1D1，
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形，
∵AC丄BD，
∴四边形A1B1C1D1是矩形，故①正确；
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
依次类推，可知当n为奇数时四边形A n B n C n D n是矩形，当n为偶数时四边形A n B n C n D n是菱形，故②正确；
根据中位线的性质可知，
553311553311111111,248248
A B A B A B AC B C B C B C BD ======， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是1
2()84a b a b +⨯+=
， 故③正确；
∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，
∴S 四边形ABCD =ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形A n B n C n D n 的面积是
12
n ab +， 故④正确；
综上所述，①②③④正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查中点四边形，中位线定理，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定．理解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键． 4．A
解析：A
【分析】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，由中位线的性质，可得当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ，求出当点N 与点A 重合时，FP 的值，以及FP 上的高，进而即可求解．
【详解】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，
∵FP 是∆MNB 的中位线，EF 是∆DMN 的中位线，
∴FP ∥BN ，FP=12BN ，EF ∥DN ，EF=12
DN ， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ．
∴当点N 与点A 重合时，FP=
12BN =12BA =4， 过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，
∵AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，
∴AQ=8-5=3，
∴4==，
∴当点N 与点Q 重合时，EF=
11222DN DQ ==，EF ∥DQ ，即：EF ⊥AB ，即：EF ⊥FP ， ∴∆EFP 中，FP 上的高=2，
∴当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积=12
×4×2=4． 故选A ．
【点睛】
本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
由点F 是AD 的中点，结合ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证
∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S =，
由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由
FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到
3DFE AEF ∠=∠，即可判断④． 【详解】
∵点F 是AD 的中点，
∴2FD=AD ，
∵在ABCD 中，AD=2AB ，
∴FD=AB=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠BCF ，
∴∠DCF=∠BCF ，即：12
DCF BCD ∠=∠， ∴①正确；
∵AB ∥CD ，
∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，
又∵AF=DF ，
∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），
∴EF=HF ，
∵CE AB ⊥，
∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，
∴EF CF ==
12EH ， ∴②正确；
∵EF=HF ，
∴2HEC CEF S S =
∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，
∴BE CH <,
∴BEC HCE S
S <, ∴2BEC CEF
S S <， ∴③错误；
设∠AEF=x ，则∠H=x ，
∵在Rt ∆ECH 中，CF=FH=EF ，
∴∠FCH=∠H=x ，
∵FD=CD ，
∴∠DFC=∠FCH=x ，
∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，
∴FG ∥CD ∥AB ，
∴∠AEF=∠EFG=x ，
∵EF=CF ，
∴∠EFG=∠CFG=x ，
∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，
∴3DFE AEF ∠=∠．
∴④正确．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ，根据已知条件易证△BHK ≌△ABC ，继而由全等三角形的性质得S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，再由全等三角形的判定可得△BCJ ≌△HKL ，进而可得S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC ≌△AIG ，继而可得S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，等量代换即可求解．
【详解】
解：连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ， 由题意可知：四边形BCED 是正方形，四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，
∠ACB ＝90°
∴∠CEH ＝∠ECK ＝90° ,CE ＝BC
∵∠BKH ＝90°,
∴四边形CEHK 是矩形，
∴ CE ＝HK
又∠HBK ＋∠ABC ＝90°, ∠BAC ＋∠ABC ＝90°
∴∠HBK ＝∠BAC
∴△BHK ≌△ABC （AAS ）
∴S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，
∵∠ABC ＋∠CBJ ＝90°，∠BHK ＋∠KHL ＝90°
∴∠CBJ ＝∠KHL
∴△BCJ ≌△HKL （ASA ）
∴S △BCJ ＝S △HKL ，
∴S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，
∵四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，
∴AB ＝AI ，AC ＝AG ，∠G ＝∠ACB ＝90°
∴△ABC ≌△AIG （SAS ）
∴S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，
即S 1＝S 2
故选：B
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．
7．B
解析：B
【分析】 如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得
90,62,2BAC DAE BC DE AD ∠=∠=︒==，再根据三角形全等的判定定理与性质可得BD CE =，从而可得CDE △周长为2BC AD +，然后根据垂线段最短可求出AD 的最小值，由此即可得．
【详解】
