2020-2021学年安徽省六安市霍邱一中高三(上)第三次月考数学试卷(理科)(附答案详解)

2020-2021学年安徽省六安市霍邱一中高三（上）第三次
月考数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则()
A. B. A∪B=R
C. D. A∩B=⌀
2.若函数f(x)={e x−1,x≤1
lnx,x>1，则f(ln2)的值是()
A. 0
B. 1
C. ln(ln2)
D. 2
3.若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是()
A. a<b<c
B. b<c<a
C. a<c<b
D. c<a<b
4.函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是()
A. (−∞,−2)
B. (−∞,1)
C. (1,+∞)
D. (4,+∞)
5.已知三个函数f(x)=2x+x，g(x)=x−1，ℎ(x)=log3x+x的零点依次为a，b，
c，则()
A. a<b<c
B. b<a<c
C. c<a<b
D. a<c<b
6.由曲线xy=1，直线y=x,x=3所围成的封闭图形的面积为()
A. 1
2+ln3 B. 4−ln3 C. 9
2
D. 11
6
7.函数f(x)=asin(2x+π
6
)+bcos2x(a、b不全为零)的最小正周期为()
A. π
2
B. π
C. 2π
D. 4π
8.y=lnx上的点到直线x−y+7=0的最短距离是()
A. √2
B. 3√2
C. 4√2
D. 5√2
9.已知函数f(x)=cos(x+π
4
)sinx，则函数f(x)的图象()
A. 最小正周期为T=2π
B. 关于点(π
8,−√2
4
)对称
C. 在区间(0,π
8)上为减函数 D. 关于直线x=π
8
对称
10.定义在实数域上的偶函数f(x)对于∀x∈R，均满足条件f(x+2)=f(x)+f(1)，且
当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18，若函数y=f(x)−log a(|x|+1)在(0,+∞)上至少有5个零点，则a的取值范围是()
11.ΔABC中，A:B=1:2，C的角平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA=()
A. 1
3B. 1
2
C. 3
4
D. 0
12.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R满足f(x)+f′(x)<0，
则下列结论正确的是()
A. 2f(ln2)>3f(ln3)
B. 2f(ln2)<3f(ln3)
C. 3f(ln2)>2f(ln3)
D. 3f(ln2)<2f(ln3)
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题p：“∃x0∈R，x02−1≤0”的否定￢p为______ ．
14.已知集合A={x|x2−2x−3<0},B={x|1
x
<1}，则A∩B=______．
15.若cos(α−π
6)=√2
3
，则sin(5π
6
−2α)=______．
16.已知函数f(x)=ln ex
e−x ,若f(e
2013
)+f(2e
2013
)+⋯+f(2012e
2013
)=503(a+b),则a2+
b2的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.集合A={x|−2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)若x∈B是x∈A的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
18.设函数f(x)=sinωx⋅cosωx−√3cos2ωx+√3
2
(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点距离为√π2+4．
(1)求ω的值；
(2)若函数y=f(x+φ)(0<φ<π
2
)是奇函数，求函数g(x)=cos(2x−φ)在区间[0,2π]上的单调减区间．
19.已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)−f(x)=2x．
(1)求f(x)；
(2)求f(x)在区间[a,a+4]上的最小值．
20.已知函数f(x)=log a(x+1)，g(x)=2log a(2x+m)，(m∈R)，其中x∈[0,15]，
a>0且a≠1．
(1)若1是关于方程f(x)−g(x)=0的一个解，求m的值．
(2)当0<a<1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求m的取值范围．
21.如图，在△ABC中，AB=2，3
2cos2B+5cosB−1
2
=0，
且点D在线段BC上．
(1)若∠ADC=3π
4
，求AD的长；
(2)若BD=2DC，sin∠BAD
sin∠CAD
=4√2，求△ABD的面积．
22.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1
