四川省成都市武侯区高三数学上学期期末试题 文(含解析)

2016-2017学年四川省成都市武侯区高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合M={x|﹣1≤x≤2}，N={x|log2x＞0}，则M∪N=（）
A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（0，2）
2．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析．在这个问题中，5000名学生成绩的全体是（）
A．总体 B．个体
C．从总体中抽取的一个样本D．样本的容量
3．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=x
4．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
5．如图，一个空间几何体的正视图和俯视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（）
A．2πB．C．πD．
6．设x∈R，则“x﹣2＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+•=0有实根，则与的夹角的取值范围是（）
A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]
9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数且单调递增，则不等式f（x）＜f（x2）的解集是（）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）
10．设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
11．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小值为（）
A．1 B．2 C．D．
12．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）
A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a6=1，此数列的通项公式为．
14．如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为．
15．已知函数y=f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0，则f（x）极大值与极小值之差为．
16．已知x＞0时有不等式x+≥2，x+=++≥3，…成立，由此启发我们可以推广为x+≥n+1（n∈N*），则a的值为．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=
（1）求的值
（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．
18．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．
19．如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示
附：方差S2= [（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数
（1）如果x=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果x=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
20．已知抛物线P：x2=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3．
（ⅰ）求抛物线P的方程；
（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．
21．已知函数f（x）=xe x﹣ae x﹣1，且f′（1）=e．
（1）求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1﹣x2|＞ln（）．
选做题：任选一题作答
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
23．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
（I）求实数a，b的值；
（II）求的最大值．
2016-2017学年四川省成都市武侯区高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合M={x|﹣1≤x≤2}，N={x|log2x＞0}，则M∪N=（）
A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（0，2）
【考点】1D：并集及其运算．
【分析】解对数不等式求出N={x|x＞1}，再利用两个集合的并集的定义求出M∪N．
【解答】解：设集合M={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]，N={x|log2x＞0}=（1，+∞），则M∪N=[﹣1，+∞），
故选：A
2．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析．在这个问题中，5000名学生成绩的全体是（）
A．总体 B．个体
C．从总体中抽取的一个样本D．样本的容量
【考点】BD：用样本的频率分布估计总体分布．
【分析】在统计里面，我们把所要考察对象的全体称为总体总体．
【解答】解：由总体的定义知，
5000名学生成绩的全体是总体，
故选：A．
3．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=x
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的离心率为，分析可得e2===1+=，计算
可得的值，结合焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，
则有e2===1+=，
即=，即有=，
又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±x；
故选：C．
4．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【考点】3T：函数的值．
【分析】利用分段函数的性质和对数的运算法则求解．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（3）=f（2）﹣f（1）
=f（1）﹣f（0）﹣f（1）
=﹣f（0）
=﹣log24
=﹣2．
故选：B．
5．如图，一个空间几何体的正视图和俯视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（）
A．2πB．C．πD．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由已知三视图得到几何体是两个圆锥的组合体，根据数据计算表面积．
【解答】解：由已知三视图得到几何体是同底的两个圆锥的组合体，底面半径为，圆锥的
高为，
所以几何体的表面积为；
故选C．
6．设x∈R，则“x﹣2＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，由x﹣2＜1得x＜3
即“x﹣2＜1”是“x2+x﹣2＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．
【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，
∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；
第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；
第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；
∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，
解得S0=10
故选：D．
8．已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+•=0有实根，则与的夹角的取值范围是（）