在ABC 中，6,45AB AC B ==∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，2290,62BAC BC AB AC ∠=
︒=+=，
在ADE 中，,45AD AE ADE =∠=︒，
ADE ∴是等腰直角三角形，2290,2DAE DE AD AE AD ∠=︒=+=，
90BAD CAD CAE CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，
BAD CAE ∴∠=∠，
在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABD ACE SAS ∴≅，
BD CE ∴=，
CDE ∴周长为622CD CE DE CD BD DE BC DE AD ++=++=+=+， 则当AD 取得最小值时，CDE △的周长最小，
由垂线段最短可知，当AD BC ⊥时，AD 取得最小值，
AD ∴是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一），
1322
AD BC ∴==（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， CDE ∴周长的最小值为62232626+⨯=+，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，
∴∠DAF=∠E ．
在△ADF 与△ECF 中，
DAF E AF EF
AFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩
∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），
∴ADF ECF S S =△△，
∴300ABE ABCD S S ==．
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAF ，
∵∠DAF=∠E ，
∴∠BAE=∠E ，
∴BE=AB=25，
∵AF=FE ，
∴BF ⊥AE ．
设AF=x ，BF=y ，
∵∠D 为锐角，
∴∠DAB=180°-∠D 是钝角，
∴∠D ＜∠DAB ， ∴12∠ABC ＜12
∠DAB ， ∴∠ABF ＜∠BAF ，
∴AF ＜BF ，x ＜y ． 则有222
2
2520013x y x y ⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520x y ⎧⎨⎩＝＝或2015x y ＝＝（舍去）， 即AF=15．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCD S S ==以及BF ⊥AE 是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
连接CF ，交PQ 于R ，延长AD 交EF 于H ，连接AF ，则四边形ABEH 是矩形，求出FH ＝1，AF
=ASA 证得△RFP ≌△RCQ ，得出RP ＝RQ ，则点R 与点M 重合，得出MN 是△CAF 的中位线，即可得出结果．
【详解】
解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：则四边形ABEH是矩形，
∴HE＝AB＝1，AH＝BE＝BC+CE＝2+4＝6，
∵四边形CEFG是矩形，
∴FG∥CE，EF＝CG＝2，
∴∠RFP＝∠RCQ，∠RPF＝∠RQC，FH＝EF﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF＝2222
6
137 +=+=
AH FH，
在△RFP和△RCQ中，
RFP RCQ PF CQ
RPF RQC ∠=
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=
⎩
，
∴△RFP≌△RCQ（ASA），∴RP＝RQ，
∴点R与点M重合，
∵点N是AC的中点，
∴MN是△CAF的中位线，
∴MN＝1137
37
22
=⨯=
AF，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得2EC．
②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；
③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；
④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；
⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2；
⑥证明∠PFH+∠HPF=90°，则AP⊥EF．
①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC=45°
∴∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC=DF，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴2EC．故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP=PC，
∴AP=EF，
故④正确；
⑤由EF=PC=AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP=1
2
BD=
1
2
22时，EF的最小值等于2，故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP=90°，
∴∠BAP+∠APG=90°，∵∠APG=∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF=90°，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题
11．43或4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=22
84=43
-；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为34；
故答案为3 4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
12．(-10，3)
【解析】
试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得222
4(8)
x x
+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）
13．4:9
【分析】
设DP＝DN＝m，则PN2m，PC＝2m，AD＝CD＝3m，再求出FG=CF=1
2
BC=
3
2
m，分
别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】
根据图形的特点设DP＝DN＝m，则PN22
m m
+2m，∴2m=MC，22
PM MC
+，
∴BC＝CD＝PC+DP=3m，
∵四边形HMPN是正方形，
∴GF ⊥BC
∵∠ACB ＝45 ，
∴△FGC 是等腰直角三角形，
∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98
m 2， ∴12:S S =
12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
14．18
【分析】
由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．
【详解】
在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，
CD ＝22OC +OD =5，
∵ABCD 是菱形，
∴AD ＝CD ＝5，
∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，
∴EF ＝8，
作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，
则E 1（0，2），F 1（3，6），