，a∈R。

2
(1)当a=−1
时，求f(x)的最大值；
3
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)如果对任意的x1，x2∈(0,+∞)，都有|f(x1)−f(x2)|≥4|x1−x2|恒成立，求实
数a的取值范围。

答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题．
先求出集合B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．
【解答】
解：∵集合A={x|x<1}，
B={x|3x<1}={x|x<0}，
∴A∩B={x|x<0}，所以A正确，D错误，
A∪B={x|x<1}，所以B和C都错误，
故选A．
2.【答案】B
【解析】解∵0<ln2<1；
则f(ln2)=e ln2−1=2−1=1；
故选B．
可知0<ln2<1，从而代入函数解析式即可．
本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查比较大小，考查对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题．根据对数函数以及指数函数的性质求出a，b，c的范围即可．
【解答】
解：a=log20.5<0，b=20.5>1，0<c=0.52<1，
则a <c <b ， 则选：C ．
4.【答案】D
【解析】解：由x 2−2x −8>0得x >4或x <−2，
设t =x 2−2x −8，则当x >4时，g(x)为增函数，此时y =lnt 为增函数，则f(x)为增函数，
即f(x)的单调递增区间为(4,+∞)， 故选：D ．
求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可．
本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：令f(x)=2x +x =0，解得x <0，令g(x)=x −1=0，解得x =1， 由ℎ(x)=log 3x +x ，令ℎ(1
3)=−1+1
3<0，ℎ(1)=1>0，因此ℎ(x)的零点x 0∈(1
3,1)． 则b >c >a ． 故选：D ．
利用函数零点的判定方法即可得出．
本题考查了对数与指数函数的单调性、函数零点的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查利用定积分求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．
确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论． 【解答】
解：由{xy =1
y =x
，解得x =±1．
由{xy =1
x =3
可得交点坐标为(3,13). ∴由曲线xy =1，直线y =x ，x =3所围成封闭的平面图形的面积是
S =∫13
(x −1
x
)dx =(1
2
x 2−lnx)| 13
=4−ln3．
故选：B ．
7.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=asin(2x +π
6)+bcos2x =√3
2
asin2x +1
2acos2x +bcos2x =
√3
2asin2x +(1
2
a +b)cos2x
=√34
a 2+(1
2
a +b)2sin(2x +θ)，其中tanθ=
1
2a+b √32
a ；
∴f(x)的最小正周期为T =2π2
=π．
故选：B ．
根据正弦、余弦型函数的周期T =2π
|ω|，直接求出f(x)的最小正周期即可． 本题考查了正弦、余弦型函数的最小正周期问题，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：y =lnx 上的点到直线x −y +7=0的距离是：√2
求最短距离即可转化为求函数y =x −lnx 的最小值 ∵y′=1−1
x =
x−1x
可知：当x ∈(0,1)，y′<0 当x ∈(1,+∞)，y′>0
故可知g 在(0,1)是减函数，(1,+∞)是增函数， 故函数的最小值在x =1处取得即函数的最小值为1 所以：最短距离为√2=4√2， 故选：C ．
熟记点到直线的距离公式，掌握求函数最值的方法是解决该题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)=cos(x+π
4
)sinx
=(√2
2
cosx−
√2
2
sinx)⋅sinx
=√2
4
sin2x−
√2
2
⋅
1−cos2x
2
=√2
4
(sin2x+cos2x)−
√2
4
=1
2sin(2x+π
4
)−√2
4
，
故它的最小正周期为2π
2
=π，故A不正确；
令x=π
8，求得f(x)=1
2
−√2
4
=2−√2
4
，为函数f(x)的最大值，
故函数f(x)的图象关于直线x=π
8对称，且f(x)的图象不关于点(π
8
,−√2
4
)对称，故B不正
确、D正确；
在区间(0,π
8)上，2x+π
4
∈(π
4
,π
2
)，
f(x)=1
2sin(2x+π
4
