江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高一下学期期中考试数学
试题
一、单选题
1．sin 24cos36sin36cos24︒︒+︒︒=（ ）
A ．
B
C ．12
D ．12
-
2．已知12i
1i
z -=
+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3．设1e u r ，2e u
u r 为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A ．12e e +u r u u r 和1e u
r
B ．1224e e +u r u u r 和2e u
u r C ．122e e -u r u u r 和122e e -u r u u r
D ．122e e -u r u u r 和2142e e -u r u r
4．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c o s c o s a A b B
=，π
3C =则ABC V 的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
5．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u v
A ．
3144AB AC -u u u v u u u v B ．1344
AB AC -u u u v u u u v C ．3144+AB AC u u u v u u u v D ．1344
+AB AC u u u
v u u u v
6．若两个单位向量,a b r r 满足a b a b +=-r r r r ，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是（ ）
A ．π
6
B ．π3
C ．π2
D ．
5π6
7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC V 的面积ABC S V
)
222
ABC S a c b =
+-V ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r （ ）
A
B ．
C ．2
D ．2-
8．若tan 2θ=，则
()sin 1sin 2sin cos θθθθ
-=-（ ）
A ．25
B ．25-
C ．65
D ．65
-
二、多选题
9．已知(4,1)a =-r
，()0,1b =-r ，则下列结论正确的是（ ） A ．()
a b b -⊥r
r r
B ．25a b +=r r
C ．a r 与b r 的夹角为π4
D ．a r 在b r 方向上的投影向量是b r
10．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ）
A ．sin102︒︒
B ．2cos782cos42+︒︒
C ．
22tan 9cos181tan 9︒︒
-︒
D ．
sin 36sin108︒
︒
11．已知ABC V 中，2AB =，π3
A =．下列说法中正确的是（ ）
A ．若ABC V 是钝角三角形，则01AC <<
B ．若AB
C V BC <
C ．
AC BC D ．AC BC +的最大值是4
三、填空题
12．写出一个满足22i 1z --=的复数z =.
13．如图，A O B '''V 是水平放置的AOB V 的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O '为坐标原点，顶点A '、B '均在坐标轴上，且AOB V 的面积为12，则O B ''的长度为.
14．已知()35
cos ,sin 513
αβα=-=-，,αβ均为锐角，则sin β= ．
四、解答题
15．设复数()121i ,2i z a a z =+∈=-R ． (1)若12z z +是实数，求12z z ⋅ (2)若
1
2
z z 是纯虚数，求1z ． 16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，角α的终边位于第二象限且与单位圆相交于点1,3P x ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
(1)求cos α及sin 2α的值；
(2)若角β与角α的终边关于x 轴对称，求tan 2β的值；
(3)若1
sin()3αβ+=-，且角[],βππ∈-，直接写出满足条件的角β的个数．（结论不要求证
明）
17
．已知,cos ),(cos ,cos ),()a x x b x x f x a b =-==⋅r
r
r r
. (1)求函数()f x 图象的对称中心；
(2)设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1()2
f B =
且b 求ABC V 周长的取值范围．
18．如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ︒∠=，平面上任一点P 的斜坐标定义如下：若
12OP xe ye =+u u u r u r u u r （其中1e u r ，2e u
u r 分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的斜坐标为
(),x y ．此时有()1,2OA =u u u r ，(),4OB m =u u u r
，试在该斜坐标系下探究以下问题：
(1)若3m =，求OA OB ⋅u u u r u u u r
的值；
(2)若OA OB ⊥u u u r u u u r
，求OB u u u r 的坐标；
(3)求与OA u u u r
垂直的单位向量的坐标．
19．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直
角ABC V 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圆上一点（异于B ，C ），点H 在线段AB 上，且满足CH AB ⊥．已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=．
(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且C A C P +达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？
(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且C H C P +达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时CH CP +的值．。