则E 1F 1即为所求线段和的最小值，
在Rt △AE 1F 1中，E 1F 122211EE +EF =-+(8-5)2(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．
【点睛】
本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．15．①③④
【分析】
由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，
∴GH过点O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，
∴△AHO≌△CGO（AAS），
∴HO＝GO，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，
随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，
故①③正确；
若四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF＝90°；
∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；
在△BOG和△COF中，
∵
BOG COF BO CO
GBO FCO ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG＝OF，
同理可得：EO＝OH，
∴GH＝EF；
∴四边形EGFH是正方形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．
16．4
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
设斜边上的高为h ，
则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422
h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，
∴EF 的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
17．25
【分析】
作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出BE=10，即可求得BD 的长．
【详解】
解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：
则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF 是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF ，
在△ABE 和△CBF 中，
BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBF （AAS ），
∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，
∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，
∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，
∴
(cm)，
∴
．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．6
【分析】
先证明△AEB ≌△FEB ≌△DEF ，从而可知S △ABE =
13S △DAB ，即可求得△ABE 的面积． 【详解】
解：由折叠的性质可知：△AEB ≌△FEB
∴∠EFB=∠EAB=90°
∵ABCD 为矩形
∴DF=FB
∴EF 垂直平分DB
∴ED=EB
在△DEF 和△BEF 中
DF=BF EF=EF ED=EB
∴△DEF ≌△BEF
∴△AEB ≌△FEB ≌△DEF ∴13666
AEB FEB DEF ABCD S S S S ∆∆∆====
⨯=矩形． 故答案为6．
【点睛】
本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证得△AEB ≌△FEB ≌△DEF 是解题的关键． 19
．【分析】
由正方形ABCD 的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出
AC=P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，则EG 的中点为D ，即F 与D 重合，当点P 从D 点运动到
A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最
小，此时CF=1
2
AG=22．
【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=2，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG的中点为D，即F与D重合，
当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，
∴DF是△EAG的中位线，
∴DF∥AG，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，
此时CF最小，
此时CF=1
2
AG=22
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
20．8或3
【分析】
根据AE和DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．
【详解】
解：①当AE和DF相交时，如下图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE＋CF=BC＋EF
∴2AB=11＋5
解得：AB=8；
②当AE和DF不相交时，如下图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE＋CF＋EF =BC
∴2AB＋5=11
解得：AB=3
综上所述：AB=8或3
故答案为：8或3．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关
键．
三、解答题
21．（1）见解析（2）10
【分析】
（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到1
2AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

（2）连接DF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，得到5DF AB ==，利用菱形的求面积公式即可求解。

【详解】 （1）证明： ∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，
∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴,AE DE BD CD ==，
在AFE ∆和DBE ∆中， AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()AFE DBE AAS ∆≅∆，∴AF DB =．
∵DB DC =，∴AF CD =．
∵//BC AF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，
∵090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，
∴12
AD DC BC ==
，∴四边形ADCF 是菱形； （2）如图，连接DF ，
∵//,AF BD AF BD =，
∴四边形ABDF 是平行四边形，∴5DF AB ==，
∵四边形ADCF 是菱形，∴11451022
ADCF S AC DF =
=⨯⨯=菱形． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的应用，菱形的判定定理以及菱形的性质，熟练掌握菱形的的判定定理和性质是解此题的关键。