)−√2
4
为增函数，故C不正确，
故选：D．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，得出结论
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：令x=−1得f(1)=f(−1)+f(1)=2f(1)，
∴f(1)=0，∴f(x+2)=f(x)，
∴f(x)的周期为2．
作出f(x)的函数图象如图所示：
∵y=f(x)−log a(|x|+1)在(0,+∞)上至少有5个零点，
∴{log a5>−2
0<a<1，解得0<a<√5
5
．
故选C．
利用f(x)的奇偶性判断f(x)的周期，作出f(x)和y=log a(x+1)在(0,+∞)上的函数图象，根据交点个数判断y=log a(x+1)的特殊点位置．
本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，属于中档题．11.【答案】C
【解析】
【分析】
此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，角
平分线定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理
及公式是解本题的关键．
由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线
定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用
正弦定理得出sin A与sin B之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cos A的值．
【解答】
解：∵A：B=1：2，即B=2A，
∴B>A，
∴AC>BC，
∵角平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，
∴由角平分线定理得：BC：AC=BD：AD=2：3，
整理得：sinA
sin2A =sinA
2sinAcosA
=2
3
，
则cosA=3
4
．
故选：C．
12.【答案】B
【解析】解：令g(x)=e x f(x)，
所以g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)>0，
所以g(x)在R上单调递增，
所以g(ln2)<g(ln3)，
所以2f(ln2)<3f(ln3)，
故选：B．
令g(x)=e x f(x)，利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中构造函数是解题关键，属于中档题．
13.【答案】∀x∈R，x2−1>0
【解析】解：命题p：“∃x0∈R“，x0−1≤0为特称命题，其否定为全称命题，
∴￢p为∀x∈R，x2−1>0．
故答案为：∀x∈R，x2−1>0
直接写出特称命题的否定得答案．
本题考查特称命题的否定，注意命题的否定的格式是关键，是基础题．
14.【答案】(−1,0)∪(1,3)
【解析】解：因为集合A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，
又B={x|1
x
<1}={x|x<0或x>1}，
所以A∩B=(−1,0)∪(1,3)．
故答案为：(−1,0)∪(1,3)
一元二次不等式以及分式不等式的解法求出集合A，B，然后由集合交集的定义求解即可．
运算能力，属于基础题．
15.【答案】−5
9
【解析】解：因为cos(α−π
6)=√2
3
，
则sin(5π
6−2α)=sin[2(π
6
−α)+π
2
]=cos2(π
6
−α)=2cos2(π
6
−α)−1=2cos2(α−
π6)−1=2×(√2
3
)2−1=−5
9
．
故答案为：−5
9
．
由已知利用诱导公式，二倍角的余弦公式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.【答案】8
【解析】解：函数f(x)=ln ex
e−x
，
f(x)+f(e−x)=ln ex
e−x +ln e(e−x)
e−(e−x)
=ln ex
e−x
+ln e(e−x)
x
=1+1+ln x
e−x
+ln e−x
x
=
2．f(e
2013)+f(2e
2013
)+⋯+f(2012e
2013
)=503(a+b)，
即：2012=503(a+b)，
可得a+b=4．
∵a2+b2≥(a+b)2
2
=8．
当且仅当a=b=2时取等号．
a2+b2的最小值为：8．
故答案为：8．
求出f(x)+f(e−x)的值，然后利用已知条件列出关系式，通过基本不等式求出表达式的最小值．
本题考查基本不等式求解表达式的最值，函数值的求法，推出f(x)+f(e−x)=2是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵若x ∈B 是x ∈A 的充分条件，∴B ⊆A ，
当B =⌀时，m +1>2m −1，∴m <2，满足B ⊆A ， 当B ≠⌀时，则{m +1≤2m −1
m +1≥−22m −1≤5，解得2≤m ≤3，
综上所述，实数m 的取值范围为(−∞,3]． (2)由题意知，A ∩B =⌀， 当B =⌀时，由(1)得m <2，
