高考数学一轮复习方案 第11讲 函数与方程课时作业 新

课时作业(十一) [第11讲 函数与方程]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( )
图K11－1
A ．[－2.1，－1]
B ．[1.9，2.3]
C ．[4.1，5]
D ．[5，6.1]
2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x
＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)
3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1， 1.25) C ．(1.25，1.75) D ．(1.75，2)
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
－1，x >0，
－x 2－2x ，x ≤0，若函数
g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m
的取值范围是________．
能力提升
5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．无法确定
6．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12x －2
的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在
的区间是( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，4)
7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2
－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，4)
8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根
9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．若方程2ax 2
－x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．
12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x
－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．
13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2
－1|
x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取
值范围是________．
14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x
＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．
15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.
(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围． 难点突破
16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x （0≤x ≤1），－25
x ＋125（1<x ≤5）.
(1)若函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围； (2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．
课时作业(十一)
【基础热身】
1．B [解析] 能用二分法求出的零点，其两侧函数值必须异号．
2．C [解析] 知f (x )在R 上为单调增函数，又因为f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2
－2>0，故函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选C.
3．D [解析] 构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (1.75)＝f 74＝－14＋lg 7
4
<0及f (2)＝lg2>0知x 0属于区间(1.75，2)． 4．(0，1) [解析] 画出函数f (x )的图象如图，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与直线
y ＝m 的图象的交点有3个，所以0<m <1.
【能力提升】
5．D [解析] 因为f (x )在(－2，2)上有一个零点，不能说明f (－2)·f (2)的符号；如
f (x )＝x 2，更不能判断f (－1)·f (1)的值．故选D.
6．B [解析] 令f (x )＝x 2
－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12x －2
，则该函数在(0，＋∞)上是增函数，计算可得
f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )的零点在区间(1，2)，即x 0∈(1，2)．故选B.
7．B [解析] f (x )＝(x 2
－3x ＋2)g (x )＋3x －4＝(x －1)(x －2)g (x )＋3x －4，因为函数
y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，所以函数f (x )的图象也是连续曲线，又因为f (1)＝－1＜0，f (2)＝2>0，故f (x )＝0在区间(1，2)内必有实数根，故选B.
8．C [解析] 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．
9．B [解析] 由12x －sin x ＝0得12x ＝sin x ，在同一坐标系中作出h (x )＝12x
，g (x )＝sin x
在[0，2π]上的图象，可以看出交点个数为2.故选B.
10．(1，＋∞) [解析] 当Δ＝1＋8a ＝0时，a ＝－18，此时方程2ax 2
－x －1＝0的解
为x ＝－2∉(0，1)，不合题意，故Δ>0.
令f (x )＝2ax 2
－x －1，故必有f (0)f (1)<0，即(－1)· (2a －2)<0，所以a >1.
11.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x
⎪⎪⎪ －32<x <1) [解析] 由于函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，
即方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.因此⎩
⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，
－2×3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，故f (x )
＝x 2
－x －6.
所以不等式af (－2x )>0，变为－(4x 2
＋2x －6)> 0，解得－32
<x <1.
12．4 [解析] 数形结合，作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |在y 轴右侧的图象，有2个交点，又这两个函数都是偶函数，根据对称性知有4个交点．
13．(0，1)∪(1，4) [解析] 函数定义域为{x ∈R |x ≠1}，令g (x )＝|x 2
－1|x －1
，h (x )＝
kx －2，化简得
g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，作出函数g (x )和h (x )的图象，如图，当k ∈(0，1)∪(1，
4)时，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．
14．解：因为f (x )＝4x ＋m ·2x
＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x
＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2
＋mt ＋1＝0.
当Δ＝0时，即m 2
－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，
m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，
所以2x
＝1，x ＝0符合题意．
当Δ>0，即m >2或m <－2时，
t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， f (x )有两个零点或无零点，不合题意，
所以这种情况不可能．
综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 【难点突破】
15．解：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2
＋(b －1)x ＋1，则g (x )＝0的两根为x 1和x 2.
(1)由a >0及x 1<2<x 2<4，可得⎩
⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＋3·b 2a －3
4a
<0，
－4－2·b 2a ＋3
4a
<0，两式相加得b
2a <1，所以x 0
>－1.
(2)由(x 1－x 2)2
＝
b －1a 2－4a
，可得2a ＋1＝（b －1）2
＋1. 又x 1x 2＝1
a
>0，所以x 1，x 2同号．
∴|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2等价于⎩⎨⎧0<x 1<2<x 2，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧x 2<－2<x 1<0，
2a ＋1＝（b －1）2＋1，
即⎩⎨⎧g （2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2
＋1或⎩⎨⎧g （－2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2
＋1.
解之得b <14或b >7
4
.
16．解：(1)函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0的图象有两个交点等价于直线
kx －y －k ＋1＝0分别与线段y ＝2x (0≤x ≤1)和线段y ＝－2
5x ＋125
(1<x ≤5)都相交．
直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝2x (0≤x ≤1)相交 ，则(－k ＋1)(－1)≤0，解得k ≤1. 直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)相交，则⎝ ⎛⎭⎪⎫5k －25－k ＋1(－1)≤0，
解得k ≥－3
20
.
故当－3
20≤k ≤1时，函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点．
(2)g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x 2
（0≤x ≤1），－25
x 2＋125x （1<x ≤5）.
当0≤x ≤1时，g (x )是增函数，所以0≤g (x )≤2；
当1<x ≤5时，g (x )＝－25x 2＋125x ＝－25(x －3)2
＋185，在区间(1，3)上是增函数，在区间
[3，5]上是减函数，所以2≤g (x )≤18
5
.
综上，函数g (x )＝xf (x )的值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，185.。