13.1.2线段垂直平分线(1)

M P
证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90° 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC（SAS） ∴PA=PB
A
C
B
N
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点和这条 线段两个端点的距离相等.
几何表达： ∵MN⊥AB且AC=BC ∴PA=PB 注：定理可以用来证明两条线段相等 （或三角形是等腰三角形）.
利用所作的图形， 量一量 PA、PB的长，你能发 现什么？ P1A和P1B的长呢？ M
PA=PB P1A=P1B ……
由此你能得出什么规律
P
命题：线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端点的距 离相等。
A C P1 B
N
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等。 已知：如图，MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 求证：PA=PB
逆定理:到一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上.
M
几何表达： 如图,∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线MN上
A
P
B N
如右图PA=PB，则 直线MN是线段AB的 垂直平分线。（ ）
例1（P66） 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线 交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上; A 分析：
∴直线AM 垂直平分线段BC （两点确定一条直线）
B
C
1. 如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别交 AB、BC于E、D，BC=10cm，BE=6cm. 求：△BEC的周长.
解： ∵ED垂直平分BC ∴EB=EC=6cm； ∴ △BEC的周长为： C△BEC=EB+EC+BC=6+6+10=22c m

AB=AC=CE AB+BD=DE
换一换
反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB 的垂直平分线上?
P
点P在线段 AB的垂直 平分线上
PA=PB
判定定理有何作用？ 用途：判定一条直线是线段的中垂线 （利用全等,仿照性质定理自己证明）
A
C
B
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上。
M
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB
点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
B
M’
P C N N’
PA=PB=PC ∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
A
证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB(？) 同理 PB=PC.
P62 、已知:如图,在ΔABC中, AB =AC,M是ΔABC 内一点，且MB=MC . 求证：直线AM 垂直平分线段BC;
证明： ∵ AB =AC ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上). 同理 可证，点M在线段BC的垂直平分线上.
A
M
5
回味无穷
通过本节课的学习，我们学习 了哪些内容?你有什么收获？请 同学们谈一谈 。
证明题: 4.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又∵ AB平分CAD(已知) 3 B ∴ 1= 2(角平分线的定义) O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
实际问题1
南昌市政府为了方便居民的生活， 计划在三个住宅小区A、B、C之间 修建一个购物中心，试问，该购物 中心应建于何处，才能使得它到三 个小区的距离相等。
A
B
C
A
实际问题2
在昌九高速公路L的同侧，有两个 化工厂A、B，为了便于两厂的工人 看病，市政府计划在公路边上修建 一所医院，使得两个工厂的工人都 没意见，问医院的院址应选在何处？ B
昌九高 速 公 路
动手操作 探究新知 活动1、折一折 在纸上画一条线段AB，让A、B两点 对折重合，通过折痕做出AB的垂直平分线 MN，在垂直平分线上任意取一点P，连接 PA 、PB ，量一量，你发现什么了吗？ 在垂直平分线上再取另一点P1 ，连接 P1 A、 P1 B，量一量，你发现什么了吗？
量一量
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
M
M’ P C
）.
B
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
N ∴PA=PC. (到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) N’ ∴点P在AC的垂直平分线上; ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF。
2、如图线段MN被直线AB 垂直平分，则ME=NE。
3、如图,已知AB是线段CD的垂直 平分线,E是AB上的一点,如果 EC=7cm,那么ED= 7 cm; 如果 0. 0 ∠ECD=60 ,那么∠EDC= 60
C
A
E
D
B
4、（P62） 如图，AD⊥BC，BD=DC， 点C在AE的垂直平分线上，AB、AC 、 CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE 有什么关系？
6
10
变式.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别交 AB、BC于E、D， BD=5 cm ，△AEC的周长为15 cm. 求： △ABC的周长.
解： ∵ED垂直平分BC ∴BC=2BD=2×5=10 EB=EC 又∵C △AEC=AE+AC+EC=15 ∴C△ABC=AE+BE+AC+BC =AE+EC+AC+BC =15+10 =25 cm
4.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知) ∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知) ∴ ABD=30o(角平分线的定义) 30o ∴ A= ABD (等量代换) D ∴ AD=BD(等角对等边) ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 30o 条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.) C B