当B ≠⌀时，则{m +1≤2m −1
2m −1<−2或m +1>5，解得m >4，
∴实数m 的取值范围为(−∞,2)∪(4,+∞)．
【解析】(1)根据B ⊆A 讨论B =⌀和B ≠⌀两种情况，解不等式组即得实数m 的取值范围．
(2)由题意知：A ∩B =⌀，讨论B =⌀和B ≠⌀两种情况，解不等式组即可． 本题考查子集的概念，空集的概念，以及交集的概念，不要漏了B =⌀的情况．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=sinωx ⋅cosωx −√3cos 2ωx +√3
2
=12sin2ωx −√3(1+cos2ωx)2+√3
2
=1
2sin2ωx −
√3
2
cos2ωx =sin(2ωx −π
3)，
设T 为f(x)的最小值周期，由f(x)图象上相邻最高点与最低点的距离为√π2+4， 得(T
2)2+[2f(x)max ]2=π2+4， ∵f(x)max =1，
∴(T 2)2+4=π2+4，整理可得T =2π，
又∵ω>0，T =2π
2ω=2π， ∴ω=1
2．
(2)由(1)可得f(x)=sin(x −π
3)， ∴f(x +φ)=sin(x +φ−π
3)，
∵y =f(x +φ)是奇函数，则sin(φ−π
3)=0， 又∵0<φ<π
2，
∴φ=π
3
，
∴g(x)=cos(2x −φ)=cos(2x −π
3)，
令
，则
，
∴单调递减区间是，
又∵x ∈[0,2π]，
∴当k =0时，递减区间为[π6,
2π
3]；当k =1时，递减区间为[7π6
,5π
3
]，
∴函数g(x)在[0,2π]上的单调递减区间是[π6,2π
3
]，[7π6
,
5π3
]．
【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2ωx −π
3)，设T 为f(x)的最小值周期，由题意得(T
2)2+[2f(x)max ]2=π2+4，结合f(x)max =1，可求T 的值，利用周期公式可求ω的值．
(2)由题意可求f(x +φ)=sin(x +φ−π
3)是奇函数，则sin(φ−π
3)=0，结合0<φ<π
2，可求φ，进而可求函数g(x)的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，结合范围x ∈[0,2π]，即可得解．
19.【答案】解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，
则f(x +1)−f(x)=2ax +a +b ， ∴{
2a =2a +b =0，解得{a =1
b =−1
，
又c =f(0)=1， ∴f(x)=x 2−x +1；
(2)因为f(x)=x 2−x +1=(x −1
2)2+3
4， 所以函数f(x)的对称轴为x =1
2，
①当a >1
2时，f(x)min =f(a)=a 2−a +1； ②当−7
2≤a ≤1
2时，f(x)min =f(1
2)=3
4；
③当a <−7
2时，f(x)min =f(a +4)=a 2+7a +13．
∴f(x)min
={
a 2
−a +1,a >1
234,−72≤a ≤12a 2+7a +13,a <−7
2．
【解析】(1)利用待定系数法求解解析式即可；
(2)先对f(x)进行配方，求出对称轴，然后利用对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分别求解即可．
本题考查了二次函数解析式与最值的求解，涉及了利用待定系数法求解函数解析式的应用，二次函数性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
20.
【答案】解：由题意：1是关于方程f(x)−g(x)=0的一个解，可得：log a 2=2log a (2+m)，解得m =−2+√2或m =−2−√2
∵2+m >0
∴m =−2−√2不符合题意． 所以m 的值为√2−2．
(2)f(x)≥g(x)恒成立，等价于√x +1≤2x +m,x ∈[0,15]恒成立． 即：m ≥√x +1−2x ，x ∈[0,15]恒成立． 令u =√x +1,u ∈[1,4]， 则√x +1−2x =−2(u −1
4)2+
178
,u ∈[1,4]
当u =1时，√x +1−2x 的最大值为1． 所以：m ≥1即可恒成立． 故m 的取值范围是[1,+∞)．
【解析】(1)由题意：1是关于方程f(x)−g(x)=0的一个解，直接带入计算求出m 的值即可．
(2)当0<a <1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，等价于√x +1≤2x +m,x ∈[0,15]恒成立，从而解出m 的取值范围．
本题考查了对数的基本计算和恒成立问题．恒成立问题：常见的方法了最值法，分离参数法，判别式法，根据不同题型采用不同的方法．属于中档题．
21.【答案】解：(1)由32cos2B +5cosB −1
2=0，可得3cos 2B +5cosB −2=0，
所以cosB =1
3或cosB =−2(舍)， 所以sinB =
2√2
3， 因为∠ADC =3π4，
所以∠ADB =π4，