A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】令判别式△≥0可得≤，代入夹角公式得出cos＜＞的范围，从而得出向量夹角的范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+||x+•=0有实根，
∴||2﹣4≥0，
∴≤，
∴cos＜＞=≤=，
又0≤＜＞≤π，
∴＜＞≤π．
故选B．
9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数且单调递增，则不等式f（x）＜f（x2）的解集是（）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据题意，由函数的单调性分析可得若f（x）＜f（x2），则有x＜x2，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数且单调递增，
若f（x）＜f（x2），则有x＜x2，
解可得x＜0或x＞1，
即其解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞）；
故选：A．
10．设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；4M：对数值大小的比较．
【分析】因为10＞1，所以y=lgx单调递增，又因为1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．
【解答】解：∵1＜e＜3＜，
∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．
∴a＞c＞b．
故选：C．
11．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小值为（）
A．1 B．2 C．D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】确定不等式表示的平面区域，根据图形可求点P到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小值．
【解答】解：不等式表示的平面区域如图
由可得x=1，y=1，
根据图形可知（1，1）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小，最小值为=2
故选：B．
12．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）
A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）
【考点】34：函数的值域．
【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g （x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称
∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，
可得f（x1）值域为[﹣1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，
∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]
即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]
∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），
∴⇒a≥3
故选D
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a6=1，此数列的通项公式为a n=n﹣．
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=﹣5，a6=1，
∴﹣5+5d=1，解得d=．
∴a n=﹣5+（n﹣1）=n﹣．
故答案为：a n=n﹣．
14．如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为8 ．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由图象观察可得：y min=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求y max=3+k=3+5=8．
【解答】解：∵由题意可得：y min=﹣3+k=2，
∴可解得：k=5，
∴y max=3+k=3+5=8，
故答案为：8．
15．已知函数y=f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0，则f（x）极大值与极小值之差为 4 ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6C：函数在某点取得极值的条件；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】先对函数进行求导，由题意可得f′（2）=0，f′（1）=﹣3，代入可求出a、b的值，进而可以求出函数的单调区间，函数的极大值为f（0）=c，极小值为f（2）=c﹣4，即可得出函数的极大值与极小值的差
【解答】解：对函数求导可得f′（x）=3x2+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=2取得极值，所以f′（2）=3•22+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0①
又因为图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行
所以f′（1）=3+6a+3b=﹣3
即2a+b+2=0②
联立①②可得a=﹣1，b=0
所以f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）
当f′（x）＞0时，x＜0或x＞2；当f′（x）＜0时，0＜x＜2
∴函数的单调增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞）；函数的单调减区间是（0，2）
因此求出函数的极大值为f（0）=c，极小值为f（2）=c﹣4
故函数的极大值与极小值的差为c﹣（c﹣4）=4
故答案为4
16．已知x＞0时有不等式x+≥2，x+=++≥3，…成立，由此启发我们可以推广为x+≥n+1（n∈N*），则a的值为n n．
【考点】F1：归纳推理．
【分析】分析各个不等式的特点，归纳出a的值．．
【解答】解：第一个不等式的a=1，第二个不等式的a=4=22，
则由归纳推理可知，第n个不等式的a=n n．
故答案为：n n
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=
（1）求的值
（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式以及诱导公式即可求出，
（2）由（1）可得c=2a，再由余弦定理可得a，c的值，根据三角形的面积公式计算即可
【解答】解：（1）∵==，
∴cosAsinB﹣2sinBcosC=2cosBsinC﹣sinAcosB，
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosC+2cosBsinC，
∴sin（A+B）=2sin（B+C），
∴sinC=2sinA，
∴=2；
（2）由（1）可得c=2a，
由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴4=a2+4a2﹣a2，
解得a=1，则c=2，
∵cosB=，
∴sinB=，
∴S=acsinB=×1×2×=．
18．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．
【考点】LZ：平面与平面垂直的性质；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．
（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．
【解答】解：
（I）在图1中，
因为AB=BC==a，E是AD的中点，
∠BAD=，
所以BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥面A1OC，
由CD∥BE，
所以CD⊥面A1OC，
（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，
根据图1得出A1O=AB=a，
∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，
V==a=a3，
由a=a3=36，得出a=6．
19．如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示
附：方差S2= [（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数（1）如果x=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果x=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图．
【分析】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，由此能求出乙组同学植树棵树的平均数和方差．
（2）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21，事件“Y=19”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树10棵；或甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树8棵”，该事件有2+2=4种可能的结果，由此能求出这两名同学的植树总棵数为19的概率．
【解答】解：（1）乙组同学植树棵数的平均数为：
=（8+8+9+10）=，
乙组同学植树棵数的方差方差为：
s2= [（8﹣）2+（8﹣）2+（9﹣）2+（10﹣）2]=．
（2）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11，
乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，
这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21，
事件“Y=19”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树10棵；
或甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树8棵”，
∴该事件有2+2=4种可能的结果，
∴这两名同学的植树总棵数为19的概率P（Y=19）==．
20．已知抛物线P：x2=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3．
（ⅰ）求抛物线P的方程；
（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K8：抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）（ⅰ）欲求抛物线方程，需求出p值，根据抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，以及抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3，可解得 p，问题得解．（ⅱ）求出E点坐标，设出过E的抛物线P的切线方程，再根据直线方程与抛物线方程联立，△=0，即可求出k值，进而求出切线方程．
（Ⅱ）设出A，B两点坐标，以及过焦点F的动直线l方程，代入抛物线方程，求x1x2，x1+x2，
再求C，D点坐标，用含x1，x2的式子表示坐标，在证共线即可．
【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离与到准线距离相等，
即M（m，2）到的距离为3；
∴，解得p=2．
∴抛物线P的方程为x2=4y．
（ⅱ）抛物线焦点F（0，1），抛物线准线与y轴交点为E（0，﹣1），
显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k，切线方程为y=kx﹣1．
由，消y得x2﹣4kx+4=0，
△=16k2﹣16=0，解得k=±1．
∴切线方程为y=±x﹣1．
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设l：，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消y得 x2﹣2pkx﹣p2=0．且△＞0．
∴x1+x2=2pk，x1•x2=﹣p2；
∵A（x1，y1），∴直线OA：，
与联立可得，同理得．
∵焦点，
∴，，
∴=
=
∴以CD为直径的圆过焦点F．
21．已知函数f（x）=xe x﹣ae x﹣1，且f′（1）=e．
（1）求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1﹣x2|＞ln（）．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）f′（x）=e x+xe x﹣ae x﹣1，由f′（1）=e．解得a=e．可得f′（x）=xe x．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，函即可得出函数f（x）的单调区间．
（2）方程f（x）=kx2﹣2（k＞2），即（x﹣1）e x﹣（kx2﹣2）=0，令g（x）=（x﹣1）e x﹣
（kx2﹣2），令g′（x）=0，解得x=0或ln（2k）．k＞2，可得ln（2k）＞1．不妨设x1＜x2．可得：0＜x1＜1＜ln（2k）＜x2．即可证明．
【解答】（1）解：f′（x）=e x+xe x﹣ae x﹣1，
∴f′（1）=e+e﹣a=e．解得a=e．
∴f′（x）=e x+xe x﹣ee x﹣1=xe x．
∴x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x＜0时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
即函数f（x）单调递增区间为（0，+∞）；函数f（x）单调递减区间为（﹣∞，0]．（2）证明：方程f（x）=kx2﹣2（k＞2），
即（x﹣1）e x﹣（kx2﹣2）=0，
令g（x）=（x﹣1）e x﹣（kx2﹣2），
g′（x）=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k），
令g′（x）=0，解得x=0或ln（2k）．
∵k＞2，∴ln（2k）＞1．
g（0）=1，g（1）=2﹣k＜0，g（ln（2k））＜0．x→+∞时，g（x）→+∞．
因此关于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，不妨设x1＜x2．
可得：0＜x1＜1＜ln（2k）＜x2．
∴|x1﹣x2|＞ln（2k）﹣1=＞ln（）．
选做题：任选一题作答
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）由消去参数能得到直线l的直角坐标方程，由ρ2﹣4ρcosθ+1=0，
ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C的圆心为（2，0），半径为，求出圆心到直线的距离，由此能求出P到直线l的距离的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由消去参数t得，
直线l的直角坐标方程为．…
∵ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，
∴曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0…
（Ⅱ）∵曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0，
∴曲线C：（x﹣2）2+y2=3…，圆心为（2，0），半径为…
圆心到直线的距离…
∴P到直线l的距离的最大值…
23．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
（I）求实数a，b的值；
（II）求的最大值．
【考点】R4：绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）代入a，b的值，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：（I）由|x+a|＜b，得﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
则，解得a=﹣3，b=1 …
（II）
=2=4
当且仅当=，即t=1时等号成立，
故所求不等式的最大值是4 …。