由正弦定理可得：AB sin∠ADB =AD
sinB ， 所以AD =8
3． (2)由BD =2DC ，得S △ABD
S △ADC
=2，
所以
1
2AB⋅AD⋅sin∠BAD 1
2
AC⋅AD⋅sin∠CAD =2，
因为sin∠BAD
sin∠CAD =4√2，AB =2， 所以AC =4√2，
由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB ，可得BC =6或BC =−143
(舍)，
所以BD =4，
所以S △ABD =1
2
AB ⋅BD ⋅sinB =
8√2
3
．
【解析】(1)由二倍角公式化简已知等式可得3cos 2B +5cosB −2=0，解方程可得cos B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，可求∠ADB =π
4，由正弦定理可得AD 的值． (2)由题意可求S △ABD
S
△ADC
=2，利用三角形的面积公式化简可得AB ，AC ，由余弦定理可求
BC 的值，求解BD 的值，根据三角形的面积公式即可得解．
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a =−1
3时，f(x)=2
3lnx −1
3x 2+1
2，定义域为(0,+∞)
f′(x)=2
3x −2
3x =
2−2x 23x
=−
2(x+1)(x−1)
3x
，
所以f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1,+∞)，
所以f(x)max =f(1)=1
6
(2)对函数f(x)=(a +1)lnx +ax 2+1
2，定义域为(0,+∞) 求导得：f′(x)=
a+1x
+2ax =
2ax 2+a+1
x
，
对参数a 进行讨论：
当a ≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a ≤−1时，f′(x)<0，故f(x)在(0,+∞)上单调递减； 当−1<a <0时，令f′(x)=0，解得x =√−a+12a
，
则当x ∈(0,√−
a+12a
)，f′(x)>0；当x ∈(√−
a+12a
,+∞)，f′(x)<0；
故f(x)在∈(0,√−
a+1
2a
)上单调递增；在(√−a+12a
,+∞)单调递减；
(3)不妨设0<x 1<x 2，
①当a ≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，即f(x 2)−4x 2≥f(x 1)−4x 1 恒成立；
构造函数g(x)=f(x)−4x ，需证g(x)=f(x)−4x 在(0,+∞)上单调递增， 即证g′(x)=f′(x)−4=
a+1x
+2ax −4≥0，即2ax 2−4x +a +1≥0(x >0)恒成立．
当a =0时，则由−4x +1>0得x <1
4，不合题意，即a ≠0，则a >0； 根据二次函数y =2ax 2−4x +a +1(x >0)开口方向向上，对称轴x =1
a >0 所以只需△≤0可得16−8a(a +1)≤0，解得a ≥1(a ≤−2舍去)；
②当a ≤−1时，f′(x)<0，故f(x)在(0,+∞)上单调递减；去绝对值整理得， f(x 2)+4x 2≥f(x 1)+4x 1 恒成立；构造函数g(x)=f(x)+4x ，需证g(x)=f(x)+4x 在(0,+∞)上单调递减， 即g′(x)=f′(x)+4=
a+1x
+2ax +4≤0，即2ax 2+4x +a +1≤0(x >0)恒成立．
根据二次函数y =2ax 2+4x +a +1(x >0)开口方向向下，对称轴x =−1
a >0， 所以只需△≤0可得16−8a(a +1)≤0，解得a ≤−2，(a ≥1舍去)； ③当−1<a <0时，f(x)在∈(0,√−
a+1
2a
)上单调递增；在(√−
a+12a
,+∞)单调递减；此时
|f(x 1)−f(x 2)|≥4|x 1−x 2|等价于f(x 2)−4x 2≥f(x 1)−4x 1 恒成立或者f(x 2)+4x 2≤f(x 1)+4x 1
恒成立，由前面过程可知：a ≥1或a ≤−2，这与−1<a <0不符，故此种情况无解；
综上可知，实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[1,+∞)．
【解析】(1)当a=−1
3时，求f(x))=2
3
lnx−1
3
x2+1
2
，先确定函数的定义域，然后求导
研究单调性求最大值；
(2)求导数fˊ(x)，在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0，求出单调区间；
(3)根据第一问的单调性先对|f(x1)−f(x2)|≥4|x1−x2|进行化简整理，转化成研究g(x)=f(x)+4x在(0,+∞)单调性问题，然后再转化成导函数在(0,+∞)上恒大于等0或恒小于等于的恒成立问题．
本题综合性较强，利用导数求函数的最值；利用导数研究函数的单调性，关键是要把握好分类的标准，知道如何分类；第(3)问思维量较大，关键是通过分析式子的特点，通过构造函数，转化成研究函数的单调性．本题考查了分类讨论、数形结合、转化与化归和构造函数等重要的数学